Навігація
Головна
Адаптація нелінійних моделей методом нерівномірного згладжуванняЯк використовувати метод експоненціального згладжування?Метод експоненціального згладжуванняДеякі методи і моделі аналізу нерівномірності споживанняПопередній аналіз і згладжування часових рядів економічних показників
-метод, перший модифікаціяТретя група - стохастичні методиАпробація методу кількісного аналізу пригод на основі стохастичною...Модифікація методуІгрова холдинг терапія - наша модифікація методу М. Велч
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

МЕТОД НЕРІВНОМІРНОГО згладжування

У результаті освоєння даної глави студент повинен:

знати

• основні результати новітніх досліджень з проблем підвищення точності соціально-економічних прогнозів;

• сучасні підходи і методи адаптивної оцінки коефіцієнтів прогнозних моделей;

вміти

• застосовувати модифікації методу стохастичною апроксимації та інших рекурентних методів для адаптації коефіцієнтів прогнозних моделей;

• виявляти перспективні напрямки наукових досліджень в галузі сучасної прогностики, обгрунтовувати актуальність, теоретичну і практичну значимість адаптивних методів прогнозування;

• формулювати гіпотези, проводити емпіричні і прикладні дослідження з метою вибору кращого методу і моделі прогнозування;

володіти

• методом нерівномірного згладжування;

• методом визначення кращого значення параметра демпфірування коливань;

• навичками самостійної наукової та дослідницької роботи в частині адаптації економетричних прогнозних моделей методом нерівномірного згладжування.

Метод стохастичною апроксимації та його модифікація

У технічній кібернетиці часто доводиться вирішувати завдання, коли об'єкт управління являє собою складну систему, структура та взаємозв'язки між елементами якої досліднику невідомі. Тому об'єкт представляється у вигляді "чорного ящика" (рис. 11.1).

Об'єкт дослідження як

Рис. 11.1. Об'єкт дослідження як "чорний ящик"

Досліднику необхідно знайти таке керуючий вплив х на систему з допустимого безлічі X, щоб на виході з неї було досягнуто якесь оптимальне значення у, чисельно рівне наперед заданого і. Як знайти це керуючий вплив? Можна використовувати метод простого перебору. Але при цьому немає ніякої гарантії, що рішення буде знайдено - простий перебір може призвести до випадкового знаходженню цього рішення, а може і не призвести до цього. Тому треба використовувати процедури цілеспрямованого перебору. Але оскільки залежність між вхідний і вихідний змінними в явному вигляді невідома, далеко не кожна процедура цілеспрямованого перебору може використовуватися для вирішення цього завдання. Оскільки найчастіше стоїть завдання якнайшвидшого пошуку оптимального керуючого впливу на об'єкт, наприклад, для коригування польоту ракети, то надійність алгоритму і швидкість пошуку цього найкращого управлінського рішення є превалює.

Одним з кращих методів, пристосованих для вирішення такого завдання, є метод стохастичною апроксимації, суть якого вперше відбили в 1951 р Г. Роббінс і С. Монро [1]. Цей метод і став формальною підставою для цілого ряду завдань адаптації в технічній кібернетиці. Області застосування і різновиди вирішення різних завдань технічної кібернетики за допомогою методу стохастичною апроксимації різноманітні. У вітчизняній науці найбільш повно методи вирішення таких завдань адаптації та управління представлені в роботах Я. З. Ципкіна [2].[1][2]

Суть методу стохастичною апроксимації полягає в наступному.

У допустимої області X вибираємо довільне значення x t, проводимо експеримент з даним значенням входу в систему і спостерігаємо на виході деяке значення у = f (x t). Таким чином, у дослідника є перша пара взаємозв'язку між вхідної змінної і вихідний. Якби об'єкт був стационарен, можна було б за допомогою кінцевого безлічі спостережень зібрати достатню безліч пар значень х t і f {x t) таке, щоб побудувати регресійну залежність між змінними. Тоді, знаючи коефіцієнти регресійної залежності, можна легко вирішити поставлене завдання - знайти таке значення вхідного керуючого впливу х, при якому на виході з об'єкта спостерігається задане і. Але об'єкт нестационарен, тому такий статистичний підхід не приведе до потрібного результату. Крім того, якщо система відхиляється від деякої траєкторії розвитку, необхідно терміново відкоригувати її поведінку для того, щоб повернути її на колишній шлях або близький до нього. Тому збирати статистичні дані та аналізувати їх на предмет виявлення виду та ступеня взаємозв'язку немає можливості.

У методі стохастичною апроксимації виділяють два різновиди:

• процедура Роббінса - Монро;

• процедура Кіфера - Вольфовица (в збільшеннях) [3].[3]

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Стосовно до завдань адаптації прогнозних моделей використовується процедура Роббінса - Монро, згідно з якою для пошуку оптимального керуючого значення х * вибираємо убутну із зростанням п (числа випробувань) послідовність позитивних чисел γ [п]. Необхідно за кінцеве число кроків випробувань визначити таке значення х *, що належить безлічі X, щоб

(11.1)

Для вибору значення х в наступному експерименті використовується рекурентне співвідношення Роббінса - Монро:

(11.2)

Різниця в круглих дужках іноді називають "функцією невязки". Тут позитивне число γ [і] отримало назву "параметр демпфірування коливань". Саме спосіб завдання параметрів демпфірування коливань визначає характеристики алгоритму методу стохастичною апроксимації, в першу чергу - швидкість його збіжності до оптимального значення. Теоретичним дослідженням процесів адаптації на основі алгоритму Роббінса - Монро присвячено значну кількість робіт фахівців в області математики і технічної кібернетики. Доведено [4], що якщо

(11.3)

то х прагне до х *.

Залежно від способу завдання параметрів демпфірування коливань розрізняють три різних алгоритму адаптації.

1. Алгоритм адаптації з постійним кроком:

(11.4)

Наприклад,

2. Алгоритм адаптації зі змінним кроком, коли параметри демпфірування коливань змінюються залежно від числа випробувань п:

(11.5)

Наприклад,

3. Алгоритм адаптації з нелінійним кроком, коли параметри демпфірування коливань визначаються таким чином, щоб залежно від конкретних величин у [п] і х [п] при даному випробуванні найшвидшим шляхом наблизитися до оптимуму (11.1):

(11.6)

Метод стохастичною апроксимації може бути віднесений до безлічі рекурентних чисельних методів, за допомогою яких, як відомо, вирішуються найскладніші математичні задачі.

Першими з безлічі можливих алгоритмів методу стохастичною апроксимації були використані і досліджені на практиці алгоритми адаптації зі змінним кроком. Тут можна запропонувати найрізноманітніші способи завдання параметра демпфірування коливань, наприклад, або і т.п.

В якості переваги такого підходу слід вказати його простоту і формалізм - параметр змінюється тільки залежно від кроку апроксимації. Це ж можна розглядати і як недолік алгоритму адаптації зі змінним кроком - закон зміни параметра демпфірування коливань впливає на швидкість досягнення оптимуму, і в кожному випадку методом перебору треба визначати кращий з них.

Приклад. Нам необхідно вирішити рівняння: х 3 = 9. Для вирішення цього завдання скористаємося итеративной процедурою методу стохастичною апроксимації.

Припустимо, що в нашому розпорядженні немає калькулятора або комп'ютера, а корінь витягти потрібно. При цьому нам не потрібно знати абсолютно точне значення, можна знайти корінь і з деякою невеликою помилкою. Скористаємося для цього алгоритмом методу стохастичною апроксимації.

Спочатку задаємо функцію нев'язки:

Будемо вважати, що нас влаштовує таке значення кореня, коли функція нев'язки за своїм абсолютним значенням не перевищує η = 0,1. Виберемо наступний спосіб завдання параметра у:

Нехай на першому кроці дослідник задасть x [0] = 2. Тоді відповідно до алгоритму Роббінса - Монро таке значення х [п] визначиться так:

Зводимо x [1] = 2,5 в третю ступінь і обчислюємо модуль невязки: | 9 - 15,625 | = 6,625. Вона більше заданої η = 0,1, тому

продовжуємо обчислення. Наступне значення вхідної змінної знову обчислимо, використовуючи метод Роббінса - Монро:

Зводимо в третю ступінь і знову вважаємо невязку:. Вона більше допустимої, тому обчислюємо нове значення кореня:

Зводимо нове значення шуканої змінної в третю ступінь і вважаємо невязку:. Вона виявилася більше допустимої, тому обчислюємо нове значення кореня на четвертому і наступних кроках до тих пір, поки нев'язка не стане менше допустимої величини:

(нев'язка);

(нев'язка);

(нев'язка);

(нев'язка:);

(нев'язка:);

(нев'язка:);

(нев'язка: що нас цілком влаштовує).

Отже, остаточне рішення поставленої задачі з наперед заданою точністю -

На графіку рис. 11.2 показано, як змінювалися значення змінної х з кожним кроком апроксимації.

Для довідки: більш точне значення цього кореня одно 2,080084, тобто, використовуючи метод стохастичною апроксимації, ми оцінили його досить близько до істинного. Якби ми хотіли отримати більш близьке до істинного значення рішення, варто було б взяти меншу величину нев'язки, наприклад,

Графічне зображення процесу пошуку вирішення поставленого завдання

Рис. 11.2. Графічне зображення процесу пошуку вирішення поставленого завдання

У тому, що параметр демпфірування коливань не залежить від величини нев'язки і визначається лише кроком апроксимації, бачиться недолік алгоритму зі змінним кроком - модельований процеси можуть бути самими різними за складністю, відрізняючись один від одного; перше наближення х [0] в одному випадку може бути досить далеким від оптимуму, а в іншому - близьким до нього. Алгоритм ж цих особливостей не враховує. Тому можна випадковим чином або швидко знайти шукане рішення або так само випадково отримати такий алгоритм, який затягне вирішення завдання на багато ітерацій.

Щоб позбутися впливу такого випадку, алгоритми апроксимації з нелінійним кроком є більш кращими, оскільки їх задають так, щоб параметр демпфірування коливань враховував величину нев'язки і алгоритм "підтягує" модель до реальних даних з тим або іншим ступенем в залежності від величини нев'язки. Такі алгоритми мають велику швидкість збіжності, але в кожному конкретному випадку дослідникові доводиться підбирати свій вид функції, яка описує процес зміни параметра демпфірування коливань. Наприклад, для параметричної ідентифікації лінійних багатофакторних систем в технічній кібернетиці використовують алгоритм, при якому параметр демпфірування коливань має вигляд, де k - число вхідних змінних об'єкта.

Алгоритми адаптації з постійним кроком не знайшли широкого застосування в задачах технічної кібернетики, хоча відомо, що швидкість збіжності до оптимуму в цих випадках може бути найбільшою. Однак спосіб завдання постійного кроку слабо формалізуємо - для кожного випадку необхідно підбирати власну постійну величину демпфірування коливань.

Успіх застосування адаптивного алгоритму ідентифікації моделей технічної кібернетики за допомогою методів Роббінса - Монро дав підстави сподіватися на успіх його застосування і в економічній практиці. Величезною перевагою тут в порівнянні з іншими методами адаптації прогнозних моделей є відсутність будь-яких апріорних припущень про характер процесу. Є просто деякий явно заданий оптимум, якого необхідно досягти. Тому наприкінці XX в. багато фахівців в області економіко-математичного моделювання намагалися використовувати цей метод стосовно завдань соціально-економічного прогнозування. З безлічі цих спроб у прогнозуванні економіки слід відзначити роботи E. М. Левицького [5], який заклав ще в 1970-і рр. основи адаптації економетричних моделей методом стохастичною апроксимації для цілей прогнозування. Ці ідеї в подальшому були розвинені [6], але складнощі вітчизняної науки в 1990-і рр. призвели до того, що цей напрямок зникло як з наукових монографій, так і із загальнодоступних підручників але прогнозуванню.

Щоб ефективно використовувати алгоритм адаптації Роббінса - Монро в прогнозної практиці, необхідно отримати чіткі відповіді на наступні питання [7]:[7]

1. Що є метою адаптації?

2. Що є предметом адаптації?

3. Які очікувані результати адаптації?

Дамо відповіді на ці питання.

1. Що є метою адаптації? Оскільки соціально-економічна динаміка різноманітна, кожен її тип описується за допомогою відповідної моделі. Модель повинна мінятися слідом за об'єктом, який вона описує, адаптуючись до змін у тенденціях, якщо такі зміни спостерігаються, і залишатися незмінною, якщо змін не відбувається.

Зрештою під адаптацією розуміється така зміна економетричної моделі, при якому розрахункове значення показника щонайкраще наближалося б до деякого оптимального значення і t. З урахуванням того що адаптація економетричних моделей - не самоціль, а спроба описати змінилося якісний стан системи в результаті еволюційного розвитку, стає ясно, що це оптимальне значення і t являє собою фактичне спостереження, схильне до впливу різних чинників - детермінованих, випадкових і невідомих. До цього фактичним значенням і повинна адаптувати модель свої розрахункові значення.

Виходить, що метою адаптації слід вважати коректування моделі так, щоб вона краще описувала останні спостереження, ніж всі попередні.

2. Що є предметом адаптацій Адаптувати модель до поточних змін в тенденціях можна, або змінюючи структуру моделі, або коригуючи коефіцієнти моделі.

Щоб поміняти структуру моделі, необхідно виявити, які фактори перестали впливати на об'єкт прогнозування (їх необхідно видалити з моделі) і які нові фактори, що впливають на прогнозований показник, з'явилися (їх слід включити в модель). При сучасному стані науки ефективно вирішити це завдання не виходить. Єдиний спосіб її вирішення - використовувати експертні процедури, але це вносить в саму процедуру велику частку суб'єктивізму, і результати прогнозу виявляються незадовільними.

Тому, залишаючи незмінним вигляд і структуру моделі, будемо змінювати її коефіцієнти, тобто предметом адаптації виступлять коефіцієнти прогнозної моделі. Їх значення будуть коригуватися в тому випадку, коли траєкторія розвитку прогнозованого об'єкта починає відхилятися від тієї, яку описує модель.

3. Які очікувані результати адаптації? Щоб відповісти на це питання, необхідно згадати, що для еволюційних процесів його показники y t формуються під впливом складових, інформація про які може бути:

детермінованою;

• випадкової εt;

• невизначеною μt.

Процес формування підсумкового показника з урахуванням введених позначень можна представити так:

(11.7)

Однак при побудові моделі виділити всі три складові неможливо, тому реальний процес доводиться описувати за допомогою двох доданків - власне моделі (регулярна складова) і деякої помилки апроксимації, яка характеризує вплив випадкових процесів і невідомих чинників і процесів:

(11.8)

Регулярна складова побудована не тільки з урахуванням детермінованих чинників, а й з урахуванням факторів, невідомих досліднику, які ми раніше назвали "невизначеними". Тому навіть після виявлення ступеня і сили взаємодії факторів при побудові моделі немає ніяких гарантій того, що конкретні чисельні значення певних коефіцієнтів моделі відображають вплив тільки детермінованих факторів. Якщо модель добре описує розвиток системи в середньому, в тій чи іншій мірі відображаючи відбуваються в дійсності процеси, то в результаті еволюційного зміни самої системи до останніми спостереженнями модель починає все гірше і гірше описувати реальні процеси. Для поліпшення її властивостей і виникає необхідність адаптації економетричної моделі, її пристосування до цих наметившимся змінам в тенденціях динаміки, суть і причина яких прогнозисти ще не ясна.

Точність опису фактичних значень за допомогою моделі відображає помилка апроксимації ε (. Очевидно, немає ніякої необхідності вимагати відомості цієї помилки до нуля, навпаки, ця помилка не повинна перевищувати деякого допустимого значення η. Причому цим допустимим значенням може бути і середнє абсолютне відхилення, і CKO , і кордони, визначені за допомогою ί-статистики Стьюдента, й інші критерії, застосовувані в залежності від апостериорно виявленого характеру досліджуваного процесу. Таким чином, адаптацію економетричної моделі варто робити тільки у випадку, коли абсолютне значення поточного відхилення розрахункових значень від фактичних перевищує деяке наперед задане допустиме значення

(11.9)

У цьому випадку адаптація проводиться з метою зміни коефіцієнтів моделі так, щоб розрахункові значення знову задовільно описували реальний ряд значень, тобто щоб модель з адаптованими коефіцієнтами описувала останні спостереження з помилкою, по модулю менший наперед заданої помилки.

Отже, очікувані результати адаптації - коригування коефіцієнтів моделі таким чином, щоб модель знову описувала вихідні значення в заданих межах, обумовлених дією випадкових факторів.

Тепер стає зрозумілим зміст процесу адаптації прогнозних моделей - за допомогою алгоритму Роббінса - Монро коефіцієнти економетричних моделей повинні наблизитися до деякого оптимальному своїм значенням для нових змінених умов функціонування системи. Як визначити це оптимальне значення коефіцієнтів, адже вони залежать і від виду моделі, і від конкретних значень і факторів, і показника?

Розглянемо багатофакторну економетричну модель виду

(11.10)

де - фактори, що впливають на у t; коефіцієнти, оцінені за допомогою МНК.

Критерій адаптації і сам алгоритм адаптації можна представити таким чином. Висловимо з (11.10) кожен коефіцієнт моделі через значення і залишилися коефіцієнти:

Якщо тепер для деякого моменту спостереження t в отриманий вираз (11.11) підставити замість розрахункового значення показника його фактичне значення y t, то буде отриманий коефіцієнт ν відмінний від розрахункового, який, при підстановці його в модель дозволяє моделі в точності описувати фактичне спостереження:

(11.12)

У загальному випадку значення отриманих таким чином коефіцієнтів моделі a j, t будуть відрізнятися від розрахованих раніше значень. Назвемо для визначеності отримані за допомогою (11.12) коефіцієнти фактичними.

Якщо згадати, що фактичне і розрахункове значення відрізняються один від одного на помилку апроксимації, то, підставляючи (11.8) в (11.12), побачимо, що

тобто відміну фактичних коефіцієнтів від розрахункових викликано наявністю помилки апроксимації. У випадку, коли залежність між факторами функціональна, помилка апроксимації дорівнює нулю і коефіцієнти (11.11) і (11.12) дорівнюють один одному. Чим далі залежність між змінними відстоїть від функціональної, тим більше помилка апроксимації, тим сильніше відмінність між розрахунковими і фактичними змінними.

Розрахункові коефіцієнти моделі не міняють свої значення, оскільки вони знайдені для всієї множини значень вихідних змінних у t і х t, а фактичні коефіцієнти в загальному випадку змінюються на кожному спостереженні t.

Якщо модель в останні моменти спостереження починає все гірше описувати реальний процес за рахунок того, що прогнозований об'єкт еволюціонує і змінює свою траєкторію розвитку, фактичні коефіцієнти все більше віддаляються від розрахункових значень. Тому у випадку, коли модель починає погано описувати реальний процес, необхідно відкоригувати коефіцієнти моделі так, щоб їхні розрахункові значення (11.11) наближалися до фактичних (11.12). Оскільки в процесі адаптації розрахункові значення коефіцієнтів змінюють з часом свої значення, слід ввести в їх позначення індекс t. Ми будемо їх позначати Ujj і називати адаптованими коефіцієнтами.

Адаптація моделі в момент часу t здійснюється при виконанні умови (11.9) за такою модифікації формули Роббінса - Монро [8]:[8]

(11.13)

тут, де N - останній крок адаптації коефіцієнта на попередньому спостереженні.

Для адаптації прогнозних моделей можна використовувати будь-який з алгоритмів (11.3) - (11.5). Проведені дослідження показали, що найкращими у разі адитивних моделей будуть алгоритми адаптації з постійним кроком. Тут можна запропонувати найрізноманітніші варіанти обчислення величин параметрів демпфірування коливань, наприклад 1/2 або 1/3 і т.п. На кожному спостереженні t за допомогою такого постійного параметра демпфірування коливань за кінцеве число кроків можна буде наблизитися до допустимих меж. Однак для розглянутого випадку адаптації економетричних прогнозних моделей виявляється можливим не займатися перебором різних значень параметра демпфірування коливань, а знаходити таке його значення, при якому адаптація коефіцієнтів здійснюватиметься за один крок [9]:[9]

(11.14)

де ваговий коефіцієнт v j характеризує ступінь адаптації та напрямок зміни даного коефіцієнта в порівнянні з іншими коефіцієнтами, причому сума цих вагових коефіцієнтів повинна дорівнювати одиниці:

(11.15)

Обмежень на ваги, крім (11.15), що не накладається, так що в принципі у деяких коефіцієнтів ваги можуть бути негативними, що буде призводити до адаптації в "протифазу".

У загальному ж випадку немає підстав вважати, що адаптація одних коефіцієнтів повинна здійснюватися в більш значній мірі, ніж інших, тому можна прийняти вказаний ваговий коефіцієнт vj однаковим для всіх коефіцієнтів, і тоді параметр демпфірування коливань для кожного з до коефіцієнтів розраховується досить просто:

Дослідження показали, що розраховується за допомогою формули (11.14) або (11.16) значення параметрів демпфірування коливань є оптимальним для інерційних процесів, так як адаптація при цьому не має многоітератівного характеру, а здійснюється за один крок, тому при такому параметрі демпфірування коливань (11.13) можна записати так:

Дана модифікація методу стохастичною апроксимації є цілком самостійною, націлена на адаптацію прогнозних моделей і фактично має небагато спільного з вихідним методом стохастичною апроксимації. До того ж пропонований механізм адаптації має особливість, до якої ми звернемося в наступному параграфі. Все це вказує на те, що запропонований метод потрібно ідентифікувати самостійно. Для такої ідентифікації назвемо його "методом нерівномірного згладжування". Про те, що за згладжування відбувається і чому воно нерівномірне, ми поговоримо в параграфі 11.2.

Покажемо суть алгоритму на прикладі простої лінійної однофакторний моделі:

Нехай на наявному безлічі значень змінних були оцінені значення коефіцієнтів цієї моделі, напри

(11.16)

(11.17)

(11.18)

заходів, за допомогою МНК. Ці коефіцієнти є тими самими значеннями, які при необхідності слід відкоригувати за допомогою методу нерівномірного згладжування. Адаптацію цих коефіцієнтів моделі слід здійснити, якщо на деякій спостереженні t реальні значення, обчислені за цим розрахунковим значенням коефіцієнтів і, виходять за допустимі межі:

, Де. (11.19)

У цьому випадку розрахункові коефіцієнти і стають тими початковими параметрами, які підлягають адаптації, тобто

і. (11.20)

Відповідно до (11.20) однофакторний регресійна модель буде перетворена в модель

(11.21)

На підставі вищевикладеного висловимо кожен коефіцієнт лінійної однофакторний моделі через yt, x t і залишився коефіцієнт. Для фактичного коефіцієнта а 0 лінійної однофакторний моделі в момент часу t маємо

для коефіцієнта а л:

У цьому випадку, використовуючи коефіцієнти і як значення коефіцієнтів на початковому кроці адаптації, отримаємо

; (11.22)

. (11.23)

З урахуванням того що вирази в дужках в правій частині рівності (11.22) і (11.23) є не що інше, як поточна помилка апроксимації ε t, і оскільки адаптація здійснюється за один крок, отримаємо простий запис для обчислення адаптованих коефіцієнтів:

(11.24)

(11.25)

Отримані адаптовані значення коефіцієнтів використовуються в подальших розрахунках.

Підсумкова модель парної регресії в тих випадках, коли помилка перевищує задану величину, має вигляд

(11.26)

Якщо тепер звернути увагу на суть формул (11.24) і (11.25) при параметрі демпфірування коливань (11.16), то стає ясний сенс алгоритму адаптації з допомогою методу нерівномірного згладжування - з його допомогою модель як би "підтягується" до фактичних значень на відстань, рівну η (тобто до найближчої кордоні).

Щоб зрозуміти суть алгоритму адаптації прогнозних моделей таким методом, на рис. 11.3 наведена схема алгоритму адаптації моделі.

На початку тим чи іншим способом (наприклад, за допомогою МНК) оцінюються коефіцієнти моделі на всій наявній безлічі спостережень. Вибір моделі визначається властивостями об'єкта прогнозування і характером статистичного взаємозв'язку між прогнозованим показником і факторами. Модель в середньому повинна добре описувати вихідні дані, але якщо в тенденціях розвитку прогнозованого процесу спостерігаються деякі систематичні відхилення, викликані адаптацією об'єкта прогнозування до невідомих поки новим факторам та умовам, модель також повинна адаптуватися до цих змін

Алгоритмічна схема адаптації прогнозної моделі

Рис. 11.3. Алгоритмічна схема адаптації прогнозної моделі

в тенденціях і повторювати траєкторію руху в часі прогнозованого показника.

Для цього прогнозист задає величину довірчої границі моделі η, в рамках якої відхилення моделі від фактичних значень пояснюються дією випадкових величин, а вихід за ці рамки служить підставою для адаптації.

Отже, на початку алгоритму задаються вихідні умови - вихідні значення оцінок коефіцієнтів моделі і допустима величина відхилення моделі від фактичних спостережень η. На першому ж спостереженні t = 1 перевіряється виконання умови (11.9). Якщо умова не виконується, тобто модель добре описує вихідні дані, слід переходити до наступного спостереженню, не виконуючи ніяких дій.

Але якщо ця умова виконується, що означає вихід моделі за довірчі межі, необхідно адаптувати модель, коректуючи її коефіцієнти зазначеним вище способом. Ці адаптовані коефіцієнти підставляються в модель, і для наступного спостереження t = t + 1 знову перевіряється виконання умови (11.9). Цей процес продовжується на всій базі даних до останнього спостереження t = Т. Останні адаптовані коефіцієнти моделі і дають прогнозисти ту модель, яка адаптувалася до змін в тенденціях, якщо вони були. Якщо ж змін у тенденціях не було, то коефіцієнти моделі не перераховувалися і модель не змінила свого вигляду.

Приклад. За даними табл. 11.1 на перших 10 спостереженнях за допомогою МНК була побудована наступна модель: = 8,0269л) 10,4506, - де у t - електроспоживання промисловістю, млрд кВт • год; х t - чисельність зайнятих у промисловості (млн чол.).

Таблиця 11.1

Вихідні дані для адаптації прогнозної моделі

Номер спостереження, t

у t

x t

t

у t

x t

1

5,570

1,953

13

17,100

3,252

2

6,360

2,055

14

17,490

3,334

3

7,500

2,291

15

17,900

3,415

4

8,280

2,350

16

18,480

3,469

5

9,060

2,443

17

19,220

3,551

6

9,740

2,535

18

19,910

3,644

7

10,360

2,634

19

21,100

3,721

8

11,600

2,773

20

22,100

3,819

9

12,790

2,878

21

23,400

3,950

10

13,920

2,965

22

24,300

4,090

Розрахуємо за цими даними середню абсолютну похибку апроксимації:

Вона виявилася рівною 0,2738. Ці вихідні значення дають можливість провести адаптацію моделі за допомогою методу нерівномірного згладжування.

Процес адаптації даної моделі полягає в зміні коефіцієнтів моделі в тому випадку, коли поточне відхилення моделі від фактичних даних буде перевищувати середнє абсолютне відхилення, рівне η = 0,2738. Питанню вибору величини η далі буде присвячений окремий параграф. Тут ми будемо використовувати середню абсолютну похибку апроксимації.

Послідовність змін коефіцієнтів моделі в процесі її адаптації відображена в табл. 11.2. У тому випадку, коли помилка апроксимації не перевищувала зазначену межу, параметри моделі залишалися незмінними.

Таблиця 11.2

Адаптація лінійної однофакторний моделі в часі

Рік

Поточне відхилення, εt

Коефіцієнт демпфування коливань, γ t

Коефіцієнти моделі

1

0,3440

0,2040

-10,4155

8,0449

2

0,2432

0,1257

-10,4155

8,0449

3

-0,5154

0,4687

-10,5362

7,9922

4

0,0346

6,9036

-10,5362

7,9922

5

0,0714

2,8364

-10,5362

7,9922

6

0,0161

16,0149

-10,5362

7,9922

7

-0,1551

0,7651

-10,5362

7,9922

8

-0,0260

9,5136

-10,5362

7,9922

9

0,3248

0,1569

-10,5108

8,0010

10

0,7077

0,6131

-10,2938

8,0742

Адаптація проводилася для перших 10 спостережень. Тепер порівняємо прогнозні результати вихідної моделі з оцінками МНК і адаптованої моделі. Модель з оцінками МНК має вигляд

(11.27)

а адаптована методом нерівномірного згладжування модель

(11.28)

Як видно, коефіцієнт пропорційності збільшився так само, як збільшився і вільний член. Це свідчить про те, що адаптована модель відбила тенденцію зміни пропорції між х t і у t.

Порівняємо точність умовного прогнозу кожної з моделей на короткий термін (до трьох років), середній термін (від чотирьох до семи років) і довгий термін (від восьми до 13 років). Для цього будемо використовувати ті дані, які не увійшли в базу побудови моделі, тобто з 11-го але двадцять третього спостереження.

Результати ретропрогноза на ці три періоди за двома моделями наведено в табл. 11.3.

Таблиця 11.3

Помилки прогнозу за моделями (11.27) і (11.28)

t

МAРЕ (t) моделі (11.27),%

МAPE (1) моделі (11.28),%

11

5,82

3,81

12

7,83

5,93

13

8,46

6,65

11-13

7,37

5,46

14

6,74

4,94

15

5,24

3,47

16

5,87

4,14

17

6,07

4,38

14-17

5,98

4,23

18

5,58

3,92

19

7,97

6,40

20

8,58

7,05

21

9,16

7,70

22

7,90

6,46

23

8,10

6,68

18-23

7,88

6,37

З табл. 11.2 видно, що адаптована модель дає більш точний прогноз - середня відносна помилка апроксимації для неї на всіх періодах виявляється нижче, ніж для моделі, оціненої МНК.

Графічно розрахункові значення за моделлю і умовний прогноз але ній представлені на рис. 11.4.

Графічне представлення апроксимації ряду і прогнозу моделлю (11.28)

Рис. 11.4. Графічне представлення апроксимації ряду і прогнозу моделлю (11.28):

суцільна лінія з точками - фактичні значення; суцільна лінія без крапок - розрахункові значення; пунктирні лінії - кордони фільтру; вертикальна лінія відзначає момент, до якого велася адаптація

По графіку видно, як модель адаптується до нової інформації. У тих випадках, коли значення лежать всередині кордонів фільтра, ніяких змін з моделлю не відбувається. Коли ж значення виявляються поза межами, модель з запізненням на один крок підтягує свою найближчу кордон до рівня, на якому знаходилося попереднє фактичне значення. В цілому можна звернути увагу на те, що в довгостроковій перспективі модель (11.28) дає систематичну помилку, однак на таких великих періодах прогнозування це й не дивно.

Розроблений алгоритм адаптації економетричних моделей може бути використаний не тільки для адаптації однофакторних моделей, а й для адаптації багатофакторних моделей. Покажемо, як це зробити на прикладі простої лінійної багатофакторної моделі, коефіцієнти якої знайдені на деякій статистичному безлічі:

(11.29)

Спочатку необхідно вивести кожен з коефіцієнтів моделі через вихідні змінні та інші коефіцієнти моделі. Для вільного члена багатофакторної моделі маємо:

(11.30)

Підставляючи замість розрахункового значення модельованого показника його фактичне значення, отримаємо "фактичне" значення коефіцієнта, до якого слід адаптувати розрахункове, якщо модель починає погано описувати реальні процеси і її коефіцієнти слід відкоригувати:

(11.31)

Оскільки модель аддитивна і лінійна, всі інші розрахункові коефіцієнти виводяться однаковим чином. Для i -го коефіцієнта моделі маємо

. (11.32)

Підставляючи замість розрахункового значення модельованого показника його дійсні значення, обчислюються "фактичні" значення коефіцієнта, до яких в результаті адаптації як би "підтягуються" розрахункові значення:

. (11.33)

Адаптація моделі (11.29) здійснюється відповідно з тим же алгоритмом. Легко помітити, що знову доводиться стикатися з помилкою апроксимації ε t. З урахуванням цього для адаптації вільного члена лінійної багатофакторної моделі використовується формула

(11.34)

Адаптація кожного наступного за вільним членом коефіцієнта також здійснюється за простою формулою

(11.35)

Тут параметри демпфірування коливань можуть обчислюватися за формулою (11.14), а якщо ступінь адаптації кожного з коефіцієнтів однакова, то за формулою (11.16).

Підсумкова модель множинної регресії, адаптована за допомогою методу нерівномірного згладжування, може бути представлена у вигляді системи рівнянь, яка візуально буде нагадувати модель експоненціального згладжування у формі корекції помилок (див. Параграф 7.4):

(11.36)

Якщо переписати перше рівняння системи (11.36) з використанням індексу на одиницю вище (t + 1 замість t), це відповідність стає ще більш очевидним:

(11.37)

Так, у випадку, якщо в моделі не буде ніяких факторів (тобто y t буде описуватися лише середньою величиною), система (11.37) прийме вигляд моделі Брауна у формі корекції помилок, в якій рівень ряду адаптується до помилок моделі:

Істотна відмінність моделей, адаптованих методом нерівномірного згладжування, від моделей експоненціального згладжування полягає у використанні фільтра шумів, в результаті чого адаптація відбувається тільки в тих випадках, в яких це дійсно необхідно.

Як бачимо, метод нерівномірного згладжування є більш загальним в порівнянні з методом експоненціального згладжування і дозволяє адаптувати не тільки моделі тенденцій, але й факторні залежності.

Приклад

За даними табл. 10.1 побудуємо багатофакторну модель обсягу продажів від ряду факторів. За цими даними в гол. 10 ми вже оцінювали модель звичайним МНК і методом z-множників. Звичайний МНК дав нам такі оцінки коефіцієнтів:

Ця модель описує вихідні значення обсягу виробленої продукції з середньою абсолютною помилкою апроксимації, рівний 35,4650. Проведемо адаптацію моделі за допомогою методу нерівномірного згладжування (11.36). Процес адаптації моделі до поточних змін показаний в табл. 11.4.

Таблиця 11.4

Адаптація лінійної багатофакторної моделі в часі

Рік

Поточне відхилення, εt

Коефіцієнт демпфування коливань, γt

Коефіцієнти моделі

Січень 2009

-34,5084

0,0277

-93,6880

-0,0029

-2,4238

2,6207

Лютого 2009

24,2146

0,4646

-93,6880

-0,0029

-2,4238

2,6207

Березня 2009

14,5534

1,4369

-93,6880

-0,0029

-2,4238

2,6207

Квітень 2009

-39,0689

0,0922

-94,4087

-0,0029

-2,4893

2,6154

Травня 2009

-26,1078

0,3584

-94,4087

-0,0029

-2,4893

2,6154

Червень 2009

46,6996

0,2406

-92,1618

-0,0027

-2,2646

2,6319

Липень 2009

27,0792

0,3097

-92,1618

-0,0027

-2,2646

2,6319

Серпня 2009

16,0896

1,2042

-92,1618

-0,0027

-2,2646

2,6319

Вересень 2009р.

19,5862

0,8107

-92,1618

-0,0027

-2,2646

2,6319

Жовтень 2009

-32,4266

0,0937

-92,1618

-0,0027

-2,2646

2,6319

Листопад 2009

51,2712

0,3083

-89,0006

-0,0025

-1,9772

2,6540

Грудня 2009

-57,9905

0,3884

-93,5057

-0,0029

-2,3868

2,6223

Січень 2010

-47,9674

0,2606

-96,0062

-0,0030

-2,6141

2,6050

Лютого 2010

13,3043

1,6657

-96,0062

-0,0030

-2,6141

2,6050

Березня 2010

-55,1764

0,3572

-99,9484

-0,0033

-2,9173

2,5809

Квітень 2010

53,7501

0,3402

-96,2914

-0,0031

-2,6561

2,5996

Травня 2010

-65,1379

0,4555

-102,2260

-0,0035

-3,0800

2,5649

Червень 2010

53,0971

0,3321

-98,6996

-0,0032

-2,8087

2,5827

Липень 2010

33,0860

0,0719

-98,6996

-0,0032

-2,8087

2,5827

Серпня 2010

51,7737

0,3150

-95,4378

-0,0030

-2,5578

2,6002

Вересень 2010

-60,9478

0,4181

-1005344

-0,0034

-2,9826

2,5689

Жовтень 2010

102,9063

0,6554

-87,0461

-0,0024

-1,9450

2,6927

Листопад 2010

-18,1196

0,9573

-87,0461

-0,0024

-1,9450

2,6927

Грудня 2010

-10,8702

2,2626

-87,0461

-0,0024

-1,9450

2,6927

Видно, що модель адаптується до помилок досить часто, проте в деяких частинах ряду коефіцієнти залишаються на тому ж рівні через фільтрацію помилок. У результаті адаптації багатофакторна модель змінила свої коефіцієнти і до останнього кроку адаптації має вигляд

Відмінності в коефіцієнтах, як можна помітити, несуттєві. Викликано це, судячи з усього, тим, що в ряді даних за весь час не відбувалося істотних змін у зв'язках між у і факторами, що впливають на нього.

Графічно вихідний ряд даних і адаптирующаяся модель множинної регресії представлені на рис. 11.5.

Графічне представлення апроксимації ряду і прогнозу методом стохастичною апроксимації

Рис. 11.5. Графічне представлення апроксимації ряду і прогнозу методом стохастичною апроксимації:

суцільна лінія з точками - фактичні значення; суцільна лінія без крапок - розрахункові значення; пунктирні лінії - межі фільтру; вертикальна лінія відзначає момент, до якого велася адаптація

За малюнком видно, як часто і в яких спостереженнях модель адаптувалася до нових фактичним значенням.

Звернемо увагу на те, що адаптація багатофакторних моделей, закладена в методі стохастичною апроксимації в тому вигляді, в якому вона описана у цьому параграфі, не враховує реальну зміну у зв'язках між результатом і факторами: у випадку, якщо помилка виявилася позитивною, всі коефіцієнти будуть збільшуватися . Якщо ж помилка негативна, то всі коефіцієнти будуть зменшуватися. Таким чином, коефіцієнти, розраховані методом стохастичною апроксимації, інтерпретувати безглуздо - це всього лише один з варіантів опису складного еволюційного процесу. Для того щоб отримати більш відповідні реальності коефіцієнти, потрібно міняти механізм адаптації коефіцієнтів і задавати нерівномірні ваги в коефіцієнтах γj, t.

Дане зауваження не відноситься до однофакторний моделі, в яких вплив фактора на результат розглядається ізольовано від інших можливих факторів.

  • [1] Robbins Н., Monro S. A stochastic approximation method // Annual mmanhematics statistics. 1951. V. 22. P. 400-407.
  • [2] Див., Наприклад: Ципкин Я. З. Адаптація і вчення в автоматичних системах. М .: Наука, 1968.
  • [3] Хасьмінскій Р. З. Стохастическая апроксимація // Математична енциклопедія. М .: Радянська енциклопедія, 1984. Т. 5. С. 235-236.
  • [4] ваза М. Стохастическая апроксимація. Μ .: Наука, 1972.
  • [5] Левицький Є. М. Адаптація в моделюванні економічних систем. Новосибірськ: Наука. Сиб. отд-ня, 1977; Левицький E. М. Адаптивні економетричні моделі. Новосибірськ: Наука, 1981.
  • [6] Светуньков С. Г. Економетричні методи прогнозування попиту (на прикладі промислової енергетики). М .: Изд-во МГУ, 1993.
  • [7] Багиев Г. Л., Светуньков С. Г. Моделювання електроспоживання в промисловості // промисловість Енергетика. 1988. № 4.
  • [8] Светуньков С. Г. Адаптивні методи в процесі оптимізації режимів електроспоживання // Нормування і облік в системі енергозбереження: міжвузівський збірник. Ленінград: ЛІЕІ, 1985.
  • [9] Светуньков С. Г. Параметри демпфірування коливань при адаптивному підході до задачі ідентифікації динамічних систем // Моделювання та розробка технічних засобів для АСУ ТП. Ташкент: ТашПІ, 1987.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Адаптація нелінійних моделей методом нерівномірного згладжування
Як використовувати метод експоненціального згладжування?
Метод експоненціального згладжування
Деякі методи і моделі аналізу нерівномірності споживання
Попередній аналіз і згладжування часових рядів економічних показників
-метод, перший модифікація
Третя група - стохастичні методи
Апробація методу кількісного аналізу пригод на основі стохастичною мережі типу GERT
Модифікація методу
Ігрова холдинг терапія - наша модифікація методу М. Велч
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук