Навігація
Головна
Модель Хольта - Уінтерса і її варіантиМодифіковані варіанти моделі EOQКласичний варіант моделі EOQОцінка моделі і вибір найкращого варіанту шляху проходження інформаціїРозрахунок питомих наведених витрат нового варіанту технологіїПриведення до порівнянної увазі варіантів з не повністю збігається...Разработка варіантів вирішенняФормування моделі, що відображає можливі варіанти проходження...Деякі варіанти формулювань і приклади тим дослідженняМоделі комунікації в різних гуманітарних областях (по Г. Г. Почепцова)
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Модель Хольта і її варіанти

Модель Хольта відповідає моделі ETS (A, A, N) або ETS (M, A, N). Спочатку розглянемо модель в базовій формі. Вона має вигляд

(7.64)

Якщо спробувати дати інтерпретацію запропонованим Хольту формулами, спираючись на рівняння лінійного тренду, то зробити це буде нелегко. Тому, щоб зрозуміти логіку міркувань Хольта, звернемося безпосередньо до суті формул адаптації коефіцієнтів у (7.64). Коефіцієнт l t змінюється в часі і або зростає, або знижується (залежно від значень коефіцієнта b t), Це випливає з першої формули (7.64), в якій перший доданок характеризує досягнутий рівень зростаючого ряду, а друге - приріст цього рівня.

Необхідно звернути увагу на наступне. Якщо показник у t вимірюється, наприклад, в рублях, то і коефіцієнт l t також вимірюється в рублях. З (7.64) випливає, що коефіцієнт b t повинен вимірюватися як швидкісний параметр ставленням руб / час. Тому безпосередньо складати коефіцієнт 4 і коефіцієнт b t, як це зроблено в другому доданку правої частини рівності другого рівняння в (7.64), можна, як можна складати відстань і швидкість. Можна припускати, що в дужках другий доданка другого рівності (7.64) коефіцієнт b t множиться па час h, яке в даному випадку дорівнює одиниці і тому в формулу нс включено. Тільки в цьому випадку розмірності доданків співпадуть, і можна буде провести їх складання. Таким чином, час у моделі Хольта не має точки відліку, і його показник h є ПРИРОСТНОЙ, причому відстані між двома сусідніми спостереженнями рівні одиниці. Час в моделі Хольта рівномірно. З цього випливає, що модель (7.64) являє собою нс загальновідоме рівняння тренду, а модель Naive з постійним приростом:

(7.65)

Якщо розглядати модель саме так, то сенс кожного рівності моделі Хольта стає очевидним.

Друга формула в системі (7.64), що дозволяє обчислити адаптивне значення коефіцієнта l t, являє собою модель Брауна, де перший доданок характеризує фактично досягнутий рівень ряду в момент часу ί, а друге - його розрахункове значення в попередній момент. Інакше кажучи, метод Брауна в цій ситуації застосуємо до прогнозування значень коефіцієнта l t.

Тепер легко зрозуміти сенс третього рівняння моделі Хольта (7.64). Перший доданок в ньому представляє характеристику постійного приросту моделі (7.65), а друге - характеризує стан коефіцієнта b t в попередній момент часу. Знову методом Брауна прогнозується значення коефіцієнта b t.

Зауважимо, у разі β * = α ми отримуємо модель, називається моделлю подвійного згладжування [1].[1]

У існуючої теорії і практиці соціально-економічного прогнозування значення постійних згладжування обмежуються межами від 0 до 1. Якщо в моделі Брауна, розробленої для прогнозування деякого мінливого у часі показника, обмеження на постійну згладжування логічно випливали з передумов самої моделі, оскільки вона представляла собою середню зважену ряду, то в моделі Хольта (як і в багатьох інших модифікаціях методу Брауна) таке обмеження із властивостей моделі не випливає. Це можливо тільки в тому випадку, коли є підстави апріорно припускати, що коефіцієнти лінійного тренда змінюються в часі щодо деякого постійного рівня і незалежні один від одного.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Прогнозист може припускати, що на певному проміжку часу значення коефіцієнтів моделі змінюються щодо деякого свого рівня. Але незалежність коефіцієнтів l t і b t не виконується ніколи: при розрахунку коефіцієнта l t використовується значення коефіцієнта b t, а при обчисленні коефіцієнта b t безпосередньо використовується коефіцієнт l t. Оскільки кожний з коефіцієнтів обчислюється за допомогою власного значення постійної згладжування, виходить, що постійна згладжування а впливає на постійну згладжування β і навпаки. Це говорить про те, що використання класичних меж на області зміни постійних згладжування в методі Хольта є необгрунтованим.

Справжні межі, в яких лежать постійні згладжування для моделі Хольта були виведені ще в 1968 р [2] і можуть бути записані у вигляді системи

(7.66)

У формі корекції помилок обмеження (7.66) приймає вигляд [3]

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

(7.67)

Як бачимо з (7.67), постійна згладжування β лежить в межах від 0 до 4 (залежно від значень а, що лежить в межах від 0 до 2). Отримання значень β> 1 може означати, що у вихідному ряді даних відбуваються суттєві зміни, які модель Хольта не встигає описати. Можливо, в такому випадку має сенс спробувати побудувати іншу модель експоненціального згладжування (наприклад, модель з мультиплікативним трендом).

На даний момент жодних доказ того, що обмеження постійних згладжування класичним проміжком збільшує точність прогнозів моделі, немає. Більше того, прогнози, одержувані за моделями з більш широкими інтервалами, в ряді випадків виявляються точніше прогнозів за моделями з інтервалами від 0 до 1 [4] 3.

Щоб запустити модель за формулою (7.64), потрібно якимось чином задати стартові значення параметрам l 0 і b 0. Зазвичай це робиться автоматично під час знаходження значень оптимальних постійних згладжування. Однак у такому випадку для запуску моделі потрібно підібрати чотири параметри: α, β, l 0 і b 0, що являє собою нетривіальну задачу, так як під час підбору цих параметрів дослідник, швидше за все, зіткнеться з декількома локальними мінімумами цільової функції. У такому випадку рекомендується, по-перше, розрахувати коефіцієнти моделі лінійного тренду по всьому ряду даних і взяти отримані значення рівня ряду і кута нахилу в якості стартових значень для l 0 і b 0, а по-друге, - при підборі чисельними методами задати різні значення α і β, від яких здійснюється пошук, знайти кілька локальних мінімумів, після чого вибрати мінімальний з них. Швидше за все, отримані значення будуть характеризувати глобальний мінімум цільової функції.

В якості цільової функції, на основі якої відбувається підбір параметрів, зазвичай використовують дисперсію помилки (7.16), середню абсолютну помилку (7.17) або від'ємне значення функції правдоподібності. Функцію правдоподібності стосовно подібним завданням ми розглянемо в параграфі 7.7.

Подивимося, який прогноз дає модель Хольта при побудові по ряду даних № 41, розглянутому нами раніше. Побудова моделі ми здійснимо в програмі "R". Щоб при побудові моделі використовувати природні кордони (7.67) у функції ets потрібно додати параметр "bounds =" admissible "".

У результаті розрахунків ми отримали наступні параметри моделі:

α = 1,971; β = 0,058; l 0 = 639,594; b 0 = 274,022.

Як бачимо, оптимальна постійна згладжування для рівня ряду виявилася більше одиниці, а для кута нахилу - досить близькою до нуля. Це говорить про те, що в ряді даних відбуваються істотні зміни рівня, але кут нахилу при цьому змінюється незначно. Проте можливо, що використання іншої прогнозної моделі дозволило б отримати більш точні прогнози ряду цих даних.

На рис. 7.13 показані ряд даних № 41, модель Хольта і прогноз по ній.

Апроксимація ряду даних № 41 з бази М3 і його прогнози на шість спостережень вперед моделлю Хольта

Рис. 7.13. Апроксимація ряду даних № 41 з бази М3 і його прогнози на шість спостережень вперед моделлю Хольта:

суцільна лінія - фактичні значення;

переривчаста - розрахункові значення

Як бачимо, через зміну тенденції на періоді з 1989 по 1994 р модель Хольта дала не найточніший прогноз: sMAPE = 25,66%. Однак у разі збереження лінійних тенденцій у ряді даних точність методу, звичайно ж, стає вище.

Побудова моделі Хольта на практичних рядах даних привело прогнозистів до висновку про те, що на довгостроковій перспективі модель "перестрілює" фактичні значення, тобто в довгостроковій перспективі проста лінійна тенденція не зберігається, зазвичай зростання фактичних значень з часом сповільнюється. Щоб врахувати це і дати більш точний прогноз, в модель Хольта був введений коефіцієнт демпфірування φ [5]. Отримана модифікована модель позначається "ETS (A, A d, N)" і має вигляд[5]

(7.68)

Щоб краще зрозуміти сенс суми в першому рівнянні, звернемося до моделі Хольта (7.64). Якщо розрахункове значення на h кроків вперед в ній уявити не через твір коефіцієнта b t, на h, а через суму b, h раз, то ми отримаємо

Як бачимо, на кожному наступному кроці до отриманого значення в моделі Хольта просто додається один і гот же коефіцієнт приросту b t.

У моделі Хольта з демпфуванням на кожному кроці коефіцієнт b t, що додається до попереднього рівня, множиться на φ в ступені номера кроку:

Якщо, то зведення його в ступінь з кожним кроком буде давати все менше число. У результаті виходить, що приріст з кожним наступним кроком стає все менше, а тренд починає затухати.

Що характерно, при φ = 1 ми отримуємо просту модель Хольта (7.64), а у випадку, коли φ = 0, - модель Брауна (7.6).

Теоретично можливі ситуації, коли, але вони не мають практичної цінності, оскільки тренд в такому випадку вже не загасає, а:

• зростає експоненціально (у випадку, якщо φ> 1);

• починає коливатися навколо прямої лінії з дедалі збільшується амплітудою (у випадку, якщо φ <-1);

• призводить до Знакозмінні загасаючого ряду, аналогічно моделі виду (5.38) з

Обмеження, що накладаються на постійні згладжування, в даному випадку стають ще більш складними [6]:[6]

(7.69)

Побудувавши модель Хольта з демпфірованним трендом на тому ж прикладі ряду №41, ми отримали наступні параметри:

За ним вже можна сказати, що модель Хольта з демпфірованним трендом не дуже підходить для опису вихідного ряду даних. Через те, що коефіцієнт демпфірування виявився рівним одиниці, ми прийшли до простої моделі Хольта. Єдине, що відрізняє цю модель від моделі, отриманої в попередньому випадку, - це стартові значення l 0 і b 0. Природно, що прогноз, отриманий в результаті але цієї моделі, являє собою просту пряму лінію (рис. 7.14).

Апроксимація ряду даних № 41 з бази М3 і його прогнози на шість спостережень вперед моделлю Хольта з демпфірованним трендом

Рис. 7.14. Апроксимація ряду даних № 41 з бази М3 і його прогнози на шість спостережень вперед моделлю Хольта з демпфірованним трендом:

суцільна лінія - фактичні значення;

переривчаста - розрахункові значення

Очевидно, що прогноз, отриманий таким чином, виявився все так само неточний, як і у випадку з моделлю Хольта. Помилка тут виявилася навіть вищою, ніж минулого разу: sMAPE = 26,01%.

Щоб зрозуміти, чому ж все-таки модель (7.68) відрізняється від моделі (7.64), розглянемо інший ряд даних - ряд № 42. Для нього оптимальні постійні значення коефіцієнтів вийшли наступними:

Варто звернути увагу на те, що оптимальні постійні згладжування в даному випадку не вписуються в класичні межі (0; 1). При цьому прогноз по отриманої моделі вийшов таким, як показано на рис. 7.15, ліворуч.

Апроксимація ряду даних № 42 з бази М3 і його прогнози на шість спостережень вперед моделлю Хольта з демпфірованним трендом з обмеженнями (7.69) (ліворуч) і з класичними обмеженнями (праворуч)

Рис. 7.15. Апроксимація ряду даних № 42 з бази М3 і його прогнози на шість спостережень вперед моделлю Хольта з демпфірованним трендом з обмеженнями (7.69) (ліворуч) і з класичними обмеженнями (праворуч):

суцільна лінія - фактичні значення;

переривчаста - розрахункові значення

Як бачимо, на цьому ряді ми якраз зіткнулися з ситуацією, коли тенденція на прогнозованому проміжку змінилася і стала більш пологою. Незважаючи на те що прогноз виявився систематично завищеними, за рахунок демпфірування він сильно не задирається і поступово наближається до фактичним значенням. Помилка апроксимації все ж досить велика: sMAPE = 18,99%.

Якби ми обмежили постійні згладжування класичним проміжком, то отримали б інші коефіцієнти моделі (з легко інтерпретуються постійними згладжування):

що призвело б до зовсім іншим прогнозом (рис. 7.15, праворуч).

Видно, що класичні обмеження, накладені в другому випадку, призвели до отримання завищеного коефіцієнта демпфірування, що в результаті дало більш задирати прогноз, ніж у випадку з обмеженнями (7.69): sMAPE = 22,91%.

  • [1] Brown R. G. Statistical forecasting for inventory control. New York: McGraw-Hill, 1959.
  • [2] Brenner J. L., D'Esposo D. A., Fowler A. G. Difference equations in forecasting formulas // Management Science. 1968. Vol. 15. № 3. P. 141-159.
  • [3] Hyndman Rob J., Koehler Anne B "OrdJ. Keith, Snyder Ralph D. Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. Springer - Verlag Berlin Heidelberg, 2008. P. 155.
  • [4] Gardner Jr. ES Exponential smoothing: the state of the art // Journal of Forecasting. 1985. Vol. 4. P. 11; Hyndman RobJ., Akram Muhammad, Archibald Blyth C. The admissible parameter space for exponential smoothing models // Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 2008. P. 407-426.
  • [5] Gardner E. S., McKenzie Ed. Forecasting Trends in Times Series // Management Science. 1985. Vol. 31. № 10. P. 1237-1246.
  • [6] Hyndman Rob J., Koehler Anne B., Ond J. Keith, Snyder Ralph D. Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. Springer- Verlag Berlin Heidelberg, 2008. P. 155.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Cхожі теми

Модель Хольта - Уінтерса і її варіанти
Модифіковані варіанти моделі EOQ
Класичний варіант моделі EOQ
Оцінка моделі і вибір найкращого варіанту шляху проходження інформації
Розрахунок питомих наведених витрат нового варіанту технології
Приведення до порівнянної увазі варіантів з не повністю збігається асортиментом продукції, що випускається
Разработка варіантів вирішення
Формування моделі, що відображає можливі варіанти проходження інформації в АІС
Деякі варіанти формулювань і приклади тим дослідження
Моделі комунікації в різних гуманітарних областях (по Г. Г. Почепцова)
 
Дисципліни
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук