Навігація
Головна
Визначення порядку моделі авторегресії зі ковзної середньоїБазові моделі часових рядівВиди ковзних середніхМоделі авторегресіїСходження-розбіжність ковзних середніхМОДЕЛІ авторегресії і ковзаючої середньоїВиявлення тенденцій у ряді даних за допомогою ковзних середніхКовзні середні значенняПопередній аналіз і згладжування часових рядів економічних показниківПопередній аналіз і згладжування часових рядів економічних показників
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Опис стаціонарного часового ряду авторегресії і ковзної середньої

Для початку розглянемо загальну форму запису моделей авторегресії зі ковзної середньої і обговоримо те, які види прогнозів вони дозволяють давати.

Модель авторегресії зазвичай позначається у вигляді AR (p), де р - це порядок моделі, який показує, від якого значення (скільки кроків назад) залежить поточне значення ряду. У загальному вигляді модель AR (p) записується наступному чином:

(8.1)

де с - константа; а i - i -й коефіцієнт моделі; εt - помилка моделі, про яку, звичайно ж, передбачається, що вона розподілена незалежно і нормально з нульовим математичним очікуванням і деякої постійної дисперсією.

Коефіцієнти моделі (8.1) легко розраховуються звичайним методом найменших квадратів. Значимість коефіцієнтів отриманої моделі визначається стандартними економетричними методами.

Часто для спрощення представлення моделі авторегресії вводять так звані Лагові оператор - функцію, згідно з якою

(8.2)

Сам зміст оператора зовсім неважливо, просто записувати модель авторегресії високого порядку з ним значно легше. Наприклад, модель (8.1) в загальному вигляді за допомогою (8.2) може бути переписана в іншій формі:

(8.3)

Якщо тепер в (8.3) праворуч залишити лише помилку і константу, а вліво перенести всі інші елементи, то можна отримати загальноприйняту форму запису моделі авторегресії порядку р:

(8.4)

Виносячи в (8.4) у t за дужки, отримаємо

(8.5)

Складову в дужках можна представити як функцію від оператора зсуву:

(8.6)

Це дозволяє представити авторегресії в ще більш компактному вигляді:

(8.7)

Тут нижній індекс в самій функції визначає порядок авторегресії, а вказівка на У в дужках - те, як будуть представлені елементи в (8.6). Наприклад, для авторегресії третього порядку AR (3) отримаємо

(8.8)

Підставляючи (8.8) в (8.7), перегруповуючи елементи, ми в підсумку прийдемо до моделі:

Як бачимо, форма (8.7) зручна завдяки своїй компактності. Варто також відзначити, що авторегресія (8.7) зазвичай розглядається без константи, але її наявність не критично, оскільки воно лише змінює рівень ряду. Сам сенс моделі від неї не змінюється.

Щоб дати прогноз по моделі AR (p) на один крок вперед, досить підставити в оцінене рівняння наявні фактичні значення на останніх спостереженнях. Однак для того, щоб дати прогноз на два кроки вперед і більше, потрібно зробити допущення, ідентичне тому, яке було в експонентному згладжуванні:

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

(8.9)

У випадку з найпростішими моделями це допущення дозволяє визначити прогноз на h кроків вперед. У випадку з більш складними моделями доводиться використовувати ітеративну процедуру: розрахувавши прогноз на один крок вперед, підставляти його у формулу для того, щоб отримати прогноз на два кроки вперед, і т.д.

Розглянемо властивості найпростішої авторегрессионной моделі - моделі авторегресії першого порядку AR (+1), відомої також під назвою "Марковський процес". У загальному вигляді вона може бути записана як

(8.10)

Якщо за цією моделлю дати прогноз на один крок вперед, то отримаємо

(8.11)

Для отримання прогнозу на два кроки вперед підставимо отримане в (8.11) значення в модель:

(8.12)

Розкриваючи дужки в (8.5), отримуємо формулу для розрахунку прогнозу на два кроки вперед по моделі AR (1):

(8.13)

Повторюючи таку ітеративну процедуру, отримаємо формулу для розрахунку прогнозу на h кроків вперед:

(8.14)

У формулі (8.14) сума в дужках - це сума елементів геометричній прогресії, яка дорівнює

(8.15)

Підставляючи (8.15) в (8.14), отримуємо просту формулу для розрахунку прогнозного значення на h кроків вперед на основі останнього отриманого фактичного значення:

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

(8.16)

Можна помітити, що прогнозне значення у формулі (8.16) залежить в першу чергу від значення коефіцієнта а 1, причому залежність ця носить вид показовою функції (5.38), розглянутої нами в параграфі 5.3. Відповідно прогноз по моделі AR (1) буде являти собою досить прості траєкторії показового характеру, які ми вже розглядали. Нагадаємо їх. На рис. 8.1 наведено чотири можливих варіанти прогнозних траєкторій.

Види прогнозних траєкторій для моделі AR (1)

Рис. 8.1. Види прогнозних траєкторій для моделі AR (1)

Найбільший інтерес у прогнозуванні представляють траєкторії з а 1> 0. Проте варто відзначити, що при побудові моделі ARMA ситуацій, на зразок тієї, коли а 1> 1, намагаються уникати у зв'язку з тим, що при таких значеннях коефіцієнта модель стає нестаціонарної. Докладніше питання стаціонарності ми розглянемо в наступному параграфі.

Процес, в якому а 1 = 1, називається процесом випадкового блукання, оскільки в такому випадку у формуванні майбутнього значення у t основну роль грає вже не попереднє значення у t-1, а помилка

Такий процес займає окреме місце в економетрики, бо теоретично лежить в основі безлічі нестаціонарних процесів. Графічний приклад процесу випадкового блукання наведено на рис. 8.2.

Процес випадкового блукання

Рис. 8.2. Процес випадкового блукання

У зв'язку з тим що помилки г, були задані iid (незалежно однаково розподіленими) по стандартному нормальному закону, на кожному конкретному спостереженні t могло вийти як позитивне, так і негативне відхилення від у t-1. У результаті цього можуть виходити зовсім різні траєкторії в абсолютно різних напрямах. Природно, у зв'язку з тим, що помилки на періоді прогнозування передбачаються рівними нулю, прогноз по моделі випадкового блукання відповідає прогнозу по моделі Naive - всі майбутні значення рівні останньому отриманому фактичному. Цей тип моделі не використовують безпосередньо в прогнозуванні за допомогою авторегресії, але швидше використовують як інструмент для ідентифікації часових рядів.

Звернемо увагу на те, що порядок авторегресії має особливе значення - це не просто зрушення спостережень на крок чи два тому, а суттєва зміна суті моделі.

Друга за популярністю модель авторегресії - це модель AR (2), відома також під назвою "Процес Юла". У компактній формі вона записується як

(8.17)

А в більш докладному поданні має вигляд

(8.18)

Прогнозування на один крок вперед за допомогою цієї моделі здійснюється так само просто, як і за допомогою AR (1):

(8.19)

Однак прогноз на довільне число кроків вперед h вимагає вже рекуррентной процедури з розрахунком всіх проміжних значень між спостереженнями Т + 1 і Т + h.

Ця модель дозволяє отримувати значно більше число прогнозних траєкторій, і розглянути всі з них досить важко. Кілька прикладів таких траєкторій наведено на рис. 8.3.

Види прогнозних траєкторій для моделі AR (2)

Рис. 8.3. Види прогнозних траєкторій для моделі AR (2)

Ситуації, зображені в лівій частині графіка, відповідають нестаціонарним моделям, до яких в практиці прогнозування намагаються не звертатися.

Як бачимо, при різних значеннях коефіцієнтів а 1 і а 2 можна отримати абсолютно різні траєкторії: лінійні, експоненціальні, з асимптотой, тригонометричні і т.д. У зв'язку з тим що розрахунок коефіцієнтів здійснюється за допомогою МНК, обрана траєкторія автоматично повинна найкращим чином відповідати ряду даних.

Умова стаціонарності для моделі AR (2) записується у вигляді системи нерівностей:

(8.20)

Більш складні моделі дозволяють моделювати ще більш різноманітні і складні прогнозні траєкторії. Однак у прогнозуванні намагаються уникати моделей авторегресії порядку більше двох. Іноді це умова послаблюється до третього порядку. Викликано таке обмеження тим, що зазвичай поява елементів більш високого порядку сигналізує про наявність сезонності у ряді даних, а для її моделювання за допомогою авторегресії є спеціальні модифікації (наприклад, модель SARIMA, до якої ми звернемося пізніше).

Ідея про те, що досліджувана величина може залежати від своїх же значень у минулому, отримала подальший розвиток. Так, припускаючи, що при генерації y t завжди існує деяка помилка (яка, звичайно ж, розподілена нормально, що вказує на вплив безлічі дрібних неврахованих факторів), з'явилася ідея про те, що майбутні значення у t можуть залежати не тільки від минулих значень ряду , а й від випадкових помилок на попередніх спостереженнях. Так з'явилася модель ковзної середньої порядку q, MA (q), яка зазвичай записується у вигляді

(8.21)

У зв'язку з тим що в (8.21) майбутні значення залежать від попередніх помилок, розрахувати коефіцієнти моделі МНК вже неможливо. Тому при оцінюванні моделі використовуються чисельні методи.

Варто зазначити, що сума ваг при помилках в (8.21) необов'язково дорівнює одиниці, тому назва "змінна середня" не зовсім відповідає дійсності. Однак ця назва вже давно закріпилося за цією моделлю.

Використовуючи введений нами раніше Лагові оператор У, формулу (8.21) можна переписати у вигляді

(8.22)

Виносячи в (8.22) за дужки ε "отримаємо

(8.23)

За аналогією з авторегресії введемо функцію для приведення (8.23) до компактного увазі:

(8.24)

Тут нижній індекс у функції так само, як і у випадку з авторегресії, визначає порядок моделі.

Варто звернути увагу, що для одноманітності записи Дж. Бокс і Г. Дженкінс використовували інше уявлення функції (8.24):

У такому вигляді вона схожа на функцію (8.6) для авторегресії і з нею зручніше працювати при оцінці стаціонарності ряду. Однак сенсу в такому спотворенні параметрів моделі в даному випадку немає, бо до такої залежності можна прийти, лише припустивши, що первісна модель (8.21) повинна мати інший вигляд: - що насправді незручно. Саме тому тут і далі ми будемо використовувати функцію (8.24), наступну з моделі (8.21).

З урахуванням (8.23) модель змінного середнього порядку q може бути компактно записана як

(8.25)

Щоб дати прогноз по моделі МA (q) на h кроків вперед, потрібно спочатку дати прогноз на один крок вперед, а далі припустити, що

У зв'язку з тим що помилка розраховується як відхилення фактичного значення від розрахункового, на періоді прогнозу всі помилки звертаються в нуль:

Тому прогноз по моделі МА (q) на h кроків вперед являє собою просту пряму лінію:

Модель ковзної середньої зазвичай обмежують другим, а іноді - третім порядком. Викликано це все тими ж міркуваннями, що і у випадку з авторегресії.

Звернемо увагу на те, що для того щоб отримати помилки, за якими далі можна запустити модель, в моделі змінного середнього потрібно задати якісь стартові значення εt. Зазвичай для цього користуються процедурою "зворотного прогнозу" (Backcast), за допомогою якої відновлюють значення помилок. Виводяться ці значення за допомогою самої моделі. Зазвичай при цьому передбачається, що значення на лагах t + 1 і t - 1 корелюють зі значенням t однаково. Тому значення ряду можна отримати, використовуючи не тільки попередні, але і майбутні значення. У результаті цього для моделі (8.21) значення помилок на спостереженні t будуть обчислюватися по формулі

(8.26)

Обчислюючи помилки для всього ряду даних з кінця до самого початку за формулою (8.26), можна отримати ряд стартових значень помилок, що складається з q елементів. Очевидно, що отримані таким чином помилки будуть вже по-іншому впливати на розрахункові значення у, тому процедура зворотного прогнозу носить ітеративний характер: після отримання оцінок за формулою (8.26) коефіцієнти моделі переоцінюються. Потім стартові значення знову обчислюються, і так продовжується до отримання стійких оцінок коефіцієнтів.

Процеси AR (p) і МА (q) пов'язані один з одним. Так, якщо звернутися до моделі авторегресії (8.7) в компактному вигляді без константи і виразити в ній у t, то отримаємо

(8.27)

При цьому, якщо у вихідній моделі авторегресії (8.1) спробувати виразити поточне значення у t через попередні, використовуючи саму ж формулу (8.1), то ми отримаємо нескінченний ряд помилок з коефіцієнтами авторегрессионной моделі, що може бути компактно записано у вигляді

(8.28)

З цього випливає, що авторегресії кінцевого порядку відповідає процес ковзної середньої нескінченного порядку і навпаки.

Покажемо це властивість на прикладі моделі AR (1) без константи:

(8.29)

З (8.29) випливає, що значення y t-1 розраховується за формулою

(8.30)

Підставляючи (8.30) в (8.29), одержимо

Висловлюючи значення на кроці t через фактичне значення на кроці t - 3, отримаємо

У загальному випадку значення y t може бути розраховане через значення:

(8.31)

В (8.31) у випадку зі стаціонарним процесом з наближенням τ до нескінченності буде наближатися до нуля. Тоді, спрямовуючи τ в нескінченність, отримуємо формулу, виражену в термінах ковзної середньої:

(8.32)

Використовуючи Лагові оператор і компактний вид, приходимо до моделі ковзної середньої нескінченного порядку (8.28).

Аналогічно можна показати, що кінцевим процесам МА (q) відповідають нескінченні AR. Все це вказує на те, що моделі авторегресії і ковзного середнього можна об'єднати для того, щоб кінцевими порядками описувати відповідні складові. Модель ARMA (p, q) в первісному вигляді записується так:

(8.33)

Використовуючи введені нами раніше лагові оператори та функції (8.6) і (8.24), формулу (8.33) можна переписати у компактному вигляді:

(8.34)

Так, наприклад, модель ARMA (2,1) буде мати вигляд звідки

або в повній формі:

Модель ARMA поєднує в собі властивості як авторегресії, так і ковзної середньої. А у зв'язку з тим, що на ділянці прогнозу помилки звертаються в нуль (елементи МА звертаються в нуль), всі прогнозовані траєкторії ARMA (p, q) відповідатимуть траєкторіях AR (p). Однак це не означає, що змінна середня не потрібна - її облік дозволяє більш точно апроксимувати ряд даних і відсікти непотрібні елементи авторегресії, які виникли б через зв'язок між AR і МА.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Cхожі теми

Визначення порядку моделі авторегресії зі ковзної середньої
Базові моделі часових рядів
Види ковзних середніх
Моделі авторегресії
Сходження-розбіжність ковзних середніх
МОДЕЛІ авторегресії і ковзаючої середньої
Виявлення тенденцій у ряді даних за допомогою ковзних середніх
Ковзні середні значення
Попередній аналіз і згладжування часових рядів економічних показників
Попередній аналіз і згладжування часових рядів економічних показників
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук