Навігація
Головна
Моделі і методи авторегресіїМоделі і методи авторегресіїОблік сезонності в моделях авторегресіїМОДЕЛІ авторегресії і ковзаючої середньоїВизначення порядку моделі авторегресії зі ковзної середньоїЕкстраполяція: регресія і авторегресіяОпис стаціонарного часового ряду авторегресії і ковзної середньоїМоделі комунікації в різних гуманітарних областях (по Г. Г. Почепцова)Модель П'єра Бурдьє (соціологічна)
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Моделі авторегресії

Принципи побудови прогнозних інтервалів для моделей авторегресії аналогічні використовуваним у випадку з моделями експоненціального згладжування. Тут так само потрібно оцінити дисперсію моделі, на основі якої далі будується інтервальний прогноз. Покажемо, як це робиться, на простому прикладі моделі AR (1), яка має вигляд

Якщо вона лежить в основі генеруючого процесу, то й на спостереженні h прогноз по ній здійснюватиметься таким чином:

Висловлюючи значення на спостереженні Т + h через попередні (відповідно до висновків (8.16) пунктом 8.1), одержимо

(9.30)

Сума в правій частині сформована за рахунок обліку всіх помилок на кроках між 1 і h, яка через рекурсивної формули має вигляд

(9.31)

Оцінимо тепер дисперсію виразу (9.30). Оскільки перший доданок у правій частині (9.30) представлено константами, його дисперсія буде дорівнює нулю. У результаті цього отримаємо

(9.32)

Перша складова в (9.32) не випадкова, а задана конкретним значенням, щодо якого ми будуємо прогноз. Тому дисперсія його буде дорівнює нулю. У результаті все, що нам потрібно зробити, - це оцінити дисперсію суми (9.31):

(9.33)

У зв'язку з тим що після побудови моделі передбачається, що залишки НЕ автокорреліруют, дисперсію суми в (9.33) можна переписати як суму дисперсій і заодно винести коефіцієнти за дужки:

(9.34)

Враховуючи припущення про те, що дисперсія в моделі постійна (тобто в моделі немає гетероскедастичності), ми можемо дисперсії помилок на різних кроках замінити загальної дисперсією помилки:

Тепер винесемо дисперсії за дужку, щоб отримати формулу оцінки умовної дисперсії у на h кроків вперед:

(9.35)

Вираз в дужках можна переписати через формулу суми елементів геометричній прогресії:

(9.36)

Подальша побудова прогнозних інтервалів досить стандартно: припускаючи, що залишки розподілені нормально, ми будуємо інтервал за формулою

(9.37)

Аналізуючи формулу (9.37), можна помітити, що у випадку з побудовою нестаціонарної моделі AR (1) (в якій а 1 ≥ 1) довірчий інтервал буде нелінійно збільшуватися, що не дуже добре, тому що в такому випадку він буде надмірно широким. Це одна з причин, чому моделі ARMA повинні бути стаціонарними.

У загальному випадку для того, щоб оцінити дисперсію довільної моделі ARMA, нам потрібно її представити у вигляді моделі МА нескінченного порядку і оцінити дисперсію помилок з урахуванням коефіцієнтів. Ми вже обговорювали в параграфі 8.1, що будь-яка модель AR може бути приведена до нескінченної МА. Саме такий перехід від AR до М А ми і виконали тільки що для моделі AR (1). За аналогією з AR (1) можна виразити прогнозне значення y T + h в будь-якої моделі ARIMA у вигляді

(9.38)

після чого розрахувати його умовну дисперсію, яка з урахуванням введених припущень щодо помилок буде розраховуватися за формулою

(9.39)

Побудуємо прогнозний інтервал по моделі ARIMA для ряду As 41. Результати проведення тесту на стаціонарність вказують на те, що вихідний ряд даних нестационарен, а значить, потрібно будувати модель в різницях. Ряд в різницях і його коррелограмми наведено на рис. 9.9.

Ряд даних № 41 в різницях (зверху) і його коррелограмми

Рис. 9.9. Ряд даних № 41 в різницях (зверху) і його коррелограмми

За коррелограмми видно, що в ряді в різницях значущих коефіцієнтів автокореляції немає, а значить, описуватися цей ряд буде просто константою, тобто оптимальна модель ARIMA для цього ряду - модель ΑΜΜΑ (0,1,0) з дрейфом:

(9.40)

Якщо цю модель привести до лінійного вигляду, отримаємо

Прогноз за такою моделлю на h кроків отримати достатньо просто:, що, якщо звернути увагу, аналогічно моделі (5.26), розглянутої нами в параграфі 5.2.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Точковий та інтервальний прогнози по цій моделі наведено на рис. 9.10.

Ряд даних № 41 (суцільна лінія з точками), розрахункові значення за моделлю (9.40) (суцільна лінія), точковий та інтервальний прогнози по ньому

Рис. 9.10. Ряд даних № 41 (суцільна лінія з точками), розрахункові значення за моделлю (9.40) (суцільна лінія), точковий та інтервальний прогнози по ньому

Як бачимо, через те, що тенденція на періоді прогнозування змінилася, прогноз по моделі ARIMA з дрейфом виявився неточним. Більш того, в прогнозний інтервал потрапило тільки два значення з шести.

Для моделей більш високого порядку методика побудови прогнозних інтервалів залишається такою ж, хоча й ускладнюється через розрахунку дисперсії на кілька кроків вперед.

Процес побудови інтервалів для моделей SARIМА аналогічний описаному тут для моделей ARIMA, але очевидно, що він ще складніше, тому що в цих моделях використовується значно більше коефіцієнтів, а значить, і вирази поточного значення через попередні стає більш громіздким.

Побудуємо прогнозний інтервал для моделі № 2568, ідентифікацією та оцінюванням якою ми займалися в гол. 8. Нагадаємо, що ми прийшли до моделі SARIMA (3,0,3) × (1,1,0) 12:

(9.41)

Якщо цю модель представити у лінійному вигляді (тобто розкрити дужки і перегрупувати елементи), то вона виходить дуже громіздкою і буде виглядати наступним чином:

Звичайно ж, в таких умовах розрахунок ваг ψj для оцінки дисперсії (9.39) на h кроків вперед - нетривіальна, хоча і здійсненне, завдання. У наш час такі завдання можуть автоматично виконувати різні статистичні пакети. Так, в пакеті "forecast" статистичної програми "R" реалізовані всі необхідні формули для побудови прогнозних інтервалів. Єдиною складністю в нашому випадку полягає переклад всіх розрахункових значень і інтервалів в вихідні величини (у зв'язку з попередніми логарифмування ряду даних). Дані за останніми 1,5 рокам і прогноз на 1,5 роки вперед за моделі (9.41) представлені на рис. 9.11.

На себе звертає увагу те, що, незважаючи на не найвищу точність точкового прогнозу, у побудований прогнозний інтервал потрапили практично всі фактичні значення (за винятком значення в січні 1994 р). Можна зробити висновок, що, оскільки моделі

Ряд даних № 2 568 (суцільна лінія з точками), точковий (суцільна лінія) та інтервальний (пунктирні лінії) прогнози по ньому, отримані за моделлю SARIMA

Рис. 9.11. Ряд даних № 2 568 (суцільна лінія з точками), точковий (суцільна лінія) та інтервальний (пунктирні лінії) прогнози по ньому, отримані за моделлю SARIMA

вдалося в цілому передбачити динаміку ряду, прогнозний інтервал виявився досить широким для того, щоб в нього потрапили практично всі значення (17/18 - це близько 94% всіх прогнозних значень), але при цьому і досить вузьким, щоб зберегти сенс, хоча можна помітити , що нижню межу інтервалу можна було б безболісно підняти. Якщо звернутися до розподілу залишків у моделі, то ми побачимо, що воно не тільки ненормально (що порушує передумову для побудови інтервалів), але й має позитивну асиметрію (рис. 9.12).

На рис. 9.12 на себе звертає увагу "викид" після 0,20, виключення якого дозволяє отримати залишки ближче до нормальних (ми це вже обговорювали в параграфі 8.4). Наявність цього "викиду" так само вносить спотворення в ширину прогнозного інтервалу. Однак якщо його прибрати, то зменшаться як нижня, так і верхня межі інтервалу, так як вони розраховуються за єдиною формулою, заснованої на СКО, що в підсумку не дуже добре позначиться на точності інтервального прогнозу.

Як бачимо, в даному випадку облік "викиду" дозволив отримати досить точні прогнозні інтервали, що не вписується в стандартну методологію і, можливо, варто розглядати як виняток із правил.

Розподіл залишків моделі SARIMA для ряду № 2568 і основні його статистичні характеристики

Рис. 9.12. Розподіл залишків моделі SARIMA для ряду № 2 568 і основні його статистичні характеристики

Праворуч від графіка залишків наведені основні статистичні характеристики: Mean - середня величина; Median - медіана; Maximum - максимальне значення; Minimum - мінімальне значення; Std. Dev. - CKO; Skewness - асиметрія; Kurtosis - ексцес. Останні два значення - це статистика тесту Харке-Бера і відповідна їй залишкова ймовірність. Тест Харке-Бера перевіряє гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини за показниками ексцесу і асиметрії.

Відзначимо недоліки параметричних методів побудови прогнозних інтервалів:

1. при побудові інтервалів повинні виконуватися стандартні припущення щодо залишків:

a) математичне очікування залишків має дорівнювати нулю;

b) залишки повинні бути розподілені відповідно з нормальним законом розподілу;

c) залишки не повинні автокорреліровать;

d) дисперсія залишків повинна бути постійною;

e) залишки не повинні корелювати з регресорів.

2. Розрахунок дисперсії у t для побудови прогнозних інтервалів - нетривіальне процедура. У випадку з більш складним моделями розрахунок дисперсії виявляється окремої серйозним завданням.

3. Для отримання точних прогнозних інтервалів потрібно отримати точну оцінку динаміки ряду в майбутньому.

4. Для отримання точних прогнозів розпорядженні дослідника повинно бути багато спостережень.

Для вирішення деяких з позначених недоліків можна звернутися до альтернативних методів побудови прогнозних інтервалів - до таких, як непараметричні і напівпараметричною.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Моделі і методи авторегресії
Моделі і методи авторегресії
Облік сезонності в моделях авторегресії
МОДЕЛІ авторегресії і ковзаючої середньої
Визначення порядку моделі авторегресії зі ковзної середньої
Екстраполяція: регресія і авторегресія
Опис стаціонарного часового ряду авторегресії і ковзної середньої
Моделі комунікації в різних гуманітарних областях (по Г. Г. Почепцова)
Модель П'єра Бурдьє (соціологічна)
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук