Навігація
Головна
Модель взаємодії мультиплікатора-акселератора і параметри, що...Методи завдання кордонів фільтраІнфразвукові коливанняФормулювання завдання в термінах реальних опціонів та ідентифікація...Методи аналізу сезонних коливань в економіціМетоди аналізу сезонних коливань в економіціПостановка завдання маршрутизації без урахування обмежуючих параметрівМетоди вимірювання електричних параметрівМетоди управління багатономенклатурними запасамиІнструментальні змінні як метод оцінювання параметрів моделі...
 
Головна arrow Економіка arrow Методи соціально-економічного прогнозування. Т.2.
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Методи завдання параметра демпфірування коливань

Із усіляких методів завдання параметра демпфірування коливань ми поки розглянули тільки один:

(11.44)

При завданні коефіцієнта але формулою (11.44) модель адаптується до даних в різній мірі залежно від віддаленості фактичних значень від розрахункових. Перевага даного методу полягає в тому, що він не вимагає визначення величини коефіцієнта з боку дослідника. Все, що потрібно для адаптації моделі в гаком випадку, - це розподілити ваги між спостереженнями і задати ширину кордонів η. Правда, адаптація відповідно до (11.44) відбувається таким чином, що модель підтягує свою найближчу кордон до фактичного значенням. Такий метод адаптації має сенс використовувати в тих випадках, коли досліджуваний процес має високу інерційність, тенденції та зв'язку в якому змінюються повільно.

За аналогією з цим методом завдання γ можна запропонувати ще кілька, які так само були б автоматизовані:

(11.45)

При використанні формули (11.45) модель буде підтягуватися до значень, які вийшли за рамки інтервалу, протилежної кордоном. Такий метод завдання володіє тими ж перевагами, що і метод (11.44) і може бути використаний при адаптації моделей в більш динамічних умовах (коли потрібно більш різко і швидко реагувати на зміни).

Наступний метод завдання за своєю ідеєю близький до моделей експоненціального згладжування

(11.46)

У даному випадку при будь-яких виходах значень за межі інтервалу модель буде адаптуватися на фіксовану величину α, яка розподіляється між коефіцієнтами із заданими вагами. Вибір коефіцієнта а, однак, пов'язаний з рядом складнощів. По-перше, експертно його вибрати досить складно, хоча за аналогією з моделями експоненціального згладжування зрозуміло, що значення, близькі до нуля, будуть приводити до більш повільної адаптації, а близькі до одиниці - до більш швидкої. Ну, а по-друге, межі, в яких лежить значення α визначити досить складно. Можна, звичайно, накласти штучне обмеження від 0 до 1, але в такому випадку прогнозні властивості моделі будуть істотно знижені. У цих умовах навіть автоматичний вибір коефіцієнта не гарантує, що буде знайдено оптимальне для прогнозу значення. Перевагою даного методу є те, що модель може адаптуватися і так, щоб фактичні значення потрапляли в інтервал, в той час як її недоліком є негнучкість такого коефіцієнта демпфірування коливань: якими б не були відхилення, модель буде весь час адаптуватися в одній і тій же мірі .

Кілька більш гнучкий метод завдання полягає у виборі постійних αо для кожного коефіцієнта:

(11.47)

Тут завдання коефіцієнтів αо виявляється ще більш складним, і дослідник неминуче зіткнеться з проблемою великого числа локальних мінімумів, яка може призводити до значних складнощів при виборі оптимальних значень коефіцієнтів моделі. При цьому зберігаються всі ті ж переваги і недоліки, що і у випадку з (11.46). Єдине, що з'являється, - можливість задати ступінь адаптації індивідуально для кожного коефіцієнта, що в принципі може регулюватися за рахунок завдання різних ваг в (11.46).

Дослідник також вправі скомбінувати будь-які з методів (11.44) - (11.47) для того, щоб отримати більш гнучку модель, однак у такому випадку може "спливти" проблема з вибором оптимальних значень коефіцієнтів, викликана великим числом локальних мінімумів.

Розглянемо на прикладі різні методи завдання коефіцієнта демпфірування коливань. Візьмемо все той же ряд № 25 і побудуємо по ньому модель лінійного тренду. Як коефіцієнта фільтрації візьмемо МеAD.

Для простоти у всіх випадках, що вимагають завдання вагів, приймемо ваги однаковими і рівними 1 / k.

У результаті розрахунків були отримані значення, представлені в табл. 11.6.

Таблиця 11.6

Результати адаптації моделі лінійного тренду методом нерівномірного згладжування при різних значеннях коефіцієнта демпфірування коливань

Метод завдання у j.t

Фінальне рівняння

sMAPE по ряду,

%

sMAPE за прогнозом,%

1

(11.44)

Y t = 1289,86 + 249,82с

3,76

8,37

2

(11.45)

Y t = 1371,54 + 254,90с

3,81

5,40

3

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

(11.46), α = 1,62

Y t = 1427,60 + 258,88с

3,44

2,74

4

(11.47), α0 = 0,60, α1 = 0,69

Y t = 1365,15 + 256,55с

3,09

5,02

У зв'язку з тим що вихідний ряд даних має тенденцію до зростання, метод завдання з підтягуванням до протилежної кордоні (11.45) дав більш точний прогноз, ніж метод (11.44), хоча останній і Апроксимовані вихідний ряд даних краще.

Підібрати оптимальні значення коефіцієнтів у методах (11.46) і (11.47) було непросто, оскільки завдання має локальні мінімуми. Проте, як бачимо, метод (11.47) дозволив найкращим чином апроксимувати вихідний ряд даних, а метод (11.46) - отримати найбільш точний прогноз на шість спостережень вперед.

Графічно процес адаптації та прогнози за отриманими моделям (табл. 11.6) представлені на рис. 11.7.

Перевага методу 3 (він же (11.46)) але порівняно з іншими методам тут, як бачимо, виявилося очевидним.

Щоб спростити процес автоматичного вибору коефіцієнта демпфірування коливань, потрібно спробувати вивести якщо не межі, в яких він лежить, то хоча б умова, яку гарантувало б стійкість моделі. Для цього представимо весь метод нерівномірного згладжування для довільної багатофакторної моделі в матричному

Адаптація моделі лінійного тренду але ряду № 25 і прогнози по ній з використанням різних методів завдання коефіцієнта демпфірування коливань

Рис. 11.7. Адаптація моделі лінійного тренду але ряду № 25 і прогнози по ній з використанням різних методів завдання коефіцієнта демпфірування коливань

вигляді. Багатофакторна регресійна модель на спостереженні t + 1 відповідно до (11.37) може бути записана у вигляді

(11.48)

де - вектор k факторів (одиниця тут потрібна для обліку константи), наявних у розпорядженні на спостереженні t; X ', - транспонований вектор X t (тобто вектор- рядок); - вектор-стовпець розрахункових значень коефіцієнтів при відповідних факторах на спостереженні t; y t + 1 - фактичне значення залежної змінної на спостереженні t + 1; εt + 1 - помилка моделі на спостереженні t + 1, така, що

У тих випадках, коли фактичне значення на спостереженні t лежить в межах кордонів фільтра, коефіцієнти моделі залишаються незмінними:

(11.49)

Якщо ж помилка по модулю перевищила значення η, коефіцієнти повинні адаптуватися за формулою

(11.50)

де - зворотна діагональна матриця, складена з елементів вектора X t:

: (11.51)

- Вектор коефіцієнтів демпфірування коливань, що задаються дослідником по одному з умов (11.44) - (11.47).

Так, якщо ми хочемо побудувати модель у від х 1 і х 2, ми будемо мати наступні матриці і вектора:

.

При перемножуванні вектора X t на А t отримаємо

,

що повністю відповідає першому рівнянню в (11.37). При цьому при адаптації коефіцієнтів перемножування матриць буде давати

що, у свою чергу, відповідає формулами адаптації в (11.37).

Як бачимо, використання матриць дозволяє більш компактно записати всю схему адаптації методом нерівномірного згладжування через три формули:

У подальших міркуваннях нас будуть цікавити тільки випадки виходу фактичних значень за кордону, тому розглянемо окремо механізм адаптації коефіцієнтів. Очевидно, що в реальності коефіцієнти будуть адаптуватися не так на кожному спостереженні, але поки для простоти ми зробимо допущення про те, що вони адаптуються на кожному.

З формули (11.48) можна вивести значення помилки на спостереженні t + 1. За аналогією з нею запишемо формулу для розрахунку помилки на спостереженні t:

(11.52)

Тепер підставимо формулу помилки (11.52) у формулу адаптації (11.50) і розкриємо дужки:

(11.53)

У формулі (11.53) за дужки можна винести загальний множник A t-1 тоді в першому доданку правої частини формули (11.53) на його місці утворюється одинична матриця I до, що складається з k елементів:

(11.54)

Формула (11.54) вже дає нам деякі уявлення про те, що собою представляє механізм адаптації в методі нерівномірного згладжування. Він нагадує механізм, закладений в моделі експоненціального згладжування, в якому постійна згладжування регулює розподіл ваг між фактичними і розрахунковими значеннями.

Щоб далі не плутатися в матрицях, перемножуючими один на одного, зробимо заміну:

(11.55)

З урахуванням (10.39) формулу (11.54) можна записати в компактному вигляді:

(11.56)

Очевидно, що в разі постійної адаптації коефіцієнти, знайдені на спостереженні t - 1, будуть адаптуватися до фактичних значень на спостереженні ¢ - 1 за тією ж формулою (11.56). Замінимо A t-1 в (11.56) на розрахункове значення па попередньому спостереженні:

Якщо знову провести таку ж заміну з використанням вже розрахункового значення на спостереженні t -2, отримаємо

звідки випливає, що

Якщо продовжити замінювати попередні значення A t розрахунковими, ми отримаємо послідовність доданків, через які визначається поточне значення коефіцієнтів A t:

(11.57)

Спрямовуючи послідовність (11.57) в нескінченність, побачимо, що в компактному вигляді (11.57) може бути записана так:

(11.58)

Якщо тепер підставити (11.58) у формулу (11.48), то зрозуміємо, що прогнозне значення на кроці t + 1 залежить від попередніх фактичних значень:

(11.59)

Формула (11.59) показує, що майбутнє прогнозне значення визначається через зважену суму попередніх фактичних значень, що в принципі схоже па механізм адаптації в моделі експоненціального згладжування. Істотна відмінність даного механізму від експоненціального згладжування полягає в поділі значень коефіцієнтів демпфірування коливань на фактичні значення факторів. Якщо з якихось причин фактори і коефіцієнти демпфірування коливань виявилися б однаковими незалежно від зсуву τ, то ми б прийшли до матричної записі формули експоненціального згладжування:

Це показує, що метод простого експоненціального згладжування (і будь-яка його модифікація) є окремим випадком методу нерівномірного згладжування, що базується на модифікації методу стохастичною апроксимації.

Логічним вимогою до методу нерівномірного згладжування буде вимога збіжності суми модулів ваг в (11.58):

(11.60)

У такому випадку ваги будуть розподілятися так, щоб більш нові значення y t сильніше впливали на прогнозне значення, ніж старі значення y ti.

Зауважимо, що в ряді випадків ваги між спостереженнями (11.59) можуть розподілятися нерівномірно: для якихось спостережень вони будуть по модулю більше 1, а для інших - менше. В даному випадку у вагах немає ніякого чіткого убутного закону, проте за рахунок множення минулих значень на матрицю D t-τ-1 з часом вплив застарілих значень буде зменшуватися.

Сенс умови (11.60) у випадку, якщо адаптація відбувається не на кожному спостереженні, не змінюється. Єдине, що при цьому зміниться, - лаги між значеннями, що входять в суму (11.60). Модель при цьому все так само буде більшою мірою враховувати поточну інформацію, ніж минулої. В принципі для пропущених значень можна задати γj, t = 0, що не змінить сенсу МНС, але при цьому буде легше представимо у вигляді суми (11.60).

На жаль, у зв'язку з тим, що коефіцієнти демпфірування коливань можуть задаватися різними на кожному спостереженні (наприклад, за формулою (11.44)), а фактори в моделі постійно змінюються, вивести обмеження на коефіцієнти демпфірування коливань, виходячи з умови (11.60), що не представляється можливим. Однак умова (11.60) можна використовувати для перевірки стабільності моделі. Адже, якщо воно порушується (тобто в міру віддалення в минуле сума зростає), значить, старі значення в моделі з кожної адаптацією будуть враховуватися в більшою мірою, ніж нові.

Для прикладу, розглянутого нами раніше при завданні коефіцієнта демпфірування коливань за формулою з підтягуванням до протилежної кордоні (11.45), вийшли такі значення коефіцієнтів у тих випадках, в яких коефіцієнти адаптувалися до нових значень (табл. 11.7).

Таблиця 11.7

Ряд коефіцієнтів демпфірування коливань, отриманих при адаптації моделі тренда до ряду № 25 з бази М3

t

γ t

4

1,94

5

1,32

7

1,78

8

1,22

11

1,63

12

1,51

14

1,22

Спробуємо розрахувати за цими значеннями суму (11.60). Для цього запишемо наші дані в матричному вигляді:

Покажемо, як можна розрахувати суму (11.60) за даними 14 і 12 спостережень:

Загалом сума (11.60) для всіх даних табл. 11.7 буде являти собою вектор:

Зауважимо, у зв'язку з округленням до сотих суми, представлені в розрахунках вище, не збігаються з реальними. Для наочності представимо отримані ваги на графіку (рис. 11.8).

Динаміка ваг в методі нерівномірного згладжування на основі даних табл.  11.7

Рис. 11.8. Динаміка ваг в методі нерівномірного згладжування на основі даних табл. 11.7:

по осі абсцис відкладається час спостережень

На малюнку 11.8 графік зліва показує, як дисконтируются ваги для спостережень із 1-го по 14-е при адаптації константи на 14-му спостереженні, а графік праворуч показує розподіл ваг для тих же спостережень тільки вже для коефіцієнта кута нахилу. На себе звертає увагу те, як розподіляються ваги: ваги при t - 14 виявляються найбільшими, а далі при зменшенні t вони починають зменшуватися, причому убування це носить складний нелінійний характер. Також на себе звертають увагу малі значення ваг для коефіцієнта кута нахилу. Отримати такі значення було цілком очікувано, так як при адаптації коефіцієнтів при факторах відповідно до методу нерівномірного згладжування відбувається розподіл призначення фактора.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Модель взаємодії мультиплікатора-акселератора і параметри, що визначають амплітуду циклічних коливань в умовах негнучких цін (модель Самуельсона - Хікса)
Методи завдання кордонів фільтра
Інфразвукові коливання
Формулювання завдання в термінах реальних опціонів та ідентифікація основних параметрів опціонів
Методи аналізу сезонних коливань в економіці
Методи аналізу сезонних коливань в економіці
Постановка завдання маршрутизації без урахування обмежуючих параметрів
Методи вимірювання електричних параметрів
Методи управління багатономенклатурними запасами
Інструментальні змінні як метод оцінювання параметрів моделі авторегресії
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук