Навігація
Головна
Математичний апарат лінійного програмуванняЛінійне програмуванняВідкриття лінійного програмування і його вплив на розвиток...Метод лінійного програмування, симплекс-метод і лінійні оцінкиМатематичне програмування
Матриці і визначникиМАТРИЦІ СТРАТЕГІЙ РОЗВИТКУCDI / BDI-матрицяМатриця "товар - ринки"РІЗНОВИДИ СТРАТЕГІЧНИХ МАТРИЦЬ. ПОРТФЕЛЬНІ МАТРИЦІ
 
Головна arrow Економіка arrow Економіко-математичні методи і прикладні моделі
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Математичний апарат лінійного програмування

Вивчення та розуміння сучасних економіко-математичних методів передбачає досить серйозну математичну підготовку економістів. Для освоєння завдань і методів в межах даної глави необхідні знання основних понять і елементів вищої математики, матричної та векторної алгебри. Деякі необхідні відомості з цих розділів математики наведені нижче.

Матриці і визначники

Розглянемо т × п дійсних чисел, записаних у вигляді прямокутної таблиці з т рядків і п стовпців:

Дана таблиця чисел називається числовий матрицею (надалі - просто матрицею). Числа а ij, які входять в матрицю, називаються її елементами. Індекси i та j елемента а ij вказують відповідно номери рядка і стовпця, в яких розташований елемент а ij. Матрицю, що містить один рядок (або один стовпець), називають також вектор-рядком (або вектор-стовпцем).

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою. Дві матриці називаються рівними, якщо числа рядків і стовпців однієї з них дорівнюють відповідно числам рядків і стовпців інший і елементи цих матриць, розташовані на відповідних місцях, рівні.

Матрицею, транспонованою до матриці А, називається матриця виду

тобто рядками матриці А є стовпці, а стовпцями - рядки матриці А.

Якщо число рядків дорівнює числу стовпців = п), матрицю називають квадратною матрицею порядку п.

Елементи утворюють так звану головну діагональ квадратної матриці; елементи,, ..., - побічну діагональ квадратної матриці.

Розглянемо деякі дії над матрицями.

1. Твором матриці А на число λ (або, що те ж саме, числа λ на матрицю А) називається матриця

получающаяся з А шляхом множення кожного її елемента на число λ.

2. Під сумою двох матриць

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

розуміється матриця

елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць А і В. При цьому мається на увазі, що число рядків (стовпців) матриці А одно числу рядків (стовпців) матриці В. Подібним же чином визначається і різниця - В) матриць А і В.

Лінійні операції над матрицями підкоряються звичайним законам арифметики, наприклад:

(всі елементи матриці 0 - нулі),

3. Твором матриці А з т рядків і п стовпців на матрицю В з п рядків і до стовпців називається матриця З = АВ, що має т рядків і k стовпців, елемент якої, розташований в i -му рядку і j-му стовпці, дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j -го стовпця матриці В, тобто знаходиться за формулою скалярного твори i-й вектор-рядка матриці А на j -й вектор-стовпець матриці В:

У разі квадратних матриць можна скласти як добуток АВ, так і твір ВА. У загальному випадку АВ !!! ВА, тобто переместітельний закон для матриць не виконується.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Для твору матриць залишаються в силі наступні закони арифметики.

1. Розподільчий закон + В) С = АС + НД, С (А + В) = СА + СВ.

2. сполучний закон (АВ) С = А (НД).

Серед квадратних матриць особливу роль відіграє матриця

всі елементи якої, розташовані на головній діагоналі, дорівнюють одиниці, а решта - нулю. Можна перевірити, що для будь-якої матриці А:

АЕ = ЕА = А. Матриця Е називається одиничною.

Матриця В називається зворотної для матриці А, якщо АВ = ВА = Е. Матриця В, зворотна матриці А, позначається через (функція = МОБР () Майстра функцій MS Excel).

З кожною квадратною матрицею певним чином пов'язано деяке число, зване її визначником (функція = МОПРЕД () Майстра функцій MS Excel).

Для обчислення визначника будь-якого порядку необхідне знання його властивостей і теореми про розкладання визначника.

Наведемо основні властивості визначників.

1. При транспонировании матриці її визначник не змінюється. Ця властивість свідчить про повну рівноправність рядків і стовпців визначника. Отже, якщо деяке твердження справедливо щодо стовпців визначника, то аналогічне твердження справедливо і для його рядків.

2. Якщо всі елементи якого-небудь стовпця (рядка) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

3. При перестановці двох будь-яких стовпців (рядків) визначника його знак змінюється на протилежний, а абсолютна величина залишається незмінною.

4. Визначник з двома однаковими стовпцями (рядками) дорівнює нулю.

5. Якщо j -й стовпець (рядок) визначника D є лінійною комбінацією

двох довільних стовпців (рядків) У і С, то і сам визначник виявляється лінійною комбінацією

визначників D j (B) і D j (C).

Тут D j (B) і D j (С) - визначник D в якому стовпець (рядок) у замінено відповідно на стовпець (рядок) У і С. Інші стовпці (рядки) збережені без зміни.

6. При множенні будь-якого стовпця (рядка) визначника на довільне число λ сам визначник множиться на це ж число.

7. Якщо який-небудь стовпець (рядок) визначника є лінійною комбінацією інших його стовпців (рядків), то визначник дорівнює нулю.

8. Визначник нс зміниться, якщо до елементів будь-якого його стовпця (рядки) додати відповідні елементи іншого шпальти (рядки), попередньо помножені на одне і те ж число.

Розглянемо визначник n -го порядку:

Виділимо в ньому деякий елемент, наприклад. Викреслимо определителе i -ю рядок і j -й стовпець, в яких розташований виділений елемент. У результаті залишиться визначник (n -1) -го порядку. Цей залишився визначник називається мінором елемента у визначнику D і позначається.

Величину називають алгебраїчним доповненням елемента у визначнику D (або у відповідній квадратній матриці).

Теорема про розкладання визначника. Визначник матриці А дорівнює сумі творів всіх елементів деякого стовпця (рядки) на їх алгебраїчні доповнення:

Розглянемо приклади обчислення визначників (передбачається знання правил обчислення визначників другого порядку).

1. Обчислити визначник

Розкладемо визначник D за елементами другого стовпця:. Переходячи до минорам, маємо

2. Обчислити визначник четвертого порядку

Використовуючи властивості визначників, отримаємо одиничну перший рядок і розкладемо по ній визначник D;

аналогічно поступимо з першим стовпцем перетвореного визначника:

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Cхожі теми

Математичний апарат лінійного програмування
Лінійне програмування
Відкриття лінійного програмування і його вплив на розвиток математичних методів
Метод лінійного програмування, симплекс-метод і лінійні оцінки
Математичне програмування
Матриці і визначники
МАТРИЦІ СТРАТЕГІЙ РОЗВИТКУ
CDI / BDI-матриця
Матриця "товар - ринки"
РІЗНОВИДИ СТРАТЕГІЧНИХ МАТРИЦЬ. ПОРТФЕЛЬНІ МАТРИЦІ
 
Дисципліни
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук