Навігація
Головна
Методи розрахунку середньої ціни і індексна оцінка динаміки цінУ чому полягає метод змінного середнього?Метод порівняння середніх рівнів рядуСередня гармонійна і середня геометричнаМетод К-середніх (К-means)
Найпростіші методи прогнозуванняПереваги та недоліки лізингу як методу фінансуванняПереваги і недоліки страхування як методу управління ризикомПереваги та недоліки моделей трендівПоняття вибірки. Переваги та недоліки вибіркового методу в порівнянні...
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Метод середніх точок

Ідея методу середніх точок схожа на ідею методу дрейфу - дослідник так само проводить пряму лінію через дві точки. Однак, на відміну від методу дрейфу, передбачається, що точки, через які проводиться лінія, знаходяться в середині різних частин ряду даних.

Звернемося для початку до графічної інтерпретації методу. На рис. 5.13 представлена типова ситуація, при якій деякий показник y t змінюється в часі. З малюнка видно, що ця тенденція може бути описана лінійним трендом, рівняння якого ми запишемо так:

(5.27)

Прогноз по лінійної моделі вважається дуже просто: замість значення t достатньо підставити наступні номери спостережень аж до необхідного горизонту прогнозування:

Як відомо з початкового курсу геометрії, через точку на площині можна провести безліч різних прямих ліній; через дві точки, що лежать на площині, - одну і тільки одну пряму лінію, а от якщо на площині лежить більше двох точок, то провести через них пряму лінію в загальному випадку не можна. Винятком є ситуація, коли ці точки лежать на одній прямій, але такі ситуації в економіці не зустрічаються. Тому виникає

Умовний ряд даних з тенденцією до зростання

Рис. 5.13. Умовний ряд даних з тенденцією до зростання

завдання - побудувати на площині рис. 5.13 пряму лінію так, щоб вона найкращим чином проходила через усі точки або поруч з ними. Принципово важливим є відповідь на питання: який спосіб побудови прямої лінії ми будемо визнавати "найкращим"? Існує багато відповідей на це питання і, отже, багато способів побудови таких лінійних моделей.

Але яким би чином ми не знаходили значення коефіцієнтів моделі, при нанесенні її на графік рис. 5.13 лінія буде описувати вихідні точки з деякою помилкою апроксимації. Математично его буде виглядати так:

(5.28)

Тепер завдання можна переформулювати наступним чином. Нам треба так знайти коефіцієнти прогнозної моделі, щоб помилка апроксимації була мінімальною.

Метод середніх точок відноситься до випадку, в якому дослідник може досить швидко і без залучення спеціальних обчислювальних технологій отримати досить стерпну прогнозну модель, що описує вихідний ряд даних. Його суть полягає в наступному.

Оскільки для нанесення на площину прямій лінії досить знати параметри двох точок, які лежать на цій прямій, то прогнозисти необхідно якимось чином знайти ці дві точки і їх координати. Очевидно, що в декартовій системі координат такі точки визначаються координатами на осях цій площині. У розглянутому випадку однією з координат виступатиме час t, а інший - значення показника у. Нехай для визначеності перша точка а має координати (t 1, y 1), а друга - b - координати (t 2, y 2). Безліч спостережень динамічного ряду у, є дискретним і лежить в межах t = 1, 2, 3, ..., Т.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Логічно було б припустити, що перша точка характеризує першу частину наявного безлічі спостережень, а друга - іншу його частину. Тому розіб'ємо наявне безліч спостережень на дві частини - перша, коли t = 1, 2, 3, ..., Т / 2, і другу - коли t = T / 2 + 1, T / 2 + 2, Т / 2 + 3, ..., Т. Доброю статистичною характеристикою безлічі випадкових спостережень є середня арифметична, тому найрозумніше розглядати першу точку як середню арифметичну першій частині множини, а другу - як середню арифметичну другій частині цієї множини.

Знайдемо координати точки а.

Координата цієї точки, що відкладається на осі часу t, буде знайдена як середня арифметична відліків часу t в проміжку від t = 1 до t = T / 2:

Якщо час відзначається через рівні проміжки часу, то цю середню можна знайти досить легко, оскільки ми маємо справу з арифметичною прогресією, сума елементів якої, як відомо, знаходиться за формулою

З урахуванням цього отримаємо остаточно:

(5.29)

Наприклад, безліч спостережень складається з 20 точок. Тоді координата першої точки, що відкладається по осі часу для перших десяти відліків часу, буде дорівнює

Друга координата першої точки, яка відкладається по осі у, знаходиться як середня арифметична першій частині ряду даного показника:

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

(5.30)

Аналогічно знайдемо координати другої точки. Середня арифметична для другої частини часового ряду також може бути легко знайдена за допомогою формули для розрахунку суми арифметичної прогресії:

(5.31)

Для розглянутого прикладу з 20 спостереженнями середня арифметична другої ділянки спостережень в проміжку від t = 11 до t = 20, буде дорівнює

Координата цієї точки на осі у, буде знайдена як середня арифметична:

(5.32)

Графічно знаходження координат точок а і b можна представити таким чином (рис. 5.14).

Спочатку дослідник розбиває ряд даних t на дві частини (вертикальна лінія на рис. 5.14) і знаходить середню величину в першій і в другій частинах, що відповідає координатам але осі абсцис точок а і b. Те ж саме робиться і з рядом даних у (горизонтальна лінія на рис. 5.14). Так можна отримати координати середніх точок.

Графічне представлення знаходження координат точок а і b при знаходженні коефіцієнтів прямої методом середніх точок

Рис. 5.14. Графічне представлення знаходження координат точок а і b при знаходженні коефіцієнтів прямої методом середніх точок

Оскільки ми маємо намір провести пряму лінію через першу точку, що означає приналежність точки прямій, то виконується рівність

Точно так само виконується рівність і для другої точки:

Об'єднуючи ці дві рівності, одержимо систему двох рівнянь з двома невідомими а 0 і а л, яка з урахуванням (5.29), (5.30), (5.31) і (5.32) буде записана так:

(5.33)

Якщо від лівої і правої частин другого рівняння даної системи відняти відповідно ліві і праві частини першого рівняння, то коефіцієнт а 0 скоротиться, звідки легко знайти значення коефіцієнта пропорційності а 1:

(5.34)

Підставляючи отримане значення в перше або друге рівняння системи (5.33), легко знайти значення вільного коефіцієнта а 0 і тим самим обчислити наближені параметри лінійного тренду. Для нашого умовного прикладу підсумковий лінійний тренд пройде через точки а і b так, як це показано на рис. 5.15.

Умовний ряд даних і лінійний тренд, коефіцієнти якого були знайдені методом середніх точок

Рис. 5.15. Умовний ряд даних і лінійний тренд, коефіцієнти якого були знайдені методом середніх точок

Даний спосіб може бути поширений і на нелінійні тренди. Логіка методу середніх точок у цьому випадку буде така. Всі точки наявного ряду значень у, розбиваються рівномірно на групи, кількість яких буде дорівнює числу п коефіцієнтів прогнозної моделі а i, i = 1, 2, ... п. Для кожної п -й групи знаходяться їхні середні арифметичні. Підставляючи ці середні в модель, можна отримати послідовно стільки рівностей, скільки невідомих коефіцієнтів у моделі. Вирішуючи отриману систему, знаходять шукані значення параметрів моделі.

У випадку, коли число спостережень Т виявляється непарних, а число коефіцієнтів четно (наприклад, коли лінійний тренд оцінюється на 41 спостереженні), виникає проблема розбиття вихідних рядів значень у t і t t на парне число частин, які не будуть рівні один одному за чисельністю членів ряду. При цьому можна запропонувати різне безліч способів розбиття точок наявного ряду на нерівні групи. В результаті буде отримано кілька моделей, що відрізняються один від одного як точністю апроксимації, так і якістю прогнозних властивостей.

Для цілей прогнозування необоротних процесів має сенс враховувати, що тенденції можуть змінюватися у часі. У цьому випадку можна поступити одним із таких способів:

1. Розбити ряд даних на частини, що містять різну кількість точок. Таким чином, для знаходження координат однієї точки буде використовуватися більше спостережень, ніж для іншої, тобто фактично якоїсь частини ряду надаватиметься більшу вагу.

2. Прибрати з аналізу ранні спостереження і залишити тільки ті спостереження, в яких простежуються потрібні для цілей прогнозування тенденції. За залишився після відсікання ряду даних можна застосувати метод середніх точок. Так з розгляду просто забирається частина застарілої інформації, яка може сильно спотворити прогноз.

Обидва ці способи, однак, вимагають експертної думки щодо того, що залишати і скільки точок включати в ту чи іншу частину, що не завжди легко зробити.

Окрім згаданих недоліків, можна відзначити, що метод середніх точок придатний тільки для дуже простих наближених розрахунків. До того ж отримані оцінки будуть володіти не дуже хорошими статистичними характеристиками: значення коефіцієнтів моделі будуть зміщені і, можливо, неефективні і неспроможні.

Переваги та недоліки найпростіших методів прогнозування

Вивчивши найпростіші методи прогнозування соціально-економічних тенденцій, спробуємо узагальнити їх переваги і недоліки.

До першого однозначного перевазі всіх розглянутих методів можна віднести те, що в них використовується мінімум апріорних припущень про процеси, що протікають в об'єкті дослідження. Чим менше припущень щодо поведінки об'єкта дослідження вводиться, тим менше можливостей для отримання станів, що суперечать введенням припущеннями.

Друга незаперечна перевага згаданих методів полягає в тому, що вони можуть бути побудовані з мінімальними витратами часу та праці. Перші три методи, розглянуті нами в цьому параграфі (метод середніх величин, Naive і сезонний Naive), дозволяють отримувати непогані по точності короткострокові прогнози, однак через їх простоти на практиці ці методи використовуються нечасто, так як досліднику буває чисто психологічно складно повірити, що такий простий метод може дати пристойні прогнозні результати. Останні два методи (метод дрейфу і метод середніх) дозволяють швидко побудувати прогноз по найбільш часто зустрічається на практиці тенденціям - лінійним.

До недоліків методів можна віднести в першу чергу те, що у разі наявності тенденцій у ряді даних перші три методу на середньостроковій перспективі будуть давати неточні прогнози. Головний недолік методу дрейфу полягає в тому, що він передбачає побудову лише лінійних трендів. Метод середніх, у свою чергу, у випадках з побудовою більш складних моделей (через більшу двох кількість точок) вимагає рішення систем, що складаються більш ніж з двох рівнянь, що нівелює його перевага в простоті побудови, що виявляється лише з лінійними трендами.

Крім того, для ефективного використання методу середніх і методу дрейфу потрібно експертну думку щодо того, яку частину ряду брати і як саме розраховувати коефіцієнти тренда. Стандартні алгоритми побудови моделей лінійного тренду цими методами у випадку зі складною динамікою показника дають неточні прогнози.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Cхожі теми

Методи розрахунку середньої ціни і індексна оцінка динаміки цін
У чому полягає метод змінного середнього?
Метод порівняння середніх рівнів ряду
Середня гармонійна і середня геометрична
Метод К-середніх (К-means)
Найпростіші методи прогнозування
Переваги та недоліки лізингу як методу фінансування
Переваги і недоліки страхування як методу управління ризиком
Переваги та недоліки моделей трендів
Поняття вибірки. Переваги та недоліки вибіркового методу в порівнянні з повною переписом
 
Дисципліни
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук