Навігація
Головна
Експоненціальне згладжуванняМетод експоненціального згладжуванняМоделі експоненціального згладжуванняАвтоматизація моделей експоненціального згладжуванняМодель простого експоненціального згладжуванняМодель експоненціального згладжування сезонних рівнівМодель Брауна (модель експоненціального згладжування)Просте експоненціальне згладжування з дрейфомЯк використовувати метод експоненціального згладжування?Модель ARIMA
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Зв'язок між ARIMA і експоненціальним згладжуванням

Між моделями ARIMA, розглянутими нами в даній главі, і моделями експоненціального згладжування, розглянутими нами η гл. 7, існує зв'язок. Один час статистики, звернувши увагу на те, що багато моделей експоненціального згладжування є окремими випадками моделей ARIMA, прийшли до висновку про те, що перші і зовсім не потрібні. Однак цей висновок згодом було визнано помилковим [1] з наступних причин:

1. Не всі моделі ETS мають аналоги в моделях ARIMA. Наприклад, нелінійні моделі експоненціального згладжування (з мультиплікативної помилкою, трендом або сезонністю) не мають аналогів серед моделей ARIMA.

2. Моделі експоненціального згладжування будуються, виходячи з кінцевих стартових значень, а моделі ARIMA припускають, що часовий ряд має нескінченну минуле.

3. Всі моделі ARIMA стаціонарні, так як цього вимагає методологія Боксу - Дженкінса, в той час як практично всі моделі експоненціального згладжування по суті своїй нестаціонарні.

4. Ці два різних класи моделей засновані на абсолютно різних підходах, які дають відповідно різні результати при прогнозуванні.

Проте моделі пов'язані один з одним, і вираз моделей експоненціального згладжування через моделі ARIMA може бути корисним, оскільки дозволяє по-іншому поглянути на ці моделі.

Покажемо на кількох прикладах цей зв'язок. Найзручніше виявляти її на моделях у формі корекції помилок, представлених в табл. 7.6.

Для початку розглянемо найпростішу модель - модель Брауна, ETS (A, N, N). Нагадаємо її математичну формулу:

Наводячи модель (8.76) до "зменшеному увазі", тобто до виду одного рівняння, отримаємо

(8.76)

(8.77)

Далі, використовуючи першу рівність в системі (8.76), замінимо l t-1 в (8.77):

Потім замінимо розрахункові значення на фактичні з помилками:

Перенесемо y t в ліву частину і згрупуємо помилки у правій. Отримаємо

(8.78)

Якщо тепер в лівій частині (8.78) ввести різницевий оператор, а (α - 1) замінити на коефіцієнт c 1, то ми отримаємо модель

або. (8.79)

Перед нами модель ARIMA (0,1,1). Використовуючи модель (8.79), можна не тільки зробити оцінку коефіцієнта за допомогою стандартного підходу, але, наприклад, ще й вивести обмеження на постійну згладжування а. Так, для виконання властивості оборотності моделі для моделі МА (1) повинна виконуватися умова, яке відповідає умові, з якого, у свою чергу, слід знайоме нам умову 0 <α <2.

Варто окремо відзначити, що у випадку, коли α = 0, модель Брауна ще має якийсь сенс (ряд даних описується стартовим значенням, в якості якого може виступати, наприклад, середня величина), а от у моделі МА (1) еквівалентне йому умова c 1 = 1 вже неприйнятно, тому що в такому випадку модель втрачає властивість оборотності.

Розглянемо для прикладу ще одну модель - модель Хольта, ETS (A, A, N), яка описується системою рівнянь:

(8.80)

Перше рівняння в системі (8.80) може бути переписано через фактичне значення з помилкою:

(8.81)

Підставами друге і третє рівняння в перше в (8.80), а також підставимо замість розрахункового значення (8.81):

Використовуючи (8.81), замінимо суму рівня з коефіцієнтом приросту:

(8.82)

Тепер висловимо з (8.81) b t-1 і підставимо його в (8.82):

замінимо значення / t_2 на значення з другого рівняння в (8.80), попутно використовуючи (8.81):

(8.83)

Тепер перегруппіруем значення в (8.83) так, щоб всі y t знаходилися в лівій частині, а всі помилки - у правій:

і винесемо всі однакові помилки за дужки:

(8.84)

У лівій частині (8.84) представлено не що інше, як друга різниця по у t, яку ми зазвичай записували наступним чином:

(8.85)

Підставляючи (8.85) в (8.84) і переходячи до лагів операторам, прийдемо до фінальної формулою:

(8.86)

Якщо в цій формулі замінити (α + β-2) на c 1, а (l-α) на з 2, то ми прийдемо до моделі АRIМА (0,2,2):

З цієї ж моделі, у свою чергу, можна отримати обмеження на постійні згладжування (7.67) в моделі Хольта.

За аналогією з цими двома прикладами можна показати, що багато інших моделей експоненціального згладжування мають аналоги серед моделей ARIMA. Зокрема:

1) ETS (A, A d, N) еквівалентна ARIMA (1,1,2);

2) ETS (A, N, A) еквівалентна SARlMA (0,0, s) × (0,1,0) s;

3) ETS (A, A, A) еквівалентна SARIMA (0, l, s + 1) × (0,1,0) s;

4) ETS (A, A d, A) еквівалентна SARIMA (l, 0, s + l) × (0,1,0) s.

Мультиплікативні моделі ETS аналогів серед ARIMA не мають.

  • [1] Hyndman Rob /., Koehler Anne В., Ord J. Keith, Snyder Ralph D. Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. Springer- Verlag Berlin Heidelberg, 2008. P. 168.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Експоненціальне згладжування
Метод експоненціального згладжування
Моделі експоненціального згладжування
Автоматизація моделей експоненціального згладжування
Модель простого експоненціального згладжування
Модель експоненціального згладжування сезонних рівнів
Модель Брауна (модель експоненціального згладжування)
Просте експоненціальне згладжування з дрейфом
Як використовувати метод експоненціального згладжування?
Модель ARIMA
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук