Навігація
Головна
Модель експоненціального згладжування сезонних рівнівМодель простого експоненціального згладжуванняАвтоматизація моделей експоненціального згладжуванняМодель Брауна (модель експоненціального згладжування)Просте експоненціальне згладжування з дрейфомЕкспоненціальне згладжуванняМетод експоненціального згладжуванняЗв'язок між ARIMA і експоненціальним згладжуваннямЯк використовувати метод експоненціального згладжування?Адаптація нелінійних моделей методом нерівномірного згладжування
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Моделі експоненціального згладжування

Універсальної формули для виведення дисперсії для всіх моделей експоненціального згладжування не існує, тому їх потрібно розглядати окремо. Залежно від врахування помилок, а також типу тренда всі моделі ETS можна розділити на класи [1], представлені в табл. 9.1.

Таблиця 9.1

Класи моделей за методом розрахунку дисперсії

Клас моделі

Тип сезонності

N

A

Μ

Клас 1

Λ, Ν, Ν

Α, Α, Ν

AA d, N

Α, Ν, Α A, A, AA, A d, A

Клас 2

Μ, Ν, Ν

M, A, N

Μ, Α d, Ν

Μ, Ν, Α Μ, Α, A Μ, Α d, A

Клас 3

Μ, Ν, Μ

Μ, Α, Μ

Μ, Α d ,, Μ

Клас 4

Μ, Μ, Ν

Μ, Μ d, Ν

М, М, М

Μ, Μ d, Μ

Клас 5

Α, Μ, Ν

Α, Μ d, Ν

Α, Μ, AA, Μ d, A Μ, Μ, Α M, M d, A

Α, Ν, Μ Α, Α, Μ Α, Α d, Μ A, M, Μ Α, Μ d, Μ

Класи об'єднуються за наступним принципом:

1. Клас 1 - лінійні моделі з адитивною помилкою.

2. Клас 2 - лінійні моделі з мультиплікативної помилкою.

3. Клас 3 - моделі з лінійним трендом, але мультиплікативної помилкою і сезонною компонентою.

4. Клас 4 - моделі з мультиплікативної помилкою і трендової компонентою і або без сезонності, або з мультиплікативної сезонністю.

5. Клас 5 - важко оцінювані моделі з поєднанням адитивних і мультиплікативних елементів.

Аналітичні формули для дисперсії можна вивести тільки для моделей перших трьох класів. Для останніх двох класів рекомендується користуватися непараметричних методами. Моделі класу 5 можуть викликати чисельні складнощі при побудові довгострокових точкових прогнозів.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Розглянемо, як можна розрахувати дисперсію для моделей з першого класу, на прикладі моделі Брауна.

Відповідно до форми корекції помилок з табл. 7.6 майбутнє значення y t по ETS (Α, Ν, Ν) на h кроків вперед може бути записано у вигляді

Щоб коректно розрахувати дисперсію, далі робиться припущення про те, що модель (9.20) лежить в основі процесу, а значить, аж до кроку h рівень буде адаптуватися до помилок. Перше рівняння з системи переписується у вигляді

Тепер підставимо в (9.21) замість l t + h _1 значення, розраховане по другому рівнянню з системи (9.20):

Продовжуючи итеративно підставляти замість I t розрахункові значення, отримані на основі другого рівняння в (9.20), одержимо

(9.22)

Потім розрахуємо умовну дисперсію (9.22) з урахуванням наших базових припущень:

(9.20)

(9.21)

(9.23)

Формула (9.23) вважається найбільш коректною для розрахунку дисперсії в моделі Брауна. Використання замість неї просто дисперсії помилок некоректно, тому що таке допущення не враховує структуру експоненціального згладжування.

На основі отриманої дисперсії можна легко розрахувати прогнозний інтервал для моделі Брауна:

(9.24)

Розглянемо, яким вийде прогнозний інтервал для методу Брауна на прикладі ряду № 41. Ми вже робили точковий прогноз для цього ряду, на рис. 9.7 показані точковий та інтервальний прогнози по моделі Брауна з першим методом завдання стартового значення.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Ряд даних № 41 (суцільна лінія з точками), точковий (суцільна лінія) та інтервальний (пунктирні лінії) прогнози по ньому, отримані за методом Брауна

Рис. 9.7. Ряд даних № 41 (суцільна лінія з точками), точковий (суцільна лінія) та інтервальний (пунктирні лінії) прогнози по ньому, отримані за методом Брауна

Можна звернути увагу на те, що перше прогнозоване фактичне значення не потрапило в довірчий інтервал, хоча верхня межа виявилася досить близько до нього. Всі ж інші значення, аж до значення на 1994-й р, виявилися лежачими усередині інтервалу. Правда, сам інтерват виявився дуже широким, таким, що кордони на 1994-й р вийшли (2284; 8589). Однак, якщо б він був вже, то, швидше за все, деякі значення просто не потрапили б до нього. Тут ми стикаємося з класичною проблемою: в занадто вузькі інтервали потрапляє менша число значень, що призводить до недооцінки показника, в той час як занадто широкі межі не несуть корисної інформації.

Дисперсії по інших моделях класу 1 виводяться за аналогією з дисперсією для моделі Брауна. У табл. 9.2 наведені параметри, що дозволяють розрахувати дисперсію для кожного з методів класів 1 і 2.

Таблиця 9.2

Параметри методів класів 1 і 2, що використовуються при розрахунку дисперсії

Модель

Ст

Примітка: d τ = 1, якщо τ = 0 і d τ = 0 у всіх інших випадках.

Для розрахунку дисперсії моделей класу 1 використовується формула

(9.25)

Можна помітити, що дисперсія для моделей класу 1 залежить від терміну прогнозування. Причому якщо в моделі є трендова компонента, то ця залежність носить нелінійний характер - інтервали в такому випадку будуть швидше розширюватися, ніж у разі відсутності такої компоненти.

Через те, що мультиплікативна модель експоненціального згладжування відрізняється від адитивної лише формою помилки, параметри, наведені в табл. 9.2, можуть бути з успіхом застосовані для розрахунку дисперсій моделей класу 2. Однак, очевидно, що сама формула повинна відрізнятися від (9.25) [2]:[2]

(9.26)

де

(9.27)

Як ми вже обговорювали, адитивна модель відрізняється від мультиплікативної лише тим, як будується довірчий інтервал - точкові прогнози в них абсолютно ідентичні.

Подивимося на прикладі ряду № 41, як розрізняються інтервальні прогнози по моделі ETS (A, N, N) і ETS (М, N, N) (рис. 9.8).

Ряд даних № 41 (суцільна лінія з точками), точковий (суцільна лінія) та інтервальний (сірі області, відповідні 95% і 80%) прогнози по ньому, отримані за методом Брауна

Рис. 9.8. Ряд даних № 41 (суцільна лінія з точками), точковий (суцільна лінія) та інтервальний (сірі області, відповідні 95% і 80%) прогнози по ньому, отримані за методом Брауна

Як бачимо, інтервали, побудовані для моделі з мультиплікативної помилкою, виявилися значно ширше інтервалів по моделі з адитивною помилкою, причому, в общем-то, невиправдано ширше - вже на 1992 нижня межа вперлася в позначку "О", а верхня перевалила за 10000, що абсолютно не інформативно, враховуючи точковий прогноз приблизно в 5500. Однак, якщо в даному випадку прогнозний інтервал по моделі Брауна вийшов занадто широким, це не говорить про те, що для іншого ряду з іншою моделлю він так само буде ширше інтервалу з адитивної помилкою. У кожному конкретному випадку потрібно приймати індивідуальне рішення про те, яку модель вибрати.

Останній клас моделей експоненціального згладжування, для яких ми розглянемо метод побудови параметричних прогнозних інтервалів, - це моделі класу 3. Дисперсія для цих моделей повинна враховувати мультипликативную сезонну складову і розраховується так, як це показано в табл. 9.3.

Таблиця 9.3

Параметри методів класу 3, що використовуються при розрахунку дисперсії

Модель

Як бачимо, значення введеного параметра c j для моделей класу 3 збігається зі значеннями для перших трьох моделей класів 1 і 2. У стовпці наведені формули для розрахунку прогнозів по трендової компоненті.

Формула розрахунку дисперсії для методів класу 3 виглядає трохи складніше формули (9.26) і має вигляд

(9.28)

де

(9.29)

Варто зауважити, що за допомогою формул (9.28) і (9.29) для прогнозу на період h> s можна отримати лише приблизну оцінку дисперсії. Більш точні формули більш громіздкі, однак при цьому не дають значного підвищення точності прогнозу.

  • [1] Hyndman Rob J., Koehler Anne B., Ord, /. Keith, Snyder Ralph D. Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. Springer- Verlag Berlin Heidelberg, 2008. P. 76.
  • [2] Hyndman Rob J., Koehler Аті В., Ord J. Keith, Snyder Ralph D. Указ. соч. C. 83.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Cхожі теми

Модель експоненціального згладжування сезонних рівнів
Модель простого експоненціального згладжування
Автоматизація моделей експоненціального згладжування
Модель Брауна (модель експоненціального згладжування)
Просте експоненціальне згладжування з дрейфом
Експоненціальне згладжування
Метод експоненціального згладжування
Зв'язок між ARIMA і експоненціальним згладжуванням
Як використовувати метод експоненціального згладжування?
Адаптація нелінійних моделей методом нерівномірного згладжування
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук