Навігація
Головна
етап. Удосконалення джерел небезпек за вимогами експертизи стану...Підходи до створення єдиного інформаційного простору РосіїОсновні філософські підходи до розуміння проблеми простору і часуФІЛОСОФІЯ ПОЛІТИЧНОГО ПРОСТОРУРизики в будівельній справі і соціальному просторіСтруктура інформаційного просторуПарадоксальність глибини художнього просторуДія податкового законодавства у часі і просторі. Зворотна сила...Хід Ейнштейна. Теорія відносності як теорія метрики простору і часуДія кримінально-процесуального закону в просторі, в часі і по колу...
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Підхід простору станів

Головне, за що, починаючи з 1956 р, критикувалися моделі експоненціального згладжування, - це їх погане математико-статистичне обгрунтування. Дійсно, моделі експоненціального згладжування просто описують реальність, а не відображають "лежать в основі генеруючого процесу залежності", чого так не вистачає Економетристи. І нехай ніякого процесу "генерації" в реальності не існує, але бажання отримати модель, що володіє важливими властивостями незсуненості, ефективності та спроможності (хай і не мають нічого спільного з еволюціонує економічною реальністю) пересилює розум.

Незважаючи на всі плюси і мінуси стандартного статистичного підходу до моделювання еволюціонує динаміки, не можна не відзначити, що одного властивості моделям експоненціального згладжування дійсно не вистачало - не маючи нормальної "статистичної" моделі, побудувати коректний і ефективний інтервальний прогноз за такими моделями вкрай важко. Крім того, було створено велику кількість різних модифікацій моделі Брауна, тому в якийсь момент виникла потреба систематизувати всі накопичені знання і звести їх в якусь одну модель.

Все це призвело до появи підходу простору станів до моделей експоненціального згладжування (в англійських джерелах - "State space approach") [1], який базується на декомпозиції часового ряду. Як ми вже знаємо, зазвичай передбачається, що будь-який часовий ряд може бути описаний трьома компонентами:

1) трендової (T). У даному підході вважається, що тренд складається тільки з рівня ряду I t і кута нахилу b t;

2) сезонної (S). Сезонної компоненті відповідають сезонні коефіцієнти з t;

3) помилкою (E).

Кожна з цих компонент може входити в модель як адитивно, так і мультиплікативно (див. Параграф 6.1).

Якщо розглядати два крайніх випадку, то модель експоненціального згладжування відповідно до підходу простору станів може бути:

1) адитивної:

(7.47)

2) мультиплікативної:

(7.48)

Кожна з цих компонент може адаптувати складову ряду але аналогії з моделлю Брауна.

Наявність і тип цих трьох компонент пропонується позначати у вигляді ETS (*, *, *) [2], де замість символів "*" можуть бути наступні значення:

N - компонента відсутня;

А - компонента носить адитивний характер;

М - компонента носить мультиплікативний характер;

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

A d - компонента носить адитивний характер демпфірованного тренда;

М d - компонента носить мультиплікативний характер демпфірованного тренда.

Абревіатура ETS може бути розшифрована як "ExponenTial Smoothing"; ETS дозволяє легко зрозуміти, якої позиції відповідає той чи інший тип компоненти (перша зірочка - помилка, друга - тренд, третя - сезонність).

Облік всіх компонент в такому підході фактично починається з тренда. Тренд може бути будь-якого із зазначених типів. Відсутність тренда (N) має на увазі наявність лише рівня ряду I d. Адитивний тренд (А) - це тренд, в якому відбувається складання рівня I d і кута нахилу b d. Мультиплікативний (М) - має на увазі їх перемножування. Варіації з демпфірованним трендом (A d і M d) мають на увазі множення кута нахилу на спеціальний коефіцієнт демпфірування (докладніше на цих моделях ми зупинимося в наступному параграфі). Таким чином, на другій позиції в ETS може бути будь-яке з п'яти представлених вище позначень.

Другий важливий елемент, який вже взаємодіє з "основою" (трендом) - це сезонність, яка може як бути відсутнім, так і носити адитивний або мультиплікативний характер. У зв'язку з цим на третій позиції в ETS може бути "Ν", "A" або "М".

Помилка в моделі може бути лише або адитивної, або мультиплікативної. Відсутність помилок не допускається. Тому на першій позиції в кожному разі повинне стояти або "А", або "М".

Кожен раз, розшифровуючи ETS, ми починаємо з середини (тренду), потім переходимо до сезонності і тільки потім - до помилок.

Прийнявши таку таксономию, ми можемо позначити будь-яку модель експоненціального згладжування в термінах ETS. Наприклад, розглянута нами раніше модель Брауна позначається у вигляді ETS (Α, Ν, Ν) і в прийнятих позначеннях буде мати вигляд

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Проста модифікація сезонних рівнів (див. Параграф 7.3) позначається як "ETS (A, N, A)" і фактично відповідає моделі

Модель (7.48), наприклад, буде позначатися як "ETS (МММ)".

Більш екзотичні типи моделей, наприклад "ЕТ8 (M, A, A)" вимагають окремого пояснення. У даному випадку ми бачимо, що тренд повинен носити адитивний характер, сезонність - додаватися до тренду, а ось помилки повинні множитися на отримані значення. Записують наступним чином:

Як ми розуміємо, з одного боку, кожна з компонент вимагає адаптації, а з іншого - отримання тієї чи іншої моделі диктує свої правила за розрахунком прогнозу на h спостережень вперед. Формули адаптації кожного з елементів та розрахунку прогнозів для всіх основних варіантів ETS наведено в табл. 7.5.

Таблиця 7.5

Формули для побудови прогноз за допомогою ETS та адаптації коефіцієнтів різних компонент

Трендовая

компонента

Сезонна компонента

N

A

Μ

N

А

А d

М

M d

У табл. 7.5 представлено 15 базових моделей, що розрізняються по тому, як у них враховуються трендова і сезонна компоненти. У таблиці використовуються такі позначення:

у t - фактичне значення на спостереженні t,

- Розрахункове значення:

l t - значення рівня ряду;

b t - значення кута нахилу;

c t - значення сезонного коефіцієнта;

α, β *, γ - постійні згладжування, що дозволяють адаптувати відповідні компоненти;

φ - коефіцієнт демпфірування, який дозволяє зменшувати "крутизну" нахилу прямої лінії, одержуваної на основі розрахованого кута нахилу;

s - лаг сезонності;

h - термін прогнозування.

На час побудови моделі за наявним ряду даних термін прогнозування h зазвичай задається рівним одиниці. У такому випадку фактично на кожному спостереженні модель дає прогноз на один крок вперед, після чого адаптує отриманий прогноз до наявного фактичним значенням.

Як бачимо, модель Брауна в таблиці представлена системою

Покажемо, що від введення таких позначень модель насправді ніяк не змінилася.

Задамо h = 1, тоді система (7.49) набуде вигляду

З першої рівності випливає, що

Підставляючи це значення в друге рівність, а потім нове отримане друга рівність - в першу, ми прийдемо до класичної моделі Брауна:

(7.49)

Звернемо увагу на те, що в табл. 7.5 постійна згладжування для кута нахилу позначена у вигляді β *. Зроблено це нс просто так. Справа в тому, що в тому вигляді, в якому представлені формули в табл. 7.5, постійна згладжування у кута нахилу залежить від значення постійної згладжування рівня ряду. Однак якщо уявити псу формули адаптації у формі корекції помилок (тобто формі, схожій на форму (7.20) моделі Брауна), то кути нахилу можна буде адаптувати незалежно від рівня ряду.

Покажемо це на прикладі моделі ETS (A, A, N), яка представлена системою

Якщо прийняти h = 1, то ми помітимо, що розрахункове значення па наступний крок просто дорівнює сумі рівня і кута нахилу на поточному кроці:

(7.50)

Рівень в такому випадку можна записати в іншому вигляді:

або у формі корекції помилок:

(7.51)

Розкриємо дужки у формулі кута нахилу: після чого винесемо за дужки постійну згладжування β *:

Вираз в дужках складається з двох частин: адаптованого тренда (7.51) і розрахункового значення (7.50). Підставами ці значення:

У результаті ми отримуємо формулу адаптації кута нахилу у формі корекції помилок:

(7.52)

Для зручності твір постійних згладжування в (7.52) можна замінити:

Тоді фінальна модель HTS (A, A, N) у формі корекції помилок може бути записана так:

(7.53)

Така форма моделей експоненціального згладжування зручніше, оскільки в адаптації кожного з елементів моделі тепер є щось універсальне: кожна зі складових у тій чи іншій мірі просто адаптується до отриманої помилку на даному спостереженні. Таке однаковість значно полегшує роботу з моделями експоненціального згладжування.

У табл. 7.6 представлені ті ж види моделей, що і в табл. 7.5, тільки у формі корекції помилок з адитивними помилками. Схожі формули з мультиплікативними помилками представлені в табл. 7.7. Вони отримані шляхом заміни звичайних адитивних помилок на мультиплікативні помилки, оскільки запропонована формула для побудови моделі з мультиплікативними помилками виглядає наступним чином:

(7.54)

Відзначимо, що помилки в табл. 7.6 і 7.7 розраховуються по-різному:

• адитивні помилки (табл. 7.6):

(7.55)

• мультиплікативні помилки (табл. 7.7):

(7.56)

В обох випадках вводиться стандартне припущення про нормальність розподілу помилок:

У випадку з мультиплікативної моделлю з умови нормальності розподілу помилок випливає, що

(7.57)

Це зручно, так як математичне очікування в такому випадку буде дорівнює одиниці.

Таблиця 7.6

Моделі експоненціального згладжування у формі корекції помилок з адитивними помилками

Трендовая компонента

Сезонна компонента

N

А

М

N

А

А d

М

Md

Таблиця 7.7

Моделі експоненціального згладжування у формі корекції помилок з мультиплікативними помилками

Трендовая компонента

Сезонна компонента

N

А

М

N

А

А d

M

М d

Варто, однак, звернути увагу на те, що через те, що в моделі з мультиплікативними помилками (7.54) помилки обчислюються за формулою (7.56), розраховувати на виконання такого допущення не варто. Покажемо, чому так відбувається. Якщо модель (7.54) привести до лінійного вигляду, то ми отримаємо

(7.58)

У такій моделі, як ми вже обговорювали раніше і параграфі 6.1, якщо помилки розподілені нормально, то експонента цих помилок буде розподілена логнормального:

(7.59)

Порівнявши (7.57) з (7.59), можна побачити, що одна з цих умов некоректно. Якщо згадати, що собою представляє нормальний розподіл, то стає зрозуміло, що некоректним є саме умова (7.57). Так, нормальний розподіл помилок припускає наявність як позитивних, так і негативних випадкових величин. Поповнення до кожної випадкової величиною 1 призводить до зміни математичного очікування, зменшує ймовірність появи негативних значень, але не має на увазі їх повної відсутності (як у випадку з умовою (7.59)). Вірогідність отримати негативні значення у випадку з виконанням умови (7.57) становить

(7.60)

Аналізуючи (7.60), можна помітити, що ймовірність отримання негативних чисел буде дорівнює нулю тільки у випадку, якщо, що па практиці неможливо. Отримання, наприклад, одиничної дисперсії вже буде давати наступну ймовірність:

Крім того, припускаючи (7.57), ми очікуємо, що розподіл помилок буде симетричним, що на практиці не виконується: форма (7.56) має на увазі можливість появи великих позитивних помилок поряд з частою появою малих, близьких до 0, що вказує на позитивну асиметрію у розподілі помилок. Ця риса характерна для логнормального, а не для нормального розподілу.

Все це вказує на те, що припущення (7.57) некоректно, більш природним є припущення (7.59). На точковий прогноз моделей така невідповідність, звичайно, не впливає, однак це може привести до побудови некоректних довірчих інтервалів.

Подання моделей експоненціального згладжування у формі корекції помилок зручніше і наочніше, оскільки така форма дозволяє легко включати в модель елементи тренда і сезонності так, як це потрібно досліднику, не витрачаючи час на те, щоб зрозуміти, що до чого має адаптуватися в тій чи іншій компоненті.

Як видно з табл. 7.6 і 7.7, точковий прогноз, отриманий за моделями експоненціального згладжування з адитивними та мультиплікативними помилками, буде ідентичний. Відмінності в даному випадку будуть лише в ширині довірчих інтервалів. Так, побудова мультиплікативної моделі фактично має на увазі, що помилки можуть рости пропорційно - ефект, в економетрики званий гетероскедастичності.

Вибір підходящої моделі експоненціального згладжування зазвичай здійснюється або на основі експертної думки, або автоматично на основі інформаційного критерію (другий варіант буде розглянуто нами нижче). У загальному випадку дослідникові потрібно зрозуміти, чи є в ряді даних складові ETS і який вони можуть носити характер. Так, якщо в ряді даних спостерігається тенденція до зростання або до зниження, це означає, що в ньому присутня трендова компонента ("T"), Якщо тенденція ближче до експоненті, то це мультиплікативний тренд. Якщо вона ближче до логарифму або статечної функції, то має сенс вибрати тренд з демпфуванням. Якщо це проста лінійна тенденція, то можна звернутися до адитивного тренду. Крім того, якщо в ряді даних є сезонні коливання, значить є сезонна компонента ("S"). Характер сезонної компоненти не завжди вдається визначити, але для багатьох рядів краще підходить мультиплікативна сезонність. Якщо ж ні тренда, ні сезонності немає, значить дослідник має справу лише з "рівнем", тобто для прогнозування підійде модель простого експоненціального згладжування. На основі такого експертної думки можна вибрати модель з табл. 7.6 і 7.7.

Для ідентифікації тенденції у ряді даних можна вдатися або до методів, описаним у параграфі 5.1, або до агрегуванню даних. Наприклад, маючи місячні дані за 8 років, шляхом складання можна отримати ряд з 8 річних спостережень. Знівелювавши таким чином сезонність, можна побачити, чи є тенденція в ряді даних і якою вона носить характер.

Всі описані в даному параграфі моделі реалізовані у програмі "R" пакету "forecast". Функція, що дозволяє будувати ці моделі, носить назву "ets". З її допомогою можна легко побудувати будь-яку із зазначених 48 моделей. Детальніше про неї та її властивості можна почитати в статті Р. Хайндмана [3].[3]

Підхід простору станів дозволяє узагальнити всі моделі експоненціального згладжування в більш загальну модель, записувану в матричному вигляді. Він полягає в поданні будь-якої моделі в двох частинах:

1) "вимірювальне рівняння", що описує процес в тому вигляді, в якому ми його сприймаємо (що складається з тренда, сезонності та помилки):

(7.61)

де x t - вектор компонент часового ряду; w - вимірювальний вектор, який визначає те, яким чином компоненти повинні входити в вимірювальне рівняння;

2) рівняння простору станів, що описує різні стани відповідних компонент спостережуваного показника:

(7.62)

де F - матриця переходів, визначальна, як компоненти повинні адаптуватися до помилок; g - вектор постійних згладжування.

Так, наприклад, для моделі ETS (A, A, N) ми будемо мати такі матриці і вектора:

(7.63)

Підставивши (7.63) в (7.61) і (7.62), ми прийдемо до моделі (7.53).

Таке уявлення дозволяє розраховувати дисперсії для моделей і полегшує процес побудови інтервальних прогнозів.

  • [1] Gardner E. S. Exponential smoothing: the state of the art - part II // International Journal of Forecasting. 2006. Vol. 22 (4). P. 637-666.
  • [2] Hyndman Rob J., Koehler Anne В., Ord J. Keith, Snyder Ralph D. Forecasting with Exponential Smoothing: the state space approach. Springer- Verlag Berlin Heidelberg, 2008. C. 17.
  • [3] Hyndman Rob J., Khandakar Yeasmin. Automatic Time Series Forecasting: The forecast Package for R // Journal of Statistical Software. 2008. Vol. 27 (3). P. 1-22.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Cхожі теми

етап. Удосконалення джерел небезпек за вимогами експертизи стану життєвого простору техносфери
Підходи до створення єдиного інформаційного простору Росії
Основні філософські підходи до розуміння проблеми простору і часу
ФІЛОСОФІЯ ПОЛІТИЧНОГО ПРОСТОРУ
Ризики в будівельній справі і соціальному просторі
Структура інформаційного простору
Парадоксальність глибини художнього простору
Дія податкового законодавства у часі і просторі. Зворотна сила податкового закону
Хід Ейнштейна. Теорія відносності як теорія метрики простору і часу
Дія кримінально-процесуального закону в просторі, в часі і по колу осіб
 
Дисципліни
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук