Навігація
Головна
Основи лінійного програмуванняМетод лінійного програмування, симплекс-метод і лінійні оцінкиМетод лінійного програмуванняНедоліки лінійного програмуванняЛінійне програмування
Принцип оптимальності в плануванні та управлінні, загальна задача...Метод динамічного програмування та оцінки для задач оптимального...Загальні відомості про завдання опуклого програмуванняПостановка задачі лінійного програмуванняПрогнозування, планування та програмування в державному управлінні
 
Головна arrow Економіка arrow Економіко-математичні методи і прикладні моделі
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

ОСНОВИ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

- Принцип оптимальності в плануванні та управлінні, загальна задача оптимального програмування

- Форми запису задачі лінійного програмування та її економічна інтерпретація

- Математичний апарат лінійного програмування

- Геометрична інтерпретація задачі

- Симплексний метод розв'язання задачі

Після вивчення даної глави студенти повинні:

знати

• загальні принципи оптимального планування та управління в економіці:

• основні поняття лінійного програмування;

• методи розв'язання задач лінійного програмування (ЗЛП);

вміти

• формулювати загальну постановку ЗЛП;

• представити ЗЛП в різних формах запису;

• дати економічну інтерпретацію отриманих результатів на всіх етапах графічного і симплексного методів вирішення зли;

володіти

математичним апаратом лінійного програмування;

• практичними навичками формулювання та вирішення ЗЛП.

Принцип оптимальності в плануванні та управлінні, загальна задача оптимального програмування

Лінійне програмування - це особливий розділ оптимального програмування. В свою розділ прикладної математики, що вивчає завдання умовної оптимізації. В економіці такі завдання виникають при практичній реалізації принципу оптимальності в плануванні та управлінні.

Необхідною умовою використання оптимального підходу до планування та управління (принципу оптимальності) є гнучкість, альтернативність виробничо-господарських ситуацій, в умовах яких доводиться приймати планово-управлінські рішення. Саме такі ситуації, як правило, і складають повсякденну практику господарюючого суб'єкта (вибір виробничої програми, прикріплення до постачальників, маршрутизація, розкрій матеріалів, приготування сумішей, завантаження контейнерів і т.д.).

Суть принципу оптимальності полягає в прагненні вибрати таке планово-управлінське рішення, де - його компоненти, який найкращим чином враховувало б внутрішні можливості і зовнішні умови виробничої діяльності господарюючого суб'єкта.

Слова "найкращим чином" тут означають вибір деякого критерію оптимальності, тобто деякого економічного показника, що дозволяє порівнювати ефективність тих чи інших планово-управлінських рішень. Традиційні критерії оптимальності: "максимум прибутку", "мінімум витрат", "максимум обсягу робіт (послуг)" та ін.

Слова "враховувало б внутрішні можливості і зовнішні умови виробничої діяльності" означають, що па вибір управлінського рішення (поведінки) накладається ряд умов, тобто вибір здійснюється з деякої області можливих (допустимих) рішень D; цю область називають також областю визначення завдання.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Таким чином, реалізувати на практиці принцип оптимальності в плануванні та управлінні - це означає вирішити екстремальну задачу виду

(2.1)

(2.2)

де - математична запис критерію оптимальності - цільова функція задачі (моделі) оптимізації.

Задачу умовної оптимізації (2.1), (2.2) зазвичай записують у вигляді:

знайти максимум або мінімум функції

(2.3)

при обмеженнях

(2.4)

(2.5)

Умова (2.5) необов'язково, але його завжди при необхідності можна добитися. Позначення {≤, =, ≥} говорить про те, що в конкретному обмеженні можливий один із знаків ≤, = або ≥ Більш компактна запис:

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Завдання (2.6) - (2.8) - спільне завдання оптимального (математичного) програмування, інакше - математична модель задачі оптимального програмування, в основі побудови (розробки) якої лежать принципи оптимальності, системності та адекватності.

Вектор (набір керуючих змінних, j = 1,2, ..., п) називається допустимим рішенням або планом задачі оптимального програмування, якщо його компоненти задовольняють системі обмежень. А той план (допустиме рішення), який доставляє максимум або мінімум цільової функції називається оптимальним планом (оптимальним поведінкою, або просто рішенням) задачі оптимального програмування.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Таким чином, вибір оптимального управлінського поведінки в конкретній виробничій ситуації пов'язаний з проведенням з позицій системності, адекватності і оптимальності економіко-математичного моделювання та вирішенням завдання оптимального програмування.

Вирішити завдання оптимального програмування (отримати рішення по оптимізаційної економіко-математичної моделі) - це означає:

- По-перше, знайти оптимальний план, який, з урахуванням інтерпретації його компонент, і визначає оптимальну поведінку в ситуації, що розглядається;

- По-друге, знайти оптимальне значення (максимум або мінімум) цільової функції, яке і являє собою економічну оцінку наслідків пропонованого рішення (поведінки).

Іноді неможливо отримати рішення по оптимізаційної моделі: область допустимих рішень може виявитися порожнім безліччю (задача суперечлива) або цільова функція є необмеженою на області визначення.

Перший випадок пов'язаний з неточностями в постановці економічної задачі або (і) розробленої економіко-математичної моделі (ЕММ). Наприклад, з наявним обсягом ресурсів свідомо неможливо виконати навіть ті мінімальні обсяги робіт, які закладаються в обмеження як необхідні мінімальні планові завдання. Якщо в даній ситуації все ж таки необхідно знайти рішення задачі, то слід побудувати непорожнє безліч допустимих рішень, виключивши одне або кілька обмежень, тобто фактично дотримати принцип альтернативності.

Другий випадок зазвичай означає, що ЕММ розроблена некоректно і деякі суттєві обмеження в ній відсутні.

Задачі оптимального програмування в найбільш загальному вигляді класифікують за такими ознаками.

1. За характером взаємозв'язку між змінними:

а) лінійні;

б) нелінійні.

У випадку (а) всі функціональні зв'язки в системі обмежень і функція мети - лінійні функції, наявність нелінійності в хоча б одному із згаданих елементів призводить до нагоди (б).

2. За характером зміни змінних:

а) безперервні;

б) дискретні.

У випадку (а) значення кожної з керуючих змінних можуть заповнювати суцільно деяку область дійсних чисел, у випадку (б) всі або хоча б одна змінна можуть приймати тільки цілочисельні значення.

3. По обліку фактора часу:

а) статичні;

б) динамічні.

У завданнях (а) моделювання і прийняття рішень здійснюються в припущенні про незалежність від часу елементів моделі протягом періоду часу, на який приймається планово-управлінське рішення. У випадку (б) таке припущення досить аргументовано прийнято не може бути й необхідно враховувати фактор часу.

4. За наявністю інформації про змінних:

а) завдання в умовах повної визначеності (детерміновані);

б) завдання в умовах неповної інформації;

в) завдання в умовах невизначеності.

У завданнях (б) окремі елементи є імовірнісними величинами, однак відомі або додатковими статистичними дослідженнями можуть бути встановлені їх закони розподілу ймовірностей. У випадку (в) можна зробити припущення про можливі исходах випадкових елементів, але немає можливості зробити висновок про ймовірність результату.

5. За кількістю критеріїв оцінки альтернатив:

а) прості, однокритеріальних завдання;

б) складні, багатокритеріальні задачі.

У завданнях (а) економічно прийнятно використання одного критерію оптимальності або вдається спеціальними процедурами (наприклад, "зважуванням пріоритетів") звести багатокритеріальний пошук до однокритеріальних; приклади багатокритеріальних задач розглянуті в главі 3.

Поєднання ознак 1-5 дозволяє групувати (класифікувати) у найзагальнішому вигляді завдання і методи оптимального програмування, наприклад: 1а) 2а) 3а) 4а) 5а) - завдання і методи лінійного програмування, 1б) 2а) 3а) 4а) 5а) - завдання і методи нелінійного програмування, 1а) 2б) 3а) 4а) 5а) - завдання і методи цілочисельного (дискретного) лінійного програмування і т.д.

Нові можливості для широкого практичного застосування методів оптимального програмування представляють сучасні офісні кошти. Широке коло фахівців у своїй повсякденній практиці використовує необхідний компонент фінансово-економічних розрахунків - Microsoft Excel (MS Excel), який містить спеціальний засіб - надбудову Пошук рішення, що дозволяє реалізовувати моделі лінійної, нелінійної та дискретної оптимізації. Технологія оптимізації за допомогою надбудови Пошук рішення з рішенням деяких типових задач оптимального програмування в середовищі MS Excel докладно розглянута, наприклад, в літературі [1] • [2].[2]

Розглянемо приклад задачі оптимального програмування.

Постановка завдання. Пропонується п інвестиційних проектів, ретельна економічна експертиза яких дозволяє отримати для кожного з проектів досить переконливі економічні оцінки очікуваного ефекту від їх реалізації і необхідних капіталовкладень. Загальний обсяг можливих капіталовкладень обмежений величиною В. Необхідно так розпорядитися наявними фінансовими ресурсами, щоб максимізувати сумарний ефект від інвестицій.

Математична модель. Введемо необхідні позначення, нехай:

Таким чином, формально інвестиційний план - це вектор. З урахуванням цих позначень завдання за критерієм "максимум економічного ефекту" математично запишеться наступним чином:

Наведена задача (модель) є завданням дискретного лінійного програмування з булевими змінними (змінні, які можуть приймати тільки два значення: 1 і 0, інакше "так" або "ні"), тобто відноситься до класу задач 1а) 2б) 3а) 4а) 5а). Це завдання може бути вирішена, наприклад, відомим методом Балаша.

Вибору методу вирішення конкретного завдання оптимального програмування передує її класифікація, тобто віднесення до одного з класів оптимізаційних задач, починаючи з наведених найзагальніших ознак (наприклад, завдання дискретного лінійного програмування з булевими змінними).

Розвиток і вдосконалення методів вирішення завдань оптимального програмування йде від випадків типу (а) до випадків типу (б), (в).

Найбільш вивчені задачі лінійного програмування, для яких розроблений універсальний метод вирішення - метод послідовного поліпшення плану (симплекс-метод), тобто будь-яка задача лінійного програмування вирішується (про модель лінійної оптимізації кажуть, що вона реалізується) цим методом.

Саме ці завдання надалі розглядаються в даній главі.

  • [1] Мур Дж., Уедерфорд Л. Економічне моделювання в Microsoft Excel. Μ .: Вільямс, +2004.
  • [2] Гармаш А. Н., Орлова І. В. Математичні методи в управлінні: навч. допомога. М .: Вузівський підручник, 2012.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Cхожі теми

Основи лінійного програмування
Метод лінійного програмування, симплекс-метод і лінійні оцінки
Метод лінійного програмування
Недоліки лінійного програмування
Лінійне програмування
Принцип оптимальності в плануванні та управлінні, загальна задача оптимального програмування
Метод динамічного програмування та оцінки для задач оптимального керування
Загальні відомості про завдання опуклого програмування
Постановка задачі лінійного програмування
Прогнозування, планування та програмування в державному управлінні
 
Дисципліни
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук