Навігація
Головна
Рішення систем нелінійних рівняньРішення систем лінійних рівняньБагатофакторні і нелінійні рівняння регресіїТехнології рішення систем економетричних рівняньСистеми одночасних рівняньПерерозподіл непрямих витрат за допомогою системи лінійних рівняньМетод лінійного програмування, симплекс-метод і лінійні оцінкиРівняння нерозривності в змінних Ейлера в декартовій системі координатЗастосування систем з багатьма рівняннямиЛінійні перевезення
 
Головна arrow Економіка arrow Економіко-математичні методи і прикладні моделі
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Рішення систем лінійних рівнянь

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Розглянемо систему з п лінійних рівнянь з п невідомими (такі системи лінійних рівнянь називаються певними):

(2.15)

Визначник Δ, складений з коефіцієнтів при невідомих, називають визначником системи (2.15):

Вирішити систему рівнянь (2.15) можна різними методами, зокрема методом Крамера. В основі вирішення системи рівнянь (2.15) методом Крамера лежить наступна теорема.

Теорема Крамера. Якщо визначник Δ системи (2.15) відмінний від нуля, то система сумісна і має єдине рішення, яке можна знайти за формулою

У цій формулі є визначником, отриманим з визначника системи Δ шляхом заміни стовпця у стовпцем вільних членів.

Систему п лінійних рівнянь з п невідомими (2.15) можна записати в матричному вигляді: АХ = В, де А - квадратна матриця порядку п, складена з коефіцієнтів при невідомих; X - вектор-стовпець з невідомих; В - вектор-стовпець вільних членів:

Якщо А - невироджена матриця, тобто її визначник, то можна визначити. З урахуванням цього мають місце матричні співвідношення:

(2. 16)

Зворотній матриця може бути визначена на базі наступної теореми.

Теорема 2.1. Якщо визначник матриці А не дорівнює нулю, то матриця А має зворотну матрицю, яка знаходиться за формулою

де - матриця, приєднана до матриці А.

Матриця складається з алгебраїчних доповнень до елементів транспонований матриці:

Таким чином, співвідношення (2.16) лежить в основі вирішення системи рівнянь (2.15) методом зворотної матриці (функція = МУМНОЖ (МОБР (Л), В) Майстра функцій MS Excel).

Розглянемо систему т лінійних рівнянь з п невідомими (при m <п такі називаються невизначеними):

(2.17)

або у векторній запису: де - відповідні вектор-стовпці.

Запишемо розширену матрицю цієї системи у вигляді

Елементарними перетвореннями системи (2.17) (або матриці) називаються такі перетворення:

• перестановка будь-яких двох рівнянь;

• множення обох частин одного з рівнянь на будь-яке відмінне від нуля число;

• додаток до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на будь-яке число, відмінне від нуля;

• викреслення нульовий рядки (рівняння з нульовими коефіцієнтами і вільними членом, рівним 0).

Можна показати, що елементарні перетворення переводять дану систему рівнянь в еквівалентну систему. Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, або рівносильними, якщо кожне рішення першої системи (якщо вони існують) є рішенням другий, і навпаки. Відповідні розширені матриці також називаються еквівалентними.

При практичному вирішенні системи лінійних рівнянь методом Жордана - Гаусса послідовно над рядками матриці виконують елементарні перетворення, так що деякий невідоме виключається з усіх рівнянь, крім одного, тобто у складі розширеної матриці формується одинична подматріца.

У процесі вирішення можуть зустрітися наступні випадки.

1. Буде отримана матриця, еквівалентна матриці, в лівій частині деякою рядки її стоять нулі, а в правій - число, відмінне від нуля, що відповідає рівнянню

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Це ознака несумісності системи (2.17), тобто система не має рішень.

2. У результаті перетворень вийшла матриця виду

У цьому випадку система (2.17) сумісна, певна і має єдине рішення:.

3. На деякому етапі вийшла розширена матриця виду

Система сумісна і має незліченну безліч рішень. Загальне рішення системи можна записати у вигляді

Надаючи кожної з стоять в правих частинах рівностей змінних довільні значення, будемо отримувати приватні рішення системи.

Невідомі називаються базисними, або основними, вони відповідають лінійно-незалежним векторах

Таким чином, будь-які r змінних називаються базисними (основними), якщо визначник матриці коефіцієнтів при них відмінний від нуля, а решта (п - r) змінних називаються вільними, або неосновними. Базисним рішенням системи рівнянь називається приватне рішення, в якому неосновні змінні мають нульові значення. Кожному разбиению на основні і неосновні змінні відповідає одне базисне рішення, а кількість способів розбиття не перевищує величини

Якщо всі компоненти базисного рішення невід'ємні, то таке рішення називається опорним.

Приклад 2.3. Дослідити систему рівнянь методом Жордана - Гаусса.

Рішення. Запишемо розширену матрицю системи рівнянь і послідовно перетворимо її елементарними перетвореннями

Таким чином, система сумісна, має незліченну безліч рішень. Загальне рішення записується у вигляді

Будь-яка приватна рішення виходить із загального шляхом додання конкретних значень вільним змінним і. Наприклад, (-8; 4; 8; 1; 0) - приватне рішення. Одне з базисних рішень отримуємо при і, тобто (-8; 3; 6; 0; 0).

Число базисних рішень не перевершує. Перейдемо до іншого базисного рішенням, взявши в розширеній матриці в якості базисних рішень вектори; при цьому змінні будуть базисними, а - вільними. Перехід від одного базису до іншого здійснимо методом Жордана - Гаусса, тобто використовуючи елементарні перетворення:

Таким чином, отримано ще одне базисне рішення: (-8; 0; 0; -3; 0) і т.д.

Зауважимо, що обидва отриманих базисних рішення не є опорними рішеннями; останнє рішення є також виродженим (базисна змінна х дорівнює 0).

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Рішення систем нелінійних рівнянь
Рішення систем лінійних рівнянь
Багатофакторні і нелінійні рівняння регресії
Технології рішення систем економетричних рівнянь
Системи одночасних рівнянь
Перерозподіл непрямих витрат за допомогою системи лінійних рівнянь
Метод лінійного програмування, симплекс-метод і лінійні оцінки
Рівняння нерозривності в змінних Ейлера в декартовій системі координат
Застосування систем з багатьма рівняннями
Лінійні перевезення
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук