Навігація
Головна
Нестаціонарність, методи ідентифікації та усуненняКонцептуальні засади та принципи судової ідентифікаціїКонцепція криміналістичної ідентифікації як елементарного акту...Судова ідентифікаціяПоняття і наукові основи криміналістичної ідентифікаціїВикористання в логістиці технології автоматичної ідентифікації...НАУКОВА ІДЕНТИФІКАЦІЯ ТЕОРІЇ СОЦІАЛЬНОЇ РОБОТИ ТА ЇЇ МІСЦЕ В СИСТЕМІ...Теорія криміналістичної ідентифікаціїФізичні закони, що лежать в основі технології автоматичної...Нестаціонарні процеси і приведення їх до стаціонарного увазі
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Ідентифікація нестаціонарності

Тепер, коли ми розібралися з тим, що таке стаціонарний процес, і розглянули основні методи приведення нестаціонарних процесів до стаціонарного увазі, з'ясуємо, як можна визначити, чи є досліджуваний процес стаціонарним чи ні.

Крім очевидного графічного аналізу вихідного ряду даних, можна запропонувати ще як мінімум два методи, які дозволяють зробити більш точні висновки про стаціонарності.

Перший метод полягає у вивченні коррелограмм по вихідному ряду даних (про коррелограмми ми вже згадували в параграфі 5.1.3). Сигналізувати про нестаціонарності вихідного ряду можуть наступні риси коррелограмм:

1. Автокорреляционная (АКФ) або приватна автокорреляционная (ЧАКФ) функція спадає повільно, що знаходить відображення в тому, що кілька коефіцієнтів автокореляції виявляються значимо відмінними від нуля.

2. Кілька значень на лагах більше третього в АКФ або ЧАКФ виявилися значимо відмінними від нуля.

3. АКФ або ЧАКФ змінюються гармонічно, коливаючись близько нуля. Це може сигналізувати про наявність сезонності у ряді даних і про те, що для приведення ряду до стаціонарного потрібно взяти сезонні різниці.

Візьмемо для прикладу ряд № 1999. За допомогою функції "tsdisplay" статистичного пакету "R" ми побудували графік вихідного ряду і коррелограмми для ряду № 1999. Всі вони наведені на рис. 8.6.

Ряд № +1999, його АКФ і ЧАКФ

Рис. 8.6. Ряд № 1999, його АКФ і ЧАКФ

Коррелограмми за коефіцієнтами автокореляції, як бачимо, убуває досить повільно, через що значущими виявилися коефіцієнти автокореляції ще аж до 12 лага. Це є показником нестаціонарності вихідного ряду даних. Крім того, гармонійне поведінку АКФ і ЧАКФ наводить на думку про те, що в ряді даних є сезонність, однак повільне убування АКФ не дозволяє точно визначити це через нестаціонарне ™ вихідного ряду даних. Щоб зробити який-небудь однозначний висновок, потрібно розглянути ряд в різницях (рис. 8.7).

За отриманими коррелограмми видно наявність сезонності - значущими виявилися лаги високого порядку, крім того, АКФ і ЧАКФ не зменшуються, а коливаються біля нуля. Це сигналізує про наявність сезонної нестаціонарності. Взяття сезонних різниць приводить нас до наступного (рис. 8.8).

Ряд № +1999 в різницях, його АКФ і ЧАКФ

Рис. 8.8. Ряд № 1999 в різницях, його АКФ і ЧАКФ

Тепер по коррслограммам видно, що коефіцієнти автокореляції та приватної автокореляції на 12-му лагу значно виходять за рамки довірчого інтервалу. Всі інші коефіцієнти (за винятком 36-го, який кратний 12-му, а значить, швидше за все, викликаний все тієї ж сезонної залежністю) лежать всередині інтервалу, тобто статистично незначущі.

В результаті всього цього на основі тільки графічного аналізу можна зробити висновок, що ряд даних нестационарен і в ньому присутній сезонність.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Проте, як бачимо, цей метод досить суб'єктивний і вимагає, швидше, досвіду роботи з тимчасовими рядами з боку дослідника, ніж якихось глибоких знань.

Щоб отримати більш об'єктивну оцінку стаціонарності, Економетристи були розроблені тести, засновані на перевірці статистичних гіпотез. Різновидів цих тестів досить багато, ми розглянемо тільки дві (найбільш популярні) з них.

Ряд № +1999 в перших і сезонних різницях, його АКФ і ЧАКФ

Рис. 8.9. Ряд № 1999 в перших і сезонних різницях, його АКФ і ЧАКФ

Перший тест - це розширений тест Діккі - Фулчера (відомий за кордоном як "Augmented Dickey - Fuller test" - ADF). Щоб усвідомити суть цього тесту, для початку треба познайомитися з базовим тестом Діккі - Фуллера.

У тесті передбачається побудова простий авторегрессионной моделі виду

(8.49)

де δ - вектор коефіцієнтів; - вектор регресійних елементів, який може включати в себе константу і трендові складову (лінійний тренд), а може і нічого не включати. У повному вигляді (з константою і трендом) модель (8.49) може бути записана:

Якщо в якості регресорів була включена тільки константа, вона фактично бере на себе рівень ряду і дозволяє Авторегрессіонний елемент "очистити" від його впливу. Таким чином, виходить більш достовірна оцінка коефіцієнта а 1 у в тих випадках, коли ряд не коливається навколо нуля.

Схожу функцію виконує і складова лінійного тренду: якщо в ряді даних на всьому протязі спостерігається тенденція до зростання, тренд цю тенденцію візьме на себе і значення а 1 знову ж буде більш коректним.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Визначення того, чи варто включати ці елементи і якщо варто, то які, повністю лягає на плечі дослідника і залежить тільки від того, з яким поруч він має справу.

Далі ідея тесту Діккі - Фуллера досить проста: у випадку, якщо коефіцієнт а 1 виявляється рівним або більше одиниці, отриманий результат говорить про те, що ряд носить нестаціонарний характер. Перевірка цього здійснюється за допомогою статистичної гіпотези. Для початку, однак, з лівої і правої частин (8.49) віднімають значення у t-1.

(8.50)

Після цього замінюють коефіцієнт 1 - 1) на α:

(8.51)

Тепер, якщо коефіцієнт вихідної моделі дорівнює одиниці, то α = 0, якщо коефіцієнт більше 1, то α> 0, що зручно. Далі оцінюється регресія (8.51) і за отриманими значеннями перевіряється наступна гіпотеза:

Як ми вже згадували в параграфі 8.1, ситуації, коли а 1 <0, на практиці зустрічаються вкрай рідко (а ситуації з умовою а 1 <-1 і зовсім не зустрічаються), тому альтернативна гіпотеза фактично полягає в тому, що а 1 <1 , a це є індикатором того, що вихідний ряд даних описується стаціонарної моделлю авторегресії першого порядку.

Щоб перевірити таку гіпотезу, достатньо розрахувати t -Статистика:, яка буде розподілена за Стьюдентом з п - k ступенями свободи в тому випадку, якщо помилки отриманої моделі розподілені нормально.

Очевидно, що побудувавши модель (8.51) по ряду даних, дослідник не враховує всієї структури часового ряду і отримує дуже неточне опис ряду. Це в підсумку позначається на оцінці коефіцієнта a, a значить, і на фінальному результаті перевірки гіпотези. Тому для того, щоб врахувати всі елементи ряду, був запропонований розширений тест Діккі - Фуллера, що відрізняється від початкового тесту тільки тим, що в (8.51) додаються ще р значень попередніх у в різницях (що в підсумковій моделі фактично відповідає авторегресії р + 1 порядку ):

(8.52)

Весь наступний алгоритм оцінки коефіцієнтів та перевірки гіпотези ідентичний описаному вище. Проте в даному випадку вже побічно оцінюється, описується чи даний часовий ряд стаціонарної моделлю AR (p + 1) або нестаціонарної.

Вибір порядку р знову ж виявляється на совісті дослідника. Як варіант автоматизації цього процесу можна побудувати р + 1 модель (8.52), вибрати з них модель з найменшим значенням інформаційного критерію (AIC, BIC і т.п.) і перевірити запропоновану гіпотезу по ній.

Для отримання більш точної інформації про ряд даних тест Діккі-Фуллера проводять ще й по першим, і по других різницям ряду, що дозволяє зробити більш точні висновки про стаціонарності. Причому, враховуючи основні принципи перевірки статистичних гіпотез, тест має сенс починати з взяття другого різниць. Логіка тут така. Якщо дослідник, провівши тест по вихідному ряду, одержить значення, не відкидати нульову гіпотезу, він не може однозначно говорити про те, що ряд нестационарен (можливо, у нього занадто мало спостережень або обрана некоректна модель). Якщо ж спочатку проводиться тест по других різницям, потім по першим і тільки після цього по вихідному ряду, зберігається логіка перевірки гіпотез: відкинувши гіпотезу по друге різницях, можна оцінити, відкидається чи вона в перших різницях, і т.п. Якщо ж гіпотеза не відкидається на якомусь із кроків, то це може сигналізувати про нестаціонарності на даному кроці (наприклад, ряд нестационарен в перших різницях). Звичайно ж, всі отримані результати мають сенс тільки у разі репрезентативності наявної вибірки, чого досягти в реальних економічних умовах досить складно через постійної еволюції всіх економічних систем.

Після появи тесту Діккі - Фуллера було проведено багато досліджень з різних рядах даних. У ході деяких з них з'ясувалося, що для багатьох (якщо не для всіх) агрегованих економічних часових рядів нульова гіпотеза про нестаціонарності не відхиляється. Отриманий результат, як це випливає з принципів перевірки статистичних гіпотез, викликаний тим, як формуються нульова і альтернативна гіпотези: для того, щоб відхилити нульову гіпотезу, потрібні більш сильні докази, ніж у випадку з її невідхиленому. Тому було запропоновано ряд тестів з іншого нульовий та альтернативної гіпотезами. Один з них - тест Kwiatkowski, Phillips, Schmidt: & Shin або скорочено "KPSS" [1].[1]

Тест KPSS базується на більш простий моделі, ніж ADF-тест. Мається на увазі, що вихідний ряд даних може бути описаний трьома компонентами:

1) детермінованим трендом δ t;

2) процесом випадкового блукання r t = r t-1 + і t, причому в якості r 0 зазвичай вибирається константа;

3) випадкової стаціонарної помилкою εt.

Причому як і t, так і εt iid (тобто ідентично незалежно розподілені величини), такі, що

Об'єднати три компоненти в єдину модель, отримуємо

Нульова гіпотеза в тесті полягає в тому, що дисперсія і t дорівнює нулю, що в такому випадку буде вказувати на те, що процес описується лише трендової компонентою

(8.53)

(8.54)

і константою, тобто в такому випадку процес стає стаціонарним щодо тренда. В якості альтернативного варіанту дослідник може прибрати трендовую компоненту і проводити тест лише з компонентою випадкового блукання і помилкою. У такому випадку оцінюється стаціонарність відносно заданого рівня. Формулюються гіпотези відповідно:

Перевіряється цей тест LM-статистикою (тест множників Лагранжа), розрахованої за формулою

(8.55)

де

Суть тесту полягає в наступному: якщо в процесі мається випадкове блукання, то воно буде приводити до систематичних відхилень від тренда в деяких частинах ряду. Наприклад, на тривалому проміжку спостерігається перевищення фактичних значень над розрахунковими, а після - заниження. Тоді накопичені залишки S t будуть рости по модулю. Так, у випадку з систематичним завищенням S t буде позитивним і далі буде все збільшуватися аж до отримання негативних залишків, після яких почне зменшуватися. У результаті цього сума квадратів S t в чисельнику (8.55) буде досить великою (в порівнянні з простою дисперсією залишків у знаменнику), а значить, і сама LM-статистика буде великий, що вже побічно вказує на відхилення нульової гіпотези.

На практиці формула (8.55) застосовна лише для випадків з великими вибірками і виконанням припущень (8.53). У разі порушення цих умов використовується інша формула:

(8.56)

де - оцінка дисперсії з урахуванням автокореляції залишків, вироблена на основі спектральної функції [2]

(8.57)

У разі відсутності автокореляції залишків друга частина суми в (8.57) звертається в нуль, і ми приходимо до стандартної оцінці дисперсії помилок.

Процес перевірки гіпотези в тесті KPSS ідентичний загальноприйнятій: якщо розрахункове значення, отримане по (8.56), виявляється менше табличного, у дослідника немає підстав відхилити нульову гіпотезу про стаціонарності процесу. Так само, як і у випадку з ADF, даний тест має сенс починати з других різниць. Варто, однак, зауважити, що KPSS не є тестом, заміщує ADF, - він його доповнює, про що вказували і його автори.

Розглянемо на прикладі, як можна ідентифікувати нестаціонарний процес і привести його до стаціонарного увазі, використовуючи стандартний загальноприйнятий підхід на основі ряду даних № 2 568 з бази М3 (до якого ми вже зверталися в гл. 6). Ряд вибраний невипадково: у ньому навіть візуально простежуються досить чітка сезонність і явна тенденція до зростання (рис. 8.9).

Крім того, за коррелограмми на рис. 8.9 видно, що ряд нестационарен (немає загасання ACF і PACF) і має сезонність (коефіцієнт автокореляції на 12-му лагу сильно вибивається). Проведемо тести ADF (з константою і трендом) і KPSS (з константою і трендом). Зведемо результати тестів в табл. 8.1, де в стовпці ADF будуть виведені розрахункові значення t-статистик, а в стовпці KPSS - розрахункові значення LM -Статистика.

Таблиця 8.1

Результати тестів на стаціонарність ряду даних № 2 568

Порядок різниць d

ADF

KPSS

2

- 13,4094

0,0168

1

- 9,6786

0,0187

0

- 4,9528

0,0788

Ряд № 2 568 (нагорі) і його коррелограмми

Рис. 8.9. Ряд № 2568 (нагорі) і його коррелограмми

Для інтерпретації результатів тесту візьмемо критичні значення для t-статистики і LM-статистики на 5% -му рівні залишкової ймовірності:

1) ί-статистика: -3,451 (округлене значення як для тесту в різницях, так і для вихідного ряду);

2) -Статистика: 0,146.

Як бачимо, гіпотеза про нестаціонарності (з урахуванням тренда і константи) по тесту ADF оттеняется на 5%, як у випадку з низкою в різницях, так і у випадку з вихідним поруч: розрахункове значення в обох випадках виявилося менше табличного (значення потрапили в лівий хвіст розподілу).

Результати з тією ж інтерпретацією вийшли і для KPSS- тіста: на 5% у нас немає підстав відхилити гіпотезу про стаціонарності (з урахуванням тренда і константи) як вихідного, так і низки в різницях: розрахункові значення виявилися меншими табличних (значення потрапили в довірчий інтервал ).

Все це вказує на те, що в ряді даних спостерігається постійна тенденція до зростання, описувана трендової компонентою, яку можна прибрати, наприклад, взяттям перший різниць. Звертаємо увагу на те, що тести проводилися з трендовими складовими, тому й отриманий такий висновок.

На рис. 8.9 також видно, що із зростанням значення зростає і дисперсія, що вказує нам на мультипликативную сезонність, яка з економетричної погляду вказує на наявність гетероскедастичності. Щоб позбутися її, прологарифмируем значення ряду. У підсумку отримаємо наступний ряд і коррелограмми (рис. 8.10).

Ряд № 2 568 в логарифмах і його коррелограмми

Рис. 8.10. Ряд № 2568 в логарифмах і його коррелограмми

Як бачимо, логарифмирование зробило дисперсію по ряду більш рівномірною, при цьому АКФ і ЧАКФ практично не змінилися.

Для позбавлення від сезонності звернемося до сезонних різницям:

В цілому сезонні різниці можна розглядати як оцінку того, наскільки змінився показник за сезон (у нашому прикладі вони характеризують зміна за рік).

У нашому випадку з урахуванням взяття логарифмів і того, що ряд даних має явну сезонність з лагом s = 12, ця формула прийме вигляд

(8.58)

Розрахуємо такі різниці і розглянемо отриманий ряд (рис. 8.11).

Ряд № 2 568 в сезонних різницях логарифмів і його коррелограмми

Рис. 8.11. Ряд № 2568 в сезонних різницях логарифмів і його коррелограмми

За рис. 8.11 вже видно, що взяття сезонних різниць призвело ряд даних до стаціонарного увазі - тепер він носить більш випадковий характер. При цьому ми втратили 12 значень вихідного ряду даних в самому його початку. За ACF і PACF видно, що вибиваються коефіцієнти на далеких лагах (більшого, ніж другий лаг), що побічно може вказувати на нестаціонарність. Чисто візуально по вихідному ряду видно, що ряд може все ще бути нестаціонарним. Проведемо тести для того, щоб зрозуміти, чи потрібно над ним працювати і далі. Цього разу при перевірці гіпотез ми не будемо включати трендовую складову, щоб оцінити стаціонарність щодо рівня ряду. Результати тестів зведені в табл. 8.2.

Таблиця 8.2

Результати тестів на стаціонарність ряду даних № 2 568 після логарифмування і взяття сезонних різниць

Порядок різниць d

ADF

KPSS

2

-10,8863

0.0294

1

-7,8611

0,0277

0

-3,4817

0,4037

Критичні значення для перетвореного ряду на 5% -му рівні:

1. t -Статистика: -2,891 (округлене значення як для тесту в різницях, так і для вихідного ряду);

2. -Статистика: 0,463.

Ми знову приходимо до того, що по ADF-тесту є підстави відхилити нульову гіпотезу про нестаціонарності вихідного ряду (як в різницях, так і вихідного), а по KPSS-тесту у нас немає підстав відхилити нульову гіпотезу про стаціонарності ряду. При цьому, враховуючи, що ми проводили тести без трендової компоненти, в цілому можна зробити висновок, що ряд даних після логарифмування і взяття сезонних різниць можна вважати стаціонарним. Ці результати, звичайно ж, не говорять про те, що ми маємо справу зі стаціонарним поруч (адже по ряду даних на рис. 8.10 видно незначна тенденція до зменшення). Скоріше, вони вказують на те, що наявні тенденції в досліджуваному ряді даних самі по собі носять слабкий характер і можуть бути визнані статистично незначущими.

Для подальшого прогнозування по отриманому ряду даних можна скористатися моделлю ARMA або її модифікацією для сезонних рядів - SARIMA, або найпростішими методами прогнозування. Про те, як можна підібрати порядок моделі ARMA, ми поговоримо в наступному параграфі, тому поки дамо прогноз за досить простою моделі - моделі лінійного тренду. Для цього розрахуємо її коефіцієнти по преобразованному ряду:

(8.59)

Графічно ряд і модель тренда по ньому представлені на рис. 8.12.

Ряд № 2 568 в сезонних різницях логарифмів і тренд по ряду

Рис. 8.12. Ряд № 2568 в сезонних різницях логарифмів і тренд по ряду

Тепер, щоб повернутися до початкових величин, нам потрібно відновити дані. Для початку від сезонних різниць потрібно повернутися до вихідного ряду в логарифмах. Для цього замість різниць у формулі (8.58) підставимо розрахункові значення по тренду (8.59) і з отриманої формули висловимо ln у t:

(8.60)

На ділянці прогнозу замість. будемо підставляти У результаті отримаємо наступний ряд даних і прогноз (рис. 8.13).

Ряд № 2 568 в логарифмах (суцільна лінія з точками), розрахункові значення і прогноз але нього (суцільна лінія)

Рис. 8.13. Ряд № 2568 в логарифмах (суцільна лінія з точками), розрахункові значення і прогноз але нього (суцільна лінія)

Як бачимо, перехід до вихідного ряду привів до того, що вихідна сезонність, що спостерігалася в ряді даних № 2 568, повернулася: прогнозні значення повторюють динаміку вихідного ряду.

Однак нам залишилося ще одну дію - нам потрібно перейти до первинних величинам. Л для цього треба проекспонувать отриманий ряд. У підсумку прийдемо до ряду розрахункових значень, зображеному на рис. 8.14, і прогнозом по ньому (рис. 8.15).

За рис. 8.14 видно, що підсумковий ряд розрахункових значень досить точно апроксимувати вихідний ряд: спостерігаються не тільки зростання значень і сезонні коливання, але ще і зростання дисперсії, тобто всі риси, властиві вихідного ряду, повторюються в розрахункових значеннях. На себе звертає увагу втрата 12 перших значень, що може бути неприємно на малих вибірках, по в нашому випадку виявилося абсолютно некритичним.

Ряд № 2 568 (суцільна лінія з точками) і розрахункові значення по ряду, отримані після всіх перетворень (суцільна лінія)

Рис. 8.14. Ряд № 2568 (суцільна лінія з точками) і розрахункові значення по ряду, отримані після всіх перетворень (суцільна лінія)

Ряд № 2 568 (суцільна лінія з точками) та прогноз на 18 значень вперед (суцільна лінія)

Рис. 8.15. Ряд № 2568 (суцільна лінія з точками) та прогноз на 18 значень вперед (суцільна лінія):

вертикальною лінією показаний момент часу, щодо якого робився прогноз

Прогноз по отриманої моделі спеціально була винесена на окремий графік, оскільки із-за великого числа спостережень візуально відрізнити фактичні значення від розрахункових на рис. 8.15 було досить проблематично. Тут ми бачимо, що приблизно до червня 1993 прогноз був досить точним: повторюється як загальна динаміка, так і сезонні коливання. Проте вже після середини 1993 спостерігаються розбіжності. Середня відносна помилка прогнозу в результаті цього виявилася рівною sMAPE = 7,10%. Для порівняння, в М3 - Competitions найточніше цей ряд змогла спрогнозувати модель ARARMA по десезоналізірованному ряду даних - для неї помилка склала 4,29%. Модель Хольта - Уінтерса дала прогноз з помилкою в 7,68%.

Варто відзначити, що через численні перетворень ряду мінімальні помилки, допущені на нижньому рівні (на рівні ряду в логарифмах і різницях), при переході до вихідного рівня можуть значно вирости і привести до отримання дуже неточних прогнозів. Тому до таких процедур варто ставитися обережно.

В цілому ми бачимо, що використання стандартної методики ідентифікації нестаціонарності та приведення процесу до стаціонарного увазі пов'язане з рядом труднощів і вимагає докладного аналізу ряду даних і отриманих результатів. Багато в чому всі виконувані дослідником дії залежать від його суб'єктивної оцінки - в якихось випадках одержувані результати можуть призводити до абсолютно різних висновків і рішень. Наприклад, прологаріфміровав ряд даних, можна спробувати привести його до стаціонарного увазі шляхом взяття перших різниць і тільки потім намагатися позбавитися від сезонності. Результати в такому випадку, швидше за все, були б іншими.

Можна укласти, що для отримання більш точних прогнозів за допомогою цього підходу дослідник повинен володіти великим досвідом роботи з тимчасовими рядами. Проте пропонований стандартний підхід у випадку з нестаціонарними (оборотними) процесами дає добрі результати і досить точні прогнози.

  • [1] Kwiatkowski Denis, Phillips Peter С. В., Schmidt Peter, Shin Yongcheol. Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root // Journal of Econometrics. 1992. Vol. 54. P. 159-178.
  • [2] Kwiatkowski Denis, Phillips Peter С. В., Schmidt Peter, Shin Yongcheol. Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root // Journal of Econometrics. 1992. Vol. 54. P. 164.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Cхожі теми

Нестаціонарність, методи ідентифікації та усунення
Концептуальні засади та принципи судової ідентифікації
Концепція криміналістичної ідентифікації як елементарного акту ототожнення, реалізованого у складі спеціальної методики доведення
Судова ідентифікація
Поняття і наукові основи криміналістичної ідентифікації
Використання в логістиці технології автоматичної ідентифікації штрихових кодів
НАУКОВА ІДЕНТИФІКАЦІЯ ТЕОРІЇ СОЦІАЛЬНОЇ РОБОТИ ТА ЇЇ МІСЦЕ В СИСТЕМІ НАУК
Теорія криміналістичної ідентифікації
Фізичні закони, що лежать в основі технології автоматичної ідентифікації штрихових товарних кодів
Нестаціонарні процеси і приведення їх до стаціонарного увазі
 
Дисципліни
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук