Навігація
Головна
ПОБУДОВА інтервальних ПРОГНОЗІВПараметричні методи побудови інтервальних прогнозівНепараметричні і напівпараметричною методи побудови інтервальних...Побудова та графічне відображення інтервального варіаційного ряду...Моделювання та прогноз параметрів ризику пригод з допомогою діаграм...Прогноз на основі парної регресійної моделіГлобальні демографічні прогнозиЗАСТОСУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПОБУДОВРівні, правила, способи побудови психологічних характеристикОснови і найпростіші методи екстраполяції
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Побудова інтервальних прогнозів на основі нерівності Чебишева

Ще на початку 1970-х рр. прогнозисти почали помічати, що фактичні значення, одержувані на прогнозованому періоді, потрапляють в прогнозні інтервали з меншою частотою, ніж це заявлено за нормальним законом розподілу випадкових величин [1]. Так, в 95% -ний інтервал в кращому випадку потрапляло 85,7% всіх спостережень, а в 90% -ний - тільки 80%. У 1987 р С. Макрідакіс показав, що із зростанням горизонту прогнозування відсоток потрапляють значень в довірчий інтервал зменшується [2]. Так, наприклад, якщо в 95% -ний прогнозний інтервал на 1 крок вперед потрапляло близько 82,7% всіх спостережень, то вже на 6 кроків вперед в тому ж інтервалі виявлялося лише 73,7% спостережень.[1][2]

На основі цих емпіричних спостережень був розроблений простий метод побудови прогнозних інтервалів, що складається їх наступних кроків [3]:[3]

1. На основі побудованої моделі на кожному спостереженні дається прогноз на один крок вперед. На основі цього прогнозу розраховуються відповідні "однокрокові" помилки:

де верхній індекс визначає горизонт прогнозування h, а нижній - номер спостереження.

Якщо в ряді даних було Т спостережень, то на основі них будуть отримані Т - 1 однокрокових прогнозу і Т - 1 ОДНОКРОКОВИЙ помилка.

2. На основі тієї ж моделі на кожному спостереженні дається прогноз на два кроки вперед (наприклад, на основі першого спостереження дається прогноз на третє і т.д.). За отриманими розрахунковим значенням так само розраховуються помилки, які можна назвати "двокрокового":, причому

число цих помилок вже буде одно Т - 2.

3. Продовжуючи давати точкові прогнози на 3, 4, ... h кроків

за аналогією з тим, як це робилося в кроці два, виходять відповідні ряди помилок. Число помилок в кожній з цих частин буде відповідно одно Т - 3, Т-4, ..., Th.

Отримавши h рядів помилок, по кожному з них розраховується h CKO за стандартною формулою для кожного кроку τ = 1, ..., h:

(9.45)

4. Далі будується довірчий інтервал. Однак у зв'язку з тим, що інтервал, побудований на основі нормального закону розподілу ймовірностей, на практиці виявляється занадто вузьким, Е. Гарднер запропонував замість 2-статистики використовувати нерівність Чебишева, яке записується таким чином [4]:[4]

(9.46)

що може бути інтерпретовано наступним чином: ймовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого математичного очікування на величину, більшу ωσ, менше ΐ / ω2. На основі нерівності (9.46) можна сформувати прогнозні інтервали. Для розпочата висловимо залишкову ймовірність через а:

(9.47)

звідки випливає, що

(9.48)

Підставляючи (9.47) і (9.48) в (9.49), одержимо

(9.49)

Розкриваючи модуль в (9.49), приходимо до нерівності:

(9.50)

на основі якого тепер можна побудувати прогнозний інтервал шириною (1 - а). Стосовно до нашого нагоди він буде розраховуватися для кожного кроку τ па основі СКО помилок для цього кроку:

де τ = 1, 2, ..., h.

Отримані таким методом інтервали будуть нерівними і досить широкими.

Розглянемо, яким вийде інтервал для методу Брауна для ряду № 41. На рис. 9.15 показані інтервали, побудовані на основі нерівності Чебишева (переривчаста лінія) і (для порівняння) інтервали, побудовані стандартним методом для ЕТS (A, N, N) (дрібна пунктирна лінія).

Ряд даних № 41 (суцільна лінія з точками), точковий (суцільна лінія) прогноз, отриманий за моделлю Брауна, та інтервальні прогнози, розраховані на основі параметричного (дрібна пунктирна лінія) і непараметричного (переривчаста лінія) методів

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Рис. 9.15. Ряд даних № 41 (суцільна лінія з точками), точковий (суцільна лінія) прогноз, отриманий за моделлю Брауна, та інтервальні прогнози, розраховані на основі параметричного (дрібна пунктирна лінія) і непараметричного (переривчаста лінія) методів

Як бачимо, інтервали, розраховані таким методом, виявилися безглуздо широкими. Викликано це двома причинами.

Перша полягає в тому, що саме нерівність Чебишева універсально і має на увазі широкі інтервали. Тут можна відзначити, що у випадку, якщо t -Статистика для 5% і числа ступенів свободи більше п'яти вже стає менше 2,5, то статистика, розрахована на основі нерівності Чебишева для тієї ж остаточний ймовірності, складе

Очевидно, що саме через це спостерігається таке істотна відмінність між цими двома методами. Це ж зазначалося в різних роботах, присвячених побудові емпіричних прогнозних інтервалів [5].[5]

Однак це не єдина причина отримання таких неадекватно широких інтервалів для нашого випадку. Через те, що ми застосували метод Брауна до нестаціонарних процесів, точкові прогнози на 2, 3, ... 6 кроків вперед виявилися з серйозними систематичними заниженою. У результаті і СКО в кожному з цих випадків виявилося занадто великим. Можна зробити висновок, що в тих випадках, коли на періоді апроксимації модель демонструє систематичні завищення чи заниження, запропонованим методом користуватися не варто.

Розглянемо цей же метод побудови інтервалів стосовно до іншої моделі, побудованої по тому ж ряду даних. Для прикладу ми взяли модель Хольта, яка теоретично повинна давати більш точні прогнози в таких випадках, як у ряді № 41 (зі зростаючою тенденцією). Далі, використовуючи описаний у цьому параграфі метод на основі нерівності Чебишева, ми оцінили помилки і їх СКО. У результаті всіх розрахунків був отриманий прогнозний інтервал, показаний на рис. 9.16.

Як бачимо, через те, що тенденція на періоді прогнозування змінилася, тільки 50% всіх фактичних значень потрапило в інтервал, побудований на основі параметричного методу і припущення про нормальність розподілу залишків моделі. Навпаки, в інтервал, побудований на основі нерівності Чебишева, потрапили всі значення.

Звичайно, він все так само залишається ширше стандартного інтервалу, однак за рахунок більш точного вибору апроксимуючої моделі інтервали виявилися вже, ніж у випадку з моделлю Брауна.

Ряд даних № 41 (суцільна лінія з точками), точковий (суцільна лінія) прогноз, отриманий за моделлю Хольта, і інтервальні прогнози, розраховані на основі параметричного (переривчаста лінія) і непараметричного (дрібна пунктирна лінія) методів

Рис. 9.16. Ряд даних № 41 (суцільна лінія з точками), точковий (суцільна лінія) прогноз, отриманий за моделлю Хольта, і інтервальні прогнози, розраховані на основі параметричного (переривчаста лінія) і непараметричного (дрібна пунктирна лінія) методів

З усього цього випливає важливий висновок: для того, щоб отримати адекватні прогнозні інтервали, використовуючи описаний вище підхід, потрібно попередньо вибрати найбільш підходящу для ряду даних аппроксимирующую модель. Тоді ми отримаємо, з одного боку, широкі інтервали за рахунок високого значення статистики, а з іншого - вузькі інтервали за рахунок невеликих значень СКО для відповідних кроків.

Для зменшення ширини інтервалів із збереженням самого принципу можна на кожному кроці τ розраховувати свої оптимальні коефіцієнти, які гарантували б більш точну апроксимацію моделлю ряду даних з урахуванням прогнозу не так на один крок вперед на періоді апроксимації, а на τ кроків вперед. Головна проблема, однак, тут полягає в тому, що такий підхід вимагає значно більше обчислень, ніж у випадку з простим розрахунком τ-крокових СКО. Крім того, такий підхід вимагає обгрунтування, тому що відповідно до загальноприйнятим стандартом при побудові моделі по ряду даних передбачається, що обрана модель оптимальна і дозволяє описати досліджуваний процес найкращим чином. Перерахунок ж моделі з урахуванням прогнозу на τ кроків вперед суперечить цьому стандарту.

  • [1] Williams W. H., Goodman М. L. A Simple Method for the Construction of Empirical Confidence Limits for Economic Forecasting // Journal of the American Statistical Association. 1971. Vol. 66. № 336. P. 752-754.
  • [2] Makridakis S., Hibon M. Confidence Intervals. An Empirical Investigation of the Series in the M - Competition // International Journal of Forecasting. 1987. Vol. 3. P. 489-508.
  • [3] Gardner E. A Simple Method of Computing Prediction Intervals for Time Series Forecasts // Management Science, 1988. Vol. 34. № 4. P. 541-546.
  • [4] Вентцель E. С. Теорія ймовірностей: підручник. 11-е изд. М .: КноРус, 2010. С. 331.
  • [5] Див., Наприклад: Chatfield С. Calculating interval forecasts // Journal of Business and Economic Statistics. 1993. Vol. 11. P. 121 - 135.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

ПОБУДОВА інтервальних ПРОГНОЗІВ
Параметричні методи побудови інтервальних прогнозів
Непараметричні і напівпараметричною методи побудови інтервальних прогнозів
Побудова та графічне відображення інтервального варіаційного ряду розподілу (гістограма)
Моделювання та прогноз параметрів ризику пригод з допомогою діаграм типу "мережа"
Прогноз на основі парної регресійної моделі
Глобальні демографічні прогнози
ЗАСТОСУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПОБУДОВ
Рівні, правила, способи побудови психологічних характеристик
Основи і найпростіші методи екстраполяції
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук