Навігація
Головна
Методи визначення коефіцієнтів ßБальний метод оцінкиЗОВНІШНЬОЕКОНОМІЧНЕ ПРОГНОЗУВАННЯ: МЕТОДОЛОГІЧНІ ПРИНЦИПИ, МЕТОДИ,...Прогнозні моделі, засновані на методах математичної статистикиАльтернативний погляд на фінансову аналітику: вартісна модель аналізу
Умови побудови парної лінійної регресії методом найменших квадратівУзагальнений метод найменших квадратівПарна регресія на основі методу найменших квадратів і методу...Узагальнений метод найменших квадратів при побудові моделі регресії...Метод найменших квадратів і передумови його застосування для...
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

АЛЬТЕРНАТИВНІ МЕТОДИ ОЦІНКИ КОЕФІЦІЄНТІВ ПРОГНОЗНИХ МОДЕЛЕЙ

У результаті освоєння даної глави студент повинен:

знати

• межі області застосування методів регресійної-кореляційного аналізу вибіркового методу і межі області застосування альтернативних методів оцінки коефіцієнтів прогнозних моделей;

• сучасні підходи та методи оцінки коефіцієнтів прогнозних моделей;

• про різноманіття способів розв'язання задачі оцінки коефіцієнтів прогнозних моделей;

вміти

• застосовувати системний підхід до вибору методу оцінки коефіцієнтів прогнозних моделей;

• застосовувати ситуаційний підхід для вибору адекватного методу оцінки коефіцієнтів прогнозних моделей;

• вибирати метод побудови інтервальної оцінки прогнозу еволюційних соціально-економічних процесів;

• формулювати гіпотези, проводити емпіричні і прикладні дослідження з метою вибору адекватного методу оцінювання коефіцієнтів прогнозних моделей;

володіти

• методикою використання МНК для оцінки коефіцієнтів моделей прогнозування еволюційних соціально-економічних процесів;

• методом 2-множників для вибору кращого способу завдання цих множників;

• навичками самостійної наукової та дослідницької роботи в частині вибору кращого методу оцінювання коефіцієнтів прогнозної моделі.

Метод найменших квадратів з дисконтуванням

Якщо завданням короткострокового прогнозування еволюційних процесів є пристосування моделі до короткостроково чинним відхилень від загальної тенденції, то завдання середньострокового прогнозування еволюційної динаміки полягає в тому, щоб, вловивши намітилися відхилення від загальної тенденції, викликані адаптацією соціально-економічного об'єкта до змінених зовнішніх і внутрішніх умов, оцінити майбутню динаміку з урахуванням цих відхилень.

Як ми обговорювали раніше, головний принцип вибіркового методу (чим більше зібрано інформації про минуле стан об'єкта, тим краще) для необоротних еволюційних процесів абсолютно непридатний. У цьому випадку необхідно зібрати інформацію про динаміку об'єкта тільки за той період, коли сам об'єкт не встиг змінити свої основні властивості, коли спостережувані кількісні спостереження не привели об'єкт до нової якості. Необхідно попередньо визначити період інерційності об'єкта соціально-економічного прогнозування, а потім, орієнтуючись на тривалість цього періоду, сформувати базу даних. На жаль, формальних процедур, вирішальних цю задачу, поки не розроблено. Доводиться випереджати збір статистики серйозним економічним аналізом (фундаментальним аналізом), спираючись на досвід та інтуїцію експертів.

Оскільки побудовану в такій ситуації модель не можна сприймати як наближення до "істинної моделі, що лежить в основі процесу", а слід розуміти тільки як деякий опис тенденції, що діяла в певний проміжок часу, то вимоги до оцінкам таких моделей істотно пом'якшуються.

Економічні системи, які є об'єктом прогнозування, розвиваються в часі. І це розвиток носить у тому числі і еволюційний характер. Це означає, що всі сформовані до якого-небудь відрізку часу відносини, пропорції та взаємозв'язки поступово змінюються - система адаптується до зовнішніх і внутрішніх впливів. Якщо для такого відрізка часу вдасться побудувати адекватну модель цієї системи, то вона буде добре працювати тільки в цей проміжок часу і деякий проміжок часу в майбутньому, поки за інерцією зберігаються окремі пропорції та взаємозв'язки. Але на середню і далеку перспективи ця модель не дає прогнози необхідної точності - економічна система зміниться, а модель залишиться незмінною. Оскільки економічна система змінюється, адаптуючись до нових станів зовнішнього і внутрішнього середовища, то і модель, яку хотілося б використовувати для прогнозування, необхідно адаптувати слідом за об'єктом прогнозування. Зробити це можна кількома способами, кожен з яких має свої переваги і недоліки. Вибір найкращого з них - за прогнозистом.

Історично першим виник метод адаптації прогнозних моделей, орієнтований на коригування оцінок МНК - дисконтований МНК. Як уже зазначалося, для прогнозиста у разі прогнозування еволюційно протікають процесів важливіше побудувати таку прогнозну модель, яка більш точно описує останні спостереження, ніж ті, які вибувають у минуле. Адже тим самим враховуються зміни в тенденціях, що склалися останнім часом. Тоді модель слідом за прогнозованим об'єктом буде адаптуватися до цих нових тенденцій. Тому помилки апроксимації ε останніх спостережень повинні враховуватися в більшою мірою, ніж помилки апроксимації попередніх спостережень. Важливо, щоб помилки апроксимації в останні моменти спостережень були якомога меншими, а що стосується тих спостережень, які опинилися в далекому минулому, їх значущість для прогнозування вельми мала. Дійсно, для того щоб спрогнозувати ціну за 1 т зерна на майбутній рік, найменше важливо знати, якою була ця ціна, наприклад, в 1950 р і вже зовсім безглуздо орієнтуватися на ціни 1700

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Логічно тому задати квадратах помилок апроксимації (як позитивних значень, що характеризує міру відхилення) прогнозної моделлю фактичних даних деякі ваги ν, так, щоб їх значення зменшувалися з спадання спостережень у минуле:

(10.1)

Для зручності вводять додаткову умову:

(10.2)

але його виконання не є обов'язковим.

Тоді ряд квадратів помилок апроксимації з урахуванням ваг (10.1) можна представити, як деякий зважений ряд:

(10.3)

Необхідно підібрати такі значення коефіцієнтів моделі, щоб сума цього ряду була мінімально можливою. Цей критерій формулюється так:

(10.4)

Використання такого критерію, наприклад, для лінійної однофакторний моделі

(10.5)

призведе до необхідності вирішення системи двох таких рівнянь:

(10. 6)

З цієї системи можна вивести формули для розрахунку коефіцієнтів моделі:

(10.7)

Щоб обчислити значення коефіцієнтів у (10.7), необхідно задати характер зважування, тобто відповісти на питання, як задавати ваги v t. Очевидно, що способів завдання ваг для квадратів помилок апроксимації таких, щоб виконувалися умови (10.1) і (10.2), дуже багато. З цієї безлічі слід вибрати якийсь універсальний спосіб, який він міг би бути використаний в самих різних випадках прогнозування. А таким універсальним способом завдання вагів є той, який використовувався для випадку короткострокового прогнозування Брауном, тобто

(10.8)

Звернемо увагу на те, що в разі завдання α = 1, розрахунок коефіцієнтів але формулою (10.7) неможливий через те, що в такому випадку ми намагаємося оцінити коефіцієнти парної регресії але одній точці, що в принципі неможливо. Зокрема, в знаменнику кута нахилу в такому випадку буде використовуватися лише х T і в результаті скорочень знаменник стає рівним кулю.

Крім того, при розрахунку константи в знаменнику представлена сума ваг, з приводу якої є спокуса припустити, що вона відповідно до (10.2) буде дорівнює одиниці. Однак робити цього не можна, оскільки, як ми вже з'ясували в параграфі 7.2, на практиці в ряді випадків сума ваг (10.2) до 1 не сходиться. Зокрема, вона не буде сходитися до 1 при малих значеннях а, а у випадку з МНК з дисконтуванням нас можуть цікавити ці значення для того, щоб більш рівномірно розподілити ваги між спостереженнями.

Як бачимо, МНК з дисконтуванням вимагає апріорного завдання постійної згладжування - в даному випадку вибір значення а залишається цілком і повністю на совісті прогнозиста. У цьому полягає одночасно як перевага, так і недолік методу.

Очевидно, що МПК з дисконтуванням може використовуватися і при розрахунку коефіцієнтів трендів. Для цього .р, потрібно всього лише замінити на t.

Розглянемо, як можна побудувати модель лінійного тренду МНК з дисконтуванням з різними значеннями постійної згладжування, на прикладі ряду № 42 з бази М3. На рис. 10.1-10.3 представлені ряди даних та їх прогнози моделлю лінійного тренду, коефіцієнти якої розраховані МПК з дисконтуванням з різними значеннями постійної згладжування. Останні шість значень при побудові моделі були виключені.

Ряд даних № 42 і його прогноз моделлю лінійного тренду, розрахованого МНК з дисконтуванням

Рис. 10.1. Ряд даних № 42 і його прогноз моделлю лінійного тренду, розрахованого МНК з дисконтуванням:

зліва - α = 0,01; праворуч - α = 0,25

Ряд даних № 42 і його прогноз моделлю лінійного тренду, розрахованого МНК з дисконтуванням

Рис. 10.2. Ряд даних № 42 і його прогноз моделлю лінійного тренду, розрахованого МНК з дисконтуванням:

зліва - α = 0,5; праворуч - α = 0,75

Ряд даних № 42 і його прогноз моделлю лінійного тренду, розрахованого МНК з дисконтуванням

Рис. 10.3. Ряд даних № 42 і його прогноз моделлю лінійного тренду, розрахованого МНК з дисконтуванням:

зліва - α = 0,99; праворуч - α = 1,25

Як бачимо, при малих значеннях постійної згладжування (рис. 10.1, ліворуч) у розрахунку тренда використовуються практично всі значення з більш-менш однаковими вагами (які тим не менш повільно убувають). Через це ті значення, які були отримані в період з 1975 по 1979 р, надають досить сильний вплив на остаточну суму квадратів відхилень, в результаті чого і тренд на періоді прогнозу виявляється з систематичним заниженням. При збільшенні постійної згладжування в розрахунку коефіцієнтів використовується все менше і менше старих значень, ваги перерозподіляються між більш новими значеннями (рис. 10.1, праворуч, і рис. 10.2). Найбільш точний прогноз, як бачимо, виходить при а, що лежить в районі 0,25.

Коли постійна згладжування близька до одиниці (рис. 10.3), у розрахунку використовується останнє значення і в дуже малій мірі - передостаннє. Всі інші спостереження фактично не враховуються. Саме тому тренд в такому випадку дуже сильно задирається і являє собою лінію, проведену через останні два наявні точки (на 1987-1988 рр.).

Використання значень постійної згладжування з позамежного безлічі не має особливого сенсу, оскільки в цьому випадку кут нахилу моделі продовжує зростати, у зв'язку з чим вона перестає прогнозувати що б то не було (рис. 10.3, праворуч).

Як бачимо, прогноз залежить від постійної згладжування. Виникає питання: як же вибрати оптимальну постійну згладжування? Здавалося б, відповідь очевидна: розрахувати суму квадратів відхилень і мінімізувати її, підбираючи значення а. Але в даному рішенні є серйозна вада. Сам МПК з дисконтуванням увазі, що кожному спостереженню дослідник задає різну вагу. Застосування в такому випадку критерію мінімуму квадратів відхилень суперечить цій ідеї: ми підбираємо ваги з припущення про те, що ваги однакові.

На жаль, універсального рішення в даному випадку немає. Однак ми пропонуємо скористатися процедурою ретропрогноза, яку можна автоматизувати наступним чином. На основі більшої частини даних за формулами (10.7) розраховуються значення коефіцієнтів із заздалегідь заданою величиною постійною згладжування. За отриманою моделі дасться прогноз на ділянку ретропрогноза, оцінюється його точність. Як коефіцієнта оцінки точності можна використовувати будь-який з розглянутих нами в параграфі 2.5. Для простоти можна розрахувати RSS. Далі чисельними методами підбирається таке значення а, яке б мінімізувало значення RSS. Використовуючи отримане значення, дослідник може на його основі перерахувати коефіцієнти моделі з урахуванням нових даних і дати прогноз на спостереження поза вибіркою.

Як бачимо, такий підхід не дуже зручний і не дозволяє моделі адаптуватися при надходженні нових даних - коефіцієнти моделі при цьому доведеться знову перерахувати. Однак на основі МНК з дисконтуванням можна запропонувати адаптивний метод, вільний від цього недоліку.

Звернемо увагу на те, що ліва частина першого рівняння в (10.6) являє собою не що інше, як зважену середню змінної у е:

(10.9)

Перший доданок правої частини рівняння являє собою добуток коефіцієнта а 0 на суму ваг S. У разі виконання (10.2) це доданок стає просто невідомим значенням коефіцієнта моделі а 0. Однак ця умова не завжди виконується на практиці.

Другий доданок правої частини першого рівняння в (10.6) являє собою суму творів ваг на змінну, і як наслідок цього - зважену середню змінної x t:

(10.10)

Перше рівняння системи (10.6) можна представити так:

(10.11)

Друге рівняння системи (10.6) також можна розглянути через середні зважені значення:

де

З урахуванням цього система рівнянь МНК з дисконтом для лінійної однофакторний моделі може бути представлена у вигляді

(10.12)

Застосовуючи цей спосіб завдання вагів квадратів помилок апроксимації, отримуємо необхідність обчислення таких адаптивних середніх, які одночасно є прогнозом на подальше + 1) -е спостереження:

; (10.13)

: (10.14)

; (10.15)

(10.16)

Такий спосіб більш цікавий і зручний не тільки тим, що дозволяє побудувати адаптовану до останніми спостереженнями модель, але й тим, що при появі нових спостережень t = Т + 1 легко перераховувати коефіцієнти моделі. Однак підбір оптимальної постійної згладжування все так само пов'язаний з позначеними вище складнощами. Єдиним адекватним рішенням на даний момент є використання процедури ретропрогноза при підборі оптимальної а.

Щоб узагальнити МНК з дисконтуванням для множинних регресій, розглянемо його в матричному вигляді для моделі виду

(10.17)

Тут Y (фактичні значення залежної змінної), А (коефіцієнти моделі) і ε (помилки моделі) - це вектори, а X (незалежні змінні) - матриця, такі, що

Щоб застосувати МНК з дисконтуванням, вводиться квадратна матриця ваг, на діагоналі якої стоять ваги, відповідні спостереженнями, а в решті осередках - нулі:

Підсумковий вектор коефіцієнтів в матричному вигляді розраховується за формулою

(10.18)

Таким чином, задаючи різні значення постійної згладжування, можна отримувати такі оцінки множинної регресії, які дозволяли б в різних ситуаціях враховувати наявні в розпорядженні спостереження в різному ступені.

Зауважимо, що МНК з дисконтуванням фактично є одним із різновидів зваженого МНК. Головною особливістю МНК з дисконтуванням є те, що в ньому ваги розподіляються відповідно до принципу знецінення даних у часі: нові спостереження мають більшу цінність, ніж старі.

Розглянемо приклад з побудовою моделі множинної регресії. У табл. 10.1 наведені дані умовного прикладу.

Таблиця 10.1

Дані умовного прикладу

Місяць

Обсяг випуску, у t

Вартість матеріалів, x 1, t

Витрати

праці, x 2, t

Витрати капіталу, х 3, t

Січень 2009

147

22

63

Тисячі дві

Лютого 2009

175

22

64

1 035

Березня 2009

175

20

65

+1027

Квітень 2009

151

24

65

994

Травня 2009

170

23

66

995

Червень 2009

167

24

67

992

Липень 2009

172

24

67

1016

Серпня 2009

151

23

68

Тисячі сорок вісім

Вересень 2009

156

23

68

1030

Жовтень 2009

160

24

69

Тисячі шістьдесят-п'ять

Листопад 2009

173

26

70

Тисячу п'ятьдесят чотири

Грудня 2009

165

27

70

1060

Січень 2010

158

28

71

1077

Лютого 2010

168

30

71

+1083

Березня 2010

161

31

72

1063

Квітень 2010

141

29

72

Тисячі п'ятьдесят-одна

Травня 2010

156

30

73

1179

Червень 2010

177

31

74

1277

Липень 2010

190

30

74

+1298

Серпня 2010

187

31

75

1268

Вересень 2010

201

31

76

Тисячі триста дві

Жовтень 2010

189

31

76

Тисячі триста дві

Листопад 2010

199

33

77

1 290

Грудня 2010

203

34

77

1 313

Січень 2011

199

36

78

1287

Лютого 2011

194

38

78

Тисячі двісті сімдесят чотири

Березня 2011

206

37

79

+1321

Квітень 2011

205

38

80

+1323

Травня 2011

204

38

80

Тисячі двісті сімдесят три

Червень 2011

194

38

81

1280

Липень 2011

230

37

82

1336

Серпня 2011

219

37

82

Тисяча триста сорок сім

Вересень 2011

230

37

83

1341

Жовтень 2011

208

39

83

1275

Листопад 2011

232

40

84

1334

Грудня 2011

251

40

84

Тисячі чотиреста п'ятьдесят дев'ять

Для побудови моделі скористаємося запропонованим нами принципом мінімізації помилки ретропрогноза. Для цього з усіх спостережень приберемо останні 12: за спостереженнями з січня по червень 2011 р ми будемо оцінювати значення а (підставляючи в модель наявні значення X), за останніми шести спостереженнями ми будемо порівнювати прогнози за отриманою моделі з прогнозами по моделі, оціненої звичайним МПК.

У результаті оцінки коефіцієнтів МНК з дисконтуванням була отримана наступна модель:

(10.19)

За значенням постійної згладжування видно, що для мінімізації помилки ретропрогноза в розрахунку коефіцієнтів використовувалося таке значення постійної згладжування, яке гарантує повільне убування ваг. Це означає, що у формуванні значень коефіцієнтів перші спостереження використовуються меншою мірою, ніж останні наявні, однак деяку роль вони все одно грають: вага самого першого спостереження виявився дорівнює приблизно 0,001028. У випадку зі звичайним МПК його вага дорівнював би 0,041667, це значення грало було більш істотну роль у формуванні оцінок коефіцієнтів.

sMAPE (для спостережень з липня по грудень 2011 г.) за отриманою моделі (10.19) виявилася рівною 6,26%. Графічно розрахункові значення і прогноз по моделі представлені на рис. 10.4 (жирна суцільна лінія).

Обсяг випуску, розрахункові і прогнозні значення за моделями (10.19), (10.20)

Рис. 10.4. Обсяг випуску, розрахункові і прогнозні значення за моделями (10.19), (10.20)

Як бачимо, значення виявилися систематично заниженими, що може бути викликано малої вибіркою, по якій розраховувалася помилка ретропрогноза. Однак самі значення виявилися досить близькі до фактичних.

В якості альтернативи розрахуємо коефіцієнти тієї ж моделі МНК по ряду спостережень з січня 2009 р але червня 2011 Отримаємо наступну регресійну модель:

(10.20)

Як бачимо, коефіцієнти моделей (10.19) і (10.20) розрізняються значно: деякі з факторів в одній моделі впливають на результат позитивно, а в моделі (10.20) - вже негативно. Це вказує на те, що в досліджуваному об'єкті відбулися якісні, незворотні зміни. У зв'язку з тим що модель (10.20) усереднює значення по всіх спостереженнями, ці якісні зміни були так само усереднені. У результаті цього точність прогнозу по моделі, оціненої МНК, виявилася нижче: sMAPE склала 12,26%. Графічно модель (10.20) і прогноз по ній зображені на рис. 10.4 пунктирною лінією. Видно, що через завдання однакових ваг модель дала прогноз з великим заниженням, ніж модель (10.19).

Зауважимо, що в нашому умовному прикладі ми спеціально сформували ряд даних таким чином, щоб залежність після червня 2010 змінилася. З об'єктивних причин результуюча модель (10.19) за своїми оцінками виявилася ближче до моделі "лежить в основі" нашого ряду, ніж модель (10.20).

Однією з проблем МНК з дисконтуванням, як ми вже зазначили, є неможливість автоматичної оцінки моделі по вихідному ряду даних (у зв'язку з чим і доводиться вдаватися до процедури ретропрогноза). З нею пов'язана і проблема побудови прогнозних інтервалів. Дійсно, зазвичай при розрахунку прогнозних інтервалів потрібно оцінити дисперсію помилок, але у випадку МНК з дисконтуванням помилки на початку ряду не мають сенсу через те, що враховуються з малими вагами, а помилки в кінці ряду виявляються вкрай малими через великі ваг при розрахунку коефіцієнтів. Єдиною оцінкою дисперсії помилок може виступати дисперсія помилок ретропрогноза. Статистично обгрунтувати методи побудови інтервальних прогнозів в таких умовах виявляється вкрай важко. Найпростішим виходом з цієї ситуації може бути побудова прогнозного інтервалу на основі нерівності Чебишева (приклад методу побудови таких інтервалів був розглянутий нами в параграфі 9.2) з використанням дисперсії помилок ретропрогноза:

, (10.21)

де - дисперсія помилки ретропрогноза.

Інтервали, побудовані таким чином для моделі (10.19), показані на рис. 10.4. Видно, що у зв'язку з невеликим значенням дисперсії помилки інтервали вийшли не дуже широкими, проте в них потрапила велика частина прогнозованих значень.

Результат запропонованого в даному параграфі методу автоматичної оцінки значення постійної згладжування при використанні цього підходу в МПК з дисконтуванням сильно залежить від числа спостережень, включених в частину для ретропрогноза, і від того, які саме спостереження включаються в неї. Проте метод має право на існування і в ряді випадків дозволяє досить швидко отримати точні прогнози.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Методи визначення коефіцієнтів ß
Бальний метод оцінки
ЗОВНІШНЬОЕКОНОМІЧНЕ ПРОГНОЗУВАННЯ: МЕТОДОЛОГІЧНІ ПРИНЦИПИ, МЕТОДИ, ОЦІНКА НАДІЙНОСТІ ПРОГНОЗНИХ РЕЗУЛЬТАТІВ
Прогнозні моделі, засновані на методах математичної статистики
Альтернативний погляд на фінансову аналітику: вартісна модель аналізу
Умови побудови парної лінійної регресії методом найменших квадратів
Узагальнений метод найменших квадратів
Парна регресія на основі методу найменших квадратів і методу угруповань
Узагальнений метод найменших квадратів при побудові моделі регресії по часових рядах
Метод найменших квадратів і передумови його застосування для множинної лінійної регресії
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук