Навігація
Головна
Просте експоненціальне згладжування з дрейфомМоделі експоненціального згладжуванняАвтоматизація моделей експоненціального згладжуванняМодель експоненціального згладжування сезонних рівнівМодель Брауна (модель експоненціального згладжування)Експоненціальне згладжуванняМетод експоненціального згладжуванняЗв'язок між ARIMA і експоненціальним згладжуваннямЯк використовувати метод експоненціального згладжування?Адаптація нелінійних моделей методом нерівномірного згладжування
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Модель простого експоненціального згладжування

Перш за все, спростимо завдання - припустимо, що прогнозисти необхідно вивчити певний часовий ряд у t не має будь-якої явно вираженої тенденції, і зробити прогноз в кінці ряду на один крок спостереження У цьому випадку йому найпростіше скористатися в якості прогнозної моделі простої середньої арифметичної (див. параграф 5.2):

(7.1)

Ця середня арифметична характеризує середній рівень ряду, відхилення від якого викликані низкою причин.

У разі стаціонарного процесу і при нормальному розподілі випадкових величин ця процедура не викликає жодних сумнівів і заперечень. Однак якщо ці умови не виконуються, то середня арифметична вже не буде кращою прогнозної моделлю.

У випадках з еволюційними процесами припущення про однакову важливості всіх спостережень для отримання точного прогнозу не може бути адекватним. Тому, щоб точніше спрогнозувати такий процес, потрібно більшою мірою звертати увагу на поточні, а не на минулі спостереження. Наприклад, для того, щоб визначити на завтра курс рубля по відношенню до євро, поточні значення цього курсу важливіше, ніж значення піврічної давності. Однак просто виключити з розгляду минулі значення в загальному випадку також буде некоректно, оскільки вони в собі містять деяку "історію змін". Тому при одержанні точкового прогнозу у випадку з еволюційними процесами кожному спостереженню потрібно задати деяку вагу. Тоді прогноз на один крок може бути отриманий за формулою

(7.2)

ваги при цьому повинні бути такими, щоб їх сума була дорівнює одиниці:

(7.3)

Природне бажання врахувати поточну інформацію в більшою мірою, ніж минулу, може бути математично виражено так:

Якщо при цьому вимагати виконання умови (7.3), то, підставляючи ці ваги в (7.2), можна отримати формулу зваженої середньої арифметичної. У математиці існує величезна кількість рядів, чия сума буде дорівнює одиниці, а кожна вага буде спадати з спадання спостережень в минуле, наприклад, ряд сходиться до одиниці, тобто його сума дорівнює одиниці.

У принципі будь сходиться до деякого числа ряд можна перетворити так, щоб його сума була дорівнює одиниці.

Наприклад, ряд сходиться до числа е - 1. Тому сума наступного ряду буде дорівнює одиниці:

Так який ряд з величезної безлічі наявних варіантів віддати перевагу для випадку короткострокового прогнозування еволюційних процесів? У кожному випадку прогнозований процес своєрідний, і використовувати один і той же спосіб завдання ваг буде методологічно помилковим - в кожному окремому випадку найкращим буде свій спосіб завдання ваг зваженої середньої. Перебирати всі можливі сходяться до одиниці ряди в пошуку найкращого з них на практиці не представляється можливим. Тому необхідно використовувати деяку універсальну процедуру, в якій, задаючи один або декілька параметрів, можна було б найкращим чином налаштувати зважену середню до властивостей досліджуваного ряду. Така можливість є при показовому характері завдання вагів спостережень. Відповідна модель була вперше запропонована Р. Г. Брауном в 1956 р [1] і незалежно від нього - Ч. Хольту в 1957 р [2]:[2]

Тут параметр а є єдиною змінної, варіюючи яку можна отримати модель, придатну для різних за характером змін прогнозованого процесу. У загальному випадку ваги в цьому ряді розподіляються по спадної показовою функції. Як ми знаємо, будь-яка показова функція може бути приведена до виду експоненти, тому і цей ряд зазвичай називають експоненціальним.

За допомогою експоненціально зваженого ряду ваг легко розрахувати середнє зважене показника у в момент часу Т, яке буде прогнозної моделлю про

(7.4)

цесса на наступний момент спостереження + 1). Позначимо це прогнозне значення через. Підставляючи в (7.2) ваги (7.4), отримаємо:

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Далі, виносячи за дужки загальний для всіх доданків, крім першого, співмножник (1 - а), отримаємо:

Сума в квадратних дужках правої частини отриманої рівності є не що інше, як попередня зважена середня, обчислена на безлічі попередніх значень ряду. З урахуванням цього отримаємо остаточно:

(7.5)

Тут α називається постійної згладжування, а (1 - α) - еквівалентної постійної згладжування.

Формула (7.5) виявилася дуже зручною для розрахунків і на Заході відома під назвою "модель простого експоненціального згладжування" ("Simple exponential smoothing"). У вітчизняній літературі її іноді називають по імені автора - "модель Брауна".

Як вже було сказано, модель має сенс тільки в тому випадку, коли ряд ваг збігається і його сума дорівнює одиниці. В іншому випадку розрахунок за формулою (7.5) не дасть зважену середню, і модель втратить сенс зваженої середньої.

Іноді в літературі можна зустріти трохи іншу формулу для моделі експоненціального згладжування (до пий ми зверталися в параграфі 5.1.1):

(7.6)

Як бачимо, модель у цій формі від моделі у формі (7.5) відрізняє лише те, яким чином враховується фактичне значення при формуванні розрахункового. Форма (7.6) частіше використовується для цілей згладжування часового ряду, ніж у безпосередньому прогнозуванні, тим не менше обидві форми мають право на існування і багато в чому схожі за своїми властивостями. Тут і далі ми будемо розглядати модель експоненціального згладжування у формі (7.5).

Відразу варто відзначити, що основна мета моделі Брауна - давати короткострокові прогнози (на 1-3 спостереження вперед). З її допомогою можна отримати прогноз і на більш довгострокову перспективу, але необхідно мати на увазі, що прогноз се тривіальний. Отримати цей прогноз можна, запровадивши припущення про те, що в майбутньому фактичні значення, які відбудуться через h спостережень, співпадуть з розрахунковими, отриманими на спостереженні (Т + 1). У такому випадку прогноз на h спостережень, отриманий методом Брауна, буде розраховуватися за формулою. Як видно, з часом прогнозні значення на h спостережень будуть повторювати згладжену тенденцію, що спостерігалася в (Т + 1) -й момент часу.

Вихідний ряд ваг (7.4), запропонований Брауном, являє собою нескінченну геометричну прогресію, про яку відомо, що вона сходиться до одиниці, якщо для члена геометричній прогресії виконується єдина умова: модуль члена геометричній прогресії повинен бути менше одиниці [3].[3]

Для нашого випадку ця умова запишеться наступним чином:

(7.7)

З цього з усією очевидністю випливає, що постійна згладжування повинна змінюватися в межах [4]:[4]

(7.8)

Легко переконатися в тому, що при величині постійної згладжування, що перевищує одиницю, ряд ваг стає Знакозмінні, але все так само сходиться до одиниці. Це з усією очевидністю випливає з теореми Лейбніца, яка свідчить, що ряд, де всі, сходиться, якщо послідовність {q n} незростаюча і

(7.9)

Стосовно до нашого ряду для це буде сформульовано так. Ряд значень:

(7.10)

має у своєму складі тільки позитивні члени. Щоб він сходився, необхідно виконання умови (7.9), що для досліджуваного ряду прийме вигляд.

Воно виконується, оскільки вираз під модулем завжди менше одиниці в заданих межах

Відзначимо, що ще в 1968 р Дж. Л. Бреннер, Д. А. Д'Еспосо і А. Г. Фаулер показали у своїй статті [5], що постійна згладжування повинна лежати саме в межах від 0 до 2, але до досі практично повсюдно використовується більш вузький проміжок - від 0 до 1, використання якого істотно збіднює модель експоненціального згладжування.

Отже, модель Брауна має право на існування як при знаходженні постійної згладжування в межах

(7.11)

які назвемо "класичними", так і в межах

(7.12)

які ми назвемо "позамежним безліччю" [6].[6]

Параметр α отримав назву постійної згладжування, тому що, як і будь-яка зважена середня, ця модель усредняет минулі значення, тобто згладжує "ніки" і "провали" графіка динаміки показника (рис. 7.1).

Графічне представлення згладжування ряду за допомогою моделі Брауна

Рис. 7.1. Графічне представлення згладжування ряду за допомогою моделі Брауна

Визначимо вплив постійної згладжування на результати апроксимації динамічних рядів моделлю Брауна. Припустимо, що постійна згладжування лежить в межах від нуля до одиниці (7.11) і приймає своє крайнє значення, рівне нулю.

Тоді, підставивши це значення в модель (7.5), отримаємо

У такому екстремальному випадку модель не враховує поточну інформацію, вона стає неадаптівной. Якщо в якості стартової оцінки ми використовували середню арифметичну з якоїсь частини ряду (або по всьому ряду), то в цьому випадку ми прийдемо до прогнозу, розрахованому на основі цієї середньої величини. Проте варто відзначити, що 0 - це значення, при якому, формально кажучи, модель Брауна не існує (так як ряд ваг перестає сходитися до 1).

Тепер підставимо в модель Брауна інше крайнє значення з класичних меж - одиницю: Модель в такому вигляді стає ідентичною моделі Naive, розглянутої нами в параграфі 5.2.2. В цілому при такому значенні постійної згладжування модель не враховує минулі значення, а повністю адаптується до поточної інформації.

Бачачи ці дві крайні ситуації в класичних межах, можна зробити висновок, що постійна згладжування характеризує ступінь адаптації моделі Брауна до поточної інформації. Про те, як впливає величина постійної згладжування на ступінь адаптації моделі, свідчить рис. 7.2, на якому зображені дві згладжені методом Брауна криві. Перша - при а = 0,3, друга - при а = 0,7.

Модель Брауна при різних значеннях постійної згладжування

Рис. 7.2. Модель Брауна при різних значеннях постійної згладжування

Який же економічний сенс мають позамежні випадки методу Брауна, певні границями умови (7.11)? З урахуванням того що позамежні випадки відповідають умові, при якому постійна згладжування завжди не менш одиниці, то можна ввести нову змінну в наступному вигляді:

(7.13)

Якщо тепер підставити (7.13) у вихідну формулу моделі Брауна (7.5) і здійснити елементарні перетворення, можна отримати такий вираз:

(7.14)

Так як ми вже неодноразово позначали помилку апроксимації як, то модель (7.14) можна записати так:

(7.15)

Таким чином, з'являється можливість дати смислове тлумачення позамежним випадкам моделі Брауна.

По-перше, слід відразу помститися, що при цьому модель повністю адаптивна до поточної інформації - у формулі (7.15) поточна інформація враховується повністю, оскільки перший доданок формули є не що інше, як поточне спостереження у t.

По-друге, модель стає в тій чи іншій мірі адаптивної до поточної помилку апроксимації - відхиленню розрахункових значень від фактичних εt. При цьому якщо постійна β дорівнює нулю, то прогнозна модель виявляється абсолютно не адаптований до поточної помилку, а якщо вона дорівнює одиниці, то відповідно до умовою (7.15) модель короткострокового прогнозу повністю враховує величину поточної помилки відхилення і модель стає абсолютно адаптований до помилки прогнозу . Випадкам, коли постійна β лежить в межах від нуля до одиниці, відповідає та чи інша ступінь адаптивності моделі до поточної помилку відхилення фактичних значень від розрахункових (модель набуває властивостей самообучаемость). Тут же можна помітити, що для класичного межі β приймає негативні значення. У такому випадку модель починає повільніше реагувати на зміни.

Оскільки постійна згладжування визначає те, як описує модель Брауна прогнозований ряд, а значить, визначає і те, наскільки точним може бути прогноз, виконаний за допомогою цієї моделі, виникає необхідність вибору найкращого значення величини постійної згладжування для кожного ряду.

У деяких джерелах можна зустріти рекомендації задавати постійну згладжування в межах від 0 до 0,3 - саме такий проміжок свого часу рекомендував Браун. Однак даний проміжок занадто вузькою і науково нс обгрунтований. Більш того, дослідження за експоненціальним згладжування показали, що апріорне завдання значень постійної згладжування погіршує точність прогнозу [7]. У наші дні для вибору оптимального значення постійної згладжування використовують процедуру ретропрогноза, яка дозволяє більш ефективно підібрати значення постійної згладжування [8].[7][8]

Для цього вихідний ряд даних у t описують за допомогою моделі Брауна, попередньо поставивши деяке значення постійної згладжування α, і обчислюють помилку ретропрогноза на кожному спостереженні:

Помилка ретропрогноза на кожному спостереженні мало інформативна з позицій поведінки моделі в цілому. Загальне уявлення про точність моделі Брауна при заданій величині постійної згладжування дає деяка узагальнена агрегована величина: сума квадратів відхилень, середнє абсолютне відхилення або деяка інша статистична характеристика. Вибір цієї характеристики визначається, насамперед, завданнями, які ставить перед собою прогнозист. Нехай для визначеності їм обраний критерій мінімуму дисперсії:

(7.16)

Розрахувавши для постійної згладжування α1 дисперсію моделі Брауна щодо вихідного ряду, задають інше значення постійної згладжування, що лежить в межах (7.8), і знову обчислюють помилку рстропрогноза, а на її основі - дисперсію помилки.

Продовжуючи цю процедуру за допомогою зміни постійної згладжування в межах її допустимих значень, отримують ряд значень. Оскільки дисперсія являє собою деяку таблично задану функцію від постійної згладжування, завдання пошуку оптимального значення постійної згладжування, при якій дисперсія помилки буде мінімальною, можна зобразити графічно (рис. 7.3).

Таким чином, завдання знаходження оптимального значення постійної згладжування зводиться до елементарного пошуку мінімуму цієї функції. Вирішити це завдання можна з використанням чисельних методів, які в масі своїй реалізовані в різних статистичних програмах. Відзначимо, що найчастіше залежність дисперсії помилки ретро- прогнозу від значень постійної згладжування носить характер, зображений на рис. 7.3. Однак трапляються ситуації, коли ця залежність має один або декілька локальних мінімумів (рис. 7.4.). Такі ситуації для моделі простого експоненціального згладжування вкрай рідкісні, але вони можуть зустрітися на практиці.

Дисперсія помилки ретропрогноза як функція від постійної згладжування

Рис. 7.3. Дисперсія помилки ретропрогноза як функція від постійної згладжування

Дисперсія помилки ретропрогноза як функція від постійної згладжування з декількома локальними мінімумами

Рис. 7.4. Дисперсія помилки ретропрогноза як функція від постійної згладжування з декількома локальними мінімумами

Тому рекомендується чинити так. Змінюючи величину постійної згладжування з кроком, рівним 0,1, можна визначити відповідні дисперсії ретропрогноза. Аналіз цих дисперсій дозволяє визначити околиці оптимальної точки, і вже в цій околиці, використовуючи будь-який відомий прогнозисти чисельний метод, можна знайти оптимальне значення постійної згладжування.

На практиці іноді зустрічаються ситуації, в яких мінімум дисперсії виходить при α <0, що суперечить умові (7.8). Зазвичай це відбувається у випадках з процесами, що мають випадковий або хаотичний характер, в яких найкращою оцінкою прогнозу є або середня величина, або величина, близька до неї. У таких ситуаціях досліднику варто поставити інше початкове розрахункове значення або використовувати для прогнозування такого ряду замість методу Брауна який-небудь інший.

Як було показано вище, у випадку, коли оптимальне значення постійної згладжування знаходиться в класичних межах, модель адаптивна, коли ж воно знаходиться в позамежному множині, модель не тільки адаптивна, а й самообучаемость. Це говорить про те, що оптимальне значення постійної згладжування визначається властивостями вихідного ряду. Чим відрізняється ряд, для якого найкращою є постійна згладжування, що лежить в класичних межах, від іншого ряду, для якого оптимальне значення постійної згладжування лежить в позамежному безлічі? Для відповіді на це питання проведемо модельні експерименти на умовних прикладах. Розглянемо таблицю результатів розрахунку рядів, що генеруються різними моделями, що мають тенденції різного роду (табл. 7.1) [9].[9]

Таблиця 7.1

Оптимальні значення α для динамічних рядів різного типу

Модель, за допомогою якої генерувався динамічний ряд

Оптимальне значення постійної згладжування

Відсутність тенденцій, нормальний розподіл помилок

0,0202

Ряд з періодичним зміною рівня

0,5321

Лінійний ріст

1,5473

Лінійне спадання

1,5473

Експоненціальне зростання

1,8547

Синусоїда (три періоди)

1,4967

Парабола другого ступеня (увігнута)

1,4724

Сума синусоїди, параболи та експоненти

0,2775

Логарифмічна функція

1,2745

З даних таблиці видно, що практично у всіх випадках оптимальними значеннями постійних згладжування є значення, що знаходяться в позамежному безлічі від 1 до 2. Виключенням є випадок генерації складної динамічного ряду за допомогою синусоїди, параболи та експоненти (графічно ця сума являє собою незростаюча і неубутних сукупність значень, коливних навколо якоїсь середньої величини), ряд з періодичним зміною рівня і, звичайно ж, випадок з штучним стаціонарним процесом (відсутність тенденцій). Зрозуміло, що з різних значеннях коефіцієнтів генеруючих функцій будуть виходити різні ряди, а отже, і різні оптимальні постійні згладжування, однак закономірність, показана в табл. 7.1, зберігається.

Тепер можна зробити необхідні узагальнення, що стосуються позамежного безлічі Брауна. Якщо в процесі оптимізації постійна згладжування лежить в класичних межах - від 0 до 1, то це говорить про те, що перед дослідником представлений процес або з постійним математичним очікуванням (стаціонарний процес), або процес, в якому рівні ряду змінюються дуже рідко. У такому випадку модель Брауна може досить ефективно використовуватися для прогнозування. Якщо ж оптимальне значення постійної згладжування виявилося знаходяться в позамежному множині, то це діагностує ситуацію, коли середня зважена в принципі не може використовуватися в якості оптимальної оцінки прогнозного значення модельованого процесу. Це говорить про те, що процес вийшов за рамки простої динаміки. У нього з'явилася деяка тенденція у розвитку. Її математичний опис в спостережуваний проміжок часу можливо за допомогою однієї з економетричних моделей. У цьому випадку модель, яка краще за всіх описує динаміку прогнозованого економічного процесу, береться за основу і з її допомогою застосовується відповідна модифікація методу Брауна.

Тим не менш, якщо перед дослідником стоїть завдання дати прогноз по моделі Брауна, більш точним буде прогноз на основі постійної згладжування, підібраною з повного безлічі (7.8), ніж з класичного [10].[10]

Варто сказати і про інші критерії, що використовуються при підборі постійної згладжування. Крім критерію мінімуму дисперсії помилки, у випадках, коли у ряді даних спостерігаються викиди, рекомендується здійснювати підбір параметрів на основі мінімуму середньої абсолютної помилки:

(7.17)

Даний критерій більш стійкий до "викидам" і дозволяє одержати більш Робастное значення [11].[11]

Отже, модель простого експоненціального згладжування виявляється дуже зручною у практичному використанні для цілей короткострокового прогнозування як стаціонарних, так і нестаціонарних процесів. Проте головною причиною, чому в літературі постійну згладжування повсюдно обмежують класичним межею є проблема з інтерпретацією значень, що виходять за межі (7.8). У даному випадку ми стикаємося з ситуацією, коли бажання інтерпретувати модель значно її обмежує і збіднює. Розглянемо це питання докладніше.

У загальному вигляді модель Брауна прийнято записувати як (7.5):

(7.18)

Саме в такому вигляді модель Брауна і стала популярною, і саме в такому вигляді з'являється спокуса дати постійної згладжування наступну інтерпретацію (яка превалює в середовищі економістів): а являє собою деяку середню зважену, що служить для формування прогнозного значення. Таким чином, прогноз складається з двох частин: з частини фактичного значення, отриманого на спостереженні ί, і частини, спрогнозованої на це ж спостереження t. У такому трактуванні очевидно, що, так як мається на увазі наявність середньої між двома значеннями. Даного трактування моделі дотримуються багато економістів.

Графічно формування прогнозного значення відповідно до формули (7.18) представлено на рис. 7.5: точка III вважається як середньозважена фактичного значення I і прогнозного II, її значення як раз і стає прогнозом - точкою IV. Далі береться середньозважена між точками IV і V, виходить нова середня (точка VI) і новий прогноз (точка VII) і т.д. Причому а в даній інтерпретації регулює розподіл ваг між фактом і прогнозом.

Графічне представлення механізму формування прогнозу в моделі (7.18)

Рис. 7.5. Графічне представлення механізму формування прогнозу в моделі (7.18)

Проте в даному випадку ми стикаємося з ситуацією, в якій таке трактування моделі її тільки обмежує.

Якщо розкрити дужки в другому множнику правій частині рівності (7.18) і перегрупувати доданки, то можна отримати іншу форму запису моделі Брауна:

(7.19)

У такому вигляді у неї більш явно видно адаптивні риси: прогнозне значення формується на основі попереднього спрогнозованого, а а виступає деяким коефіцієнтом адаптації моделі до нової інформації, що надходить. У цьому випадку ступінь адаптації може бути будь-який: модель може адаптуватися незначно і відсівати надходять "шуми" (коли а малий і, наприклад, становить 0,3) або достатньо швидко адаптуватися до надходить інформації у випадку, коли в процесі відбуваються якісні зміни (коли α більше 1, наприклад 1,7).

Більше того, оскільки вираз в дужках другий доданка правій частині рівності (7.19) є не що інше, як поточна помилка апроксимації, то модель Брауна може бути записана і так:

(7.20)

Перша складова в (7.20) являє собою середню зважену попередніх значень, тобто несе в собі інформацію про всі попередні значеннях досліджуваного ряду. Другий доданок, що представляє собою добуток постійної згладжування на поточну помилку апроксимації, характеризує здатність моделі враховувати поточну похибку апроксимації. Таким чином, модель Брауна має здатність адаптуватися до поточних відхилень від деякого сформованого рівня ряду.

Така форма, варто зауважити, звичайно зветься форми "корекції помилок", так як модель у такому вигляді коригує своє значення до отриманої на попередньому спостереженні помилку.

В цілому ця адаптація до помилки відбувається так. У випадку, коли фактичне значення спостережуваного ряду вище розрахункового, помилка апроксимації має позитивний знак і середня арифметична збільшується на відкориговану за допомогою постійної згладжування величину цього відхилення. Якщо поточна помилка апроксимації негативна, середня зважена зменшується на відкориговану величину помилки апроксимації. Таким чином, розрахункові значення як би "підтягуються" до поточного значення. У цьому і проявляється суть адаптації моделі Брауна. Графічне представлення цього трактування дано на рис. 7.6.

Графічне представлення механізму адаптації в моделі (7.20)

Рис. 7.6. Графічне представлення механізму адаптації в моделі (7.20)

Тут розрахункове значення II береться за базу для прогнозу на наступному спостереженні і переноситься в точку III, яка потім коригується на величину відхилення фактичного значення I від розрахункового II. У підсумку прогнозне значення з точки III "переходить" в точку IV, яка, у свою чергу, стає базою для наступного прогнозу (точка VI) і т.д.

Модель Брауна можна представити і в іншому вигляді. Так, якщо звернутися до формулою (7.15):

(7.21)

то ми прийдемо до нової форми, як і раніше математично тотожною формам (7.18) і (7.20). Однак завдяки такому уявленню отриману модель можна в черговий раз трактувати дещо інакше. Для наочності розглянемо трактування цієї форми на рис. 7.7.

Графічне представлення механізму адаптації в моделі (7.21)

Рис. 7.7. Графічне представлення механізму адаптації в моделі (7.21)

За своєю логікою цей механізм нагадує описаний для малюнка 7.6, проте у нього є деякі відмінності. Так, модель спочатку формується виходячи з попереднього фактичного значення, а не з попереднього розрахункового (значення точки I переноситься на наступне спостереження в точку III), яке потім коригується на величину відхилення факту (точка I) від прогнозу (точка II) на попередньому спостереженні пропорційно значенню коефіцієнта β.

Для класичних меж зміни постійної згладжування від нуля до одиниці коефіцієнт β = α-1 лежить в межах (-1,0]. При позитивному знаку поточної помилки апроксимації фактичне значення, яке на ролі орієнтиру для прогнозу, зменшується на відкориговану величину поточної помилки апроксимації ε T. Це означає, що прогноз по моделі Брауна при постійній згладжування, що лежить в класичних межах, має властивість інерційності - наступне прогнозне значення ніколи не досягне рівня вже наявного поточного.

У разі позамежного безлічі (7.12) коефіцієнт β лежить в межах [0,1). У такому випадку при позитивному відхиленні фактичного значення від розрахункового модель передбачає подальше збільшення показника, що перевищує досягнутий рівень. Тому фактичне значення збільшується на величину поточного відхилення, скоригованого на поправочний коефіцієнт β.

Значить, у класичних кордонах зміни постійної згладжування модель Брауна инерционна, а в позамежних випадках інерційність моделі зменшується. Знаючи це властивість, можна дати інтерпретацію моделі Брауна.

У класичних межах, коли постійна згладжування лежить в проміжку від нуля до одиниці, модель відображає мінливі, але інерційні еволюційні процеси, в яких зміни протікають з невеликою швидкістю.

У позамежному множині, коли постійна згладжування лежить в межах від одиниці до двох, модель описує процеси з малою інерційністю, коли якісні зміни в досліджуваному об'єкті відбуваються швидко.

  • [1] Brown R. G. Exponential Smoothing for Predicting Demand. Cambridge, Massachusetts: Arthur D. Little Inc, 1956.
  • [2] Holt З. C. Forecasting Seasonals and Trends by Exponentially Weighted Averages. Pittsburgh, Pennsilvania: Carnegie Institute of Technology, 1957.
  • [3] Мала математична енциклопедія. Будапешт: Изд-во Академії наук Угорщини, 1976. С. 412.
  • [4] Светуньков С. Г. Про розширення меж застосування методу Брауна // Известия Санкт-Петербурзького державного університету економіки і фінансів. 2002. № 3. С. 94-107.
  • [5] Brenner J. L, D'Esposo D. A. and Fowler A. G. Difference equations in forecasting formulas // Management Science. 1968. Vol. 15. № 3. P. 141-159.
  • [6] Светунисов С. Г. Позамежні випадки методу Брауна // Економічні науки: Вчені записки УлГУ. Вип. 2.4.1. Ульяновск: Изд-во ПСНЦ, 1997..
  • [7] Chatfield С. The Holt-Winters forecasting procedure // Applied Statistics. 1978. Vol. 27. P. 264-279.
  • [8] Gardner Jr. ES Exponential smoothing: the state of the art // Journal of Forecasting. 1985. Vol. 4. P. 7.
  • [9] Светуньков С. Г., Бутуханов А. В., Светуньков І. С. Позамежні випадки методу Брауна в економічному прогнозуванні. СПб .: Изд-во СПбГУЕФ, 2006.
  • [10] Hyndman Rob /., Koehler Anne У., Ord J. Keith, Snyder Ralph D. Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. Springer- Verlag Berlin Heidelberg. 2008. P. 42.
  • [11] Gardner Jr. ES Note: Rule-based forecasting vs. damped-trend exponential smoothing // Management Science. 1999. Vol. 45. P. 245-253.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Просте експоненціальне згладжування з дрейфом
Моделі експоненціального згладжування
Автоматизація моделей експоненціального згладжування
Модель експоненціального згладжування сезонних рівнів
Модель Брауна (модель експоненціального згладжування)
Експоненціальне згладжування
Метод експоненціального згладжування
Зв'язок між ARIMA і експоненціальним згладжуванням
Як використовувати метод експоненціального згладжування?
Адаптація нелінійних моделей методом нерівномірного згладжування
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук