Навігація
Головна
Теорема про децентралізаціюТеорема КоузаТеорема сепаратніТеорема Столпера - Самуельсона
 
Головна arrow Екологія arrow Екологічний менеджмент і аудит
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Теорема

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Матриця відносних ваг має лише два дійсних власних значення: п і 0.

Якщо позначити, то відповідно до теореми рівність (2.5) можна представити у вигляді

(2.9)

Рівність (2.9) - основа для подальшої математичної обробки та інтерпретації експертних оцінок в рамках методу аналізу ієрархій.

На практиці при проведенні експертного оцінювання експертам дуже важко одночасно зіставити властивості всієї групи порівнюваних об'єктів (факторів), яких може бути досить багато, і призначити їм відповідні ваги. Куди легше порівнювати об'єкти попарно, характеризуючи за допомогою якої-небудь шкали оцінок ступінь переваги одного об'єкта над іншим. Зважуючи експертно перевага одного об'єкта над іншим і не утримуючи в пам'яті всі безліч відносин між розглянутими об'єктами, ми маємо право розраховувати на те, що експертне оцінювання буде більш обґрунтованим і коректним. Схема попарного порівняння об'єктів широко використовується в різних методах експертного оцінювання і призводить до побудови матриці парних порівнянь

(2.10)

Заповнюючи клітини цієї матриці, при парному порівнянні експерт не знає всього набору чисел, тобто ваг об'єктів. Його завдання якраз і полягає в тому, щоб визначити їх згодом. При парному порівнянні матриця заповнюється числами, що характеризують відносне перевагу (важливість, вага) об'єкта A i над об'єктом А j в той час як власні ваги цих об'єктів w i і w j поки ще не визначені. Іншими словами, a ij призначається експертом, а ваги w i і w j, що утворюють при діленні один на одного величину а підлягають подальшому визначенням.

Для призначення чисел необхідно домовитися про шкалою, за якою буде оцінюватися перевага одного об'єкта над іншим при їх попарному порівнянні. Для цілей експертного оцінювання приймемо 9-бальну шкалу, запропоновану автором методу аналізу ієрархій Томасом Сааті (табл. 2.1).

Таблиця 2.1

Шкала відносної важливості

Інтенсивність відносної важливості, бал

Визначення

Пояснення

1

Рівна важливість

Важливість об'єктів (факторів) A i і A j однакова

3

Помірковане перевага одного над іншим

Досвід і судження дають легке перевагу одному об'єкту (фактору) над іншим

5

Значне або сильне перевага

Наявні дані свідчать про помітне перевазі A i над A j

7

Дуже сильне перевага

Перевага об'єкта (фактора) A i над A j очевидно

9

Абсолютна перевага

Очевидність переваги A i над A j підтверджується всіма наявними ознаками

2, 4, 6, 8

Проміжні рішення між двома сусідніми судженнями

Застосовуються в компромісних випадках

Шкала відносної важливості містить, очевидно, і всі зворотні числа 1/9, 1/7, 1/5, 1/3 і проміжні значення 1/8, 1/6, 1/4, 1/2.

Матриця парних порівнянь заповнюється, як правило, наступним чином. Об'єкт A 1 порівнюють з усіма іншими A 2, ..., A n, заповнюючи послідовно перший рядок матриці. Потім об'єкт A 2 порівнюють з усіма іншими, заповнюючи другий рядок числами а-ф обумовленими за шкалою відносної важливості і т.д. Якщо вага об'єкта A i дорівнює вазі об'єкта A j, то згідно шкалі а ij = 1. Якщо вага об'єкта A i більше ваги об'єкта A j, то у відповідності зі шкалою експерт визначає ступінь переваги, виражену в балах, причому. Якщо навпаки вага об'єкта А, менше ваги об'єкта А j, то за шкалою задається бальна оцінка.

За правилами заповнення матриць парних порівнянь повинні виконуватися умови:

для всіх i і j, так як всі бальні оцінки позитивні;

для всіх

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Елементи матриці А володіють зворотного симетрією, а саме, інакше кажучи, якщо перевагу об'єкта А; над об'єктом A j оцінюється за шкалою, наприклад в 5 балів і, то зворотне зіставлення об'єкта A j з A i повинно автоматично давати оцінку

Очевидно, що в силу зворотної симетричності при заповненні матриці парних порівнянь зручно знайти тільки елементи, які стоять вище діагоналі. Діагональні елементи дорівнюють одиниці, а елементи під діагоналлю в силу зворотної симетричності визначаються автоматично.

Необхідно звернути увагу на те, що матриця парних порівнянь має всі властивості матриці відносних ваг у схемі ідеального порівняння, крім четвертого. Таким чином, вона не володіє, взагалі кажучи, властивістю спільності. Це, очевидно, відбувається через те, що експерт не знає точно ваги об'єктів, а оперує лише їх відносинами

Можна знайти максимальне речовий власне значення і власний вектор w * матриці парних порівнянь. Взагалі кажучи, і w * не збігаються з відповідним власним значенням λmax = п і власним вектором да матриці відносних ваг у схемі ідеального порівняння. Можна довести, що в загальному випадку має місце нерівність, причому рівність досягається тоді і тільки тоді, коли матриця A 'є спільною, тобто виконується четверте властивість

Ідея Т. Сааті полягає в тому, що коефіцієнти матриці парних порівнянь А * задані порівняно точно, тобто відхилення а ij від щирих відносин ваг незначні. Тоді можна сподіватися, що і буде близько до п. Тут використовується відоме положення лінійної алгебри, згідно з яким малих відхилень від вихідних значень елементів матриці відповідає мале відхилення її власних значень.

Визначивши одним з методів лінійної алгебри, можна знайти і вектор w * який буде мало відрізнятися від "істинного" вектора так. Вектор w * визначається, наприклад із системи однорідних рівнянь

(2.11)

Вектор w * задовольняє умові нормування

(2.12)

як доводиться в лінійній алгебрі, завжди існує і визначається однозначно.

Застосування запропонованого підходу буде виправдано, якщо реальна ситуація виявиться близькою до ідеальної. В якості міри відхилення реальної схеми від ідеальної використовується індекс спільності, що визначається за формулою

(2.13)

Якщо I С <0,2, то вважається, що розбіжність між ідеальною і реальною схемами порівняння знаходиться в допустимих межах і отриманим результатам можна довіряти. Якщо ця умова не виконується, слід переглянути задачу, уточнити експертні оцінки і заново сформувати матрицю парних порівнянь А

В окремому випадку п = 2 характеристичне рівняння будь назад симетричною позитивної матриці з одиничними діагональними членами буде мати вигляд

або, розкриваючи детермінант,

Останнє рівняння має два корені, які дорівнюють 0 і 2. Таким чином, в цьому окремому випадку завжди, тобто завжди має місце повна узгодженість (), а значить, і повний збіг реальної та ідеальної схем порівняння.

Розглянемо основні етапи визначення ваг об'єктів відповідно до методом Т. Сааті.

• Побудувати матрицю парних порівнянь А * задовольняє першим трьом з перерахованих вище вимог.

• Знайти максимальне власне значення для матриці A * за допомогою одного з відомих математичних чисельних методів. Наближені методи визначення власних значень і векторів, які не потребують використання ЕОМ, будуть описані в наступному розділі. Перевірити, що.

• Визначити власний вектор w * виходячи з рівняння (2.5) або, що зручніше, наближеним способом, який буде описаний нижче.

• Виконати нормування вектора w *.

• Обчислити індекс узгодженості за формулою (2.7). Переконатися, що. У тому випадку, якщо ця умова не виконується, необхідно переосмислити завдання, задати інші експертні оцінки, заново складаючи матрицю парних порівнянь. Вектор w * є остаточним рішенням завдання.

Компоненти вектора w * наближено визначають ваги (значимість, інтенсивність) порівнюваних об'єктів (факторів). Очевидно, що великі за величиною компоненти відповідають більш важливому (значимого) з погляду експерта фактору.

У книзі Т. Сааті пропонуються наступні наближені способи визначення власних значень і власних векторів матриці парних порівнянь.

1. Алгоритм наближеного визначення власного вектора матриці А *.

Якщо є матриця парних порівнянь, то компонента w i її власного вектора може бути наближено обчислена за формулою

(2.14)

2. Алгоритм наближеного обчислення власного значення матриці А *:

а) знайти суму кожного стовпця матриці А *:

б) помножити суму кожного стовпця S j на відповідну за номером компоненту w j нормалізованого власного вектора;

в) визначити

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Теорема про децентралізацію
Теорема Коуза
Теорема сепаратні
Теорема Столпера - Самуельсона
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук