Навігація
Головна
Лінійні векторні просториМножинна лінійна регресія в скалярною і векторної формахПереваги векторного способу опису графіки над растровимВекторна графікаПроста лінійна регресіяЛінійні перевезенняВекторний графічний редакторВикористання методу простої лінійної регресії в оцінці просторового...Метод лінійного програмування, симплекс-метод і лінійні оцінкиВище керівництво, лінійний керівник - експерти
 
Головна arrow Економіка arrow Економіко-математичні методи і прикладні моделі
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Лінійні векторні простори

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Визначення 2.1. Упорядкована система з п дійсних чисел називається n -мірним вектором і позначається. Числа називаються компонентами вектора.

Визначення 2.2. Сукупність всіляких n -мірним векторів з введеними на ній операціями додавання і множення на число називається n -мірним векторним простором.

У матриці з т рядків і і стовпців рядки є "-мірним векторами, стовпці - m -мірним векторами.

Вектор і вектор рівні, якщо збігаються їх компоненти, стоять на однакових місцях, тобто якщо при.

Сумою векторів і називається вектор. Роль нуля відіграє нульовий вектор

Протилежним вектору називається вектор очевидно, що

Різницю векторів •.

Твором вектора на число λ називається вектор. З цього визначення випливають такі важливі властивості:

Наслідками цих властивостей є наступні:,. Скалярним добутком двох векторів і і В) називається дійсне число, рівне сумі добутків відповідних компонент цих векторів:

Наприклад, ліва частина лінійного рівняння може бути представлена у вигляді скалярного добутку векторів, де,

Вектор В називається лінійною комбінацією векторів, якщо існують такі числа, при яких виконується співвідношення

Система векторів називається лінійно залежною, якщо хоча б один з векторів системи є лінійною комбінацією інших, і лінійно незалежної - в іншому випадку. Можна сформулювати такі рівносильні сказаному визначення.

Система векторів - лінійно залежна, якщо існують числа, не всі рівні нулю, при яких має місце рівність

Якщо останнє співвідношення можливо лише у випадку, коли всі, то система векторів називається лінійно незалежною.

Наприклад, система векторів,, лінейнозавісіма:

Рангом системи векторів

називається максимальне число лінійно незалежних векторів цієї системи. Ранг системи векторів дорівнює рангу матриці А, складеної з компонент векторів цієї системи, тобто найвищого порядку мінору матриці А, відмінного від нуля.

Приклад 2.4. Визначити, чи є система векторів,, лінійно залежною; якщо вона лінійно-залежна, то знайти її максимальну лінійно незалежну підсистему.

Рішення. Складемо матрицю з компонент векторів і знайдемо її ранг.

Маємо

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Мінор другого порядку

Розглянемо два мінору третього порядку, які його облямовують:

Ранг матриці А дорівнює 2, тому система векторів є залежною. У матрицях, складених з компонент будь-яких двох векторів даної системи, містяться мінори другого порядку, відмінні від нуля, наприклад,

Тому максимальна лінійно незалежна підсистема складається з двох будь-яких векторів, а третій вектор є їх лінійною комбінацією.

Базисом n -мірного векторного простору називається будь-яка сукупність п лінійно незалежних векторів цього ж простору.

Теорема 2.2. Будь вектор n -мірного векторного простору можна представити як лінійну комбінацію векторів базису, притому єдиним чином.

Один з базисів n -мірного векторного простору утворює система одиничних векторів

Компоненти будь-якого n -мірного вектора можна вважати координатами цього вектора в одиничному базисі.

Нехай задано n -мірним лінійний простір Е n.

Визначення 2.3. Безліч X називається опуклим, якщо разом з якими точками і безлічі належать точки (відрізок) при всіх.

Безліч на рис. 2.1, а - опукле, на рис. 2.1, б - неопуклого.

Мал. 2.1

Визначення 2.4. Функція, задана на опуклій множині, називається опуклою, якщо для будь-яких двох точок і з X і будь-якого числа виконується співвідношення

Визначення 2.5. Функція, задана на опуклій множині, називається увігнутою, якщо для будь-яких двох точок і з X і будь-якого числа виконується співвідношення

Якщо приведені нерівності вважати строгими і вони виконуються при, то функція - строго опукла (увігнута).

Можна показати, що якщо - опукла функція, то функція - - увігнута, і навпаки.

На рис. 2.2, а функція - опукла, на рис. 2.2, б - увігнута.

Мал. 2.2

Справедливі наступні твердження щодо опуклих множин і функцій.

1. Перетин опуклих множин є опукле безліч.

2. Сума увігнутих (опуклих) функцій є увігнута (опукла) функція.

3. Якщо - опукла функція при, то множина всіх точок, що задовольняють умовам,, опукло (якщо воно не пусте; b - це постійна).

4. Нехай - опукла (увігнута) функція, задана на замкнутому опуклому безлічі, тоді будь-який локальний мінімум (максимум) на X є і глобальним.

Наведемо необхідна і достатня умова опуклості функції багатьох змінних. Нехай функція має всі приватні похідні другого порядку, що утворюють матрицю

Ця функція є опуклою в області X тоді і тільки тоді, коли матриця Q для будь-якої точки з цієї області є неотрицательно (позитивно) визначеною. Нагадаємо, що квадратна всі визначники

тобто всі головні мінори матриці, ненегативні (позитивні).

Приклад 2.5. Показати, що функція є опуклою при.

Складемо матрицю з приватних похідних другого порядку для.

Знайдемо головні мінори. Так як, при, то функція є опуклою.

Дамо визначення глобального і локального максимумів. Функція досягає на замкнутому (тобто включає своюграніцу) безлічі X глобальний максимум в точці, якщо для будь-якої точки, що належить, виконується умова

Функція досягає на замкнутому безлічі X локального максимуму в точці, якщо існує деякої околиця цієї точки, для кожної точки якої виконується умова

Визначення локального та глобального мінімуму формулюються аналогічно.

На рис. 2.3 -точка локального мінімуму; - глобального мінімуму; а, - точки локального максимуму; (3 - точка глобального максимуму.

Мал. 2.3

Необхідні умови екстремуму (максимуму, мінімуму). Якщо в точці функція має екстремум, то приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю в цій точці:

Достатні умови існування екстремуму тут не формулюються. Про самому існуванні точок глобального мінімуму і максимуму говорить наступна теорема.

Теорема Вейєрштрасса. Якщо функція визначена і неперервна в обмеженій замкненій області X, то вона досягає в ній своїх точних верхньої і нижньої меж (глобальний максимум і глобальний мінімум).

Наведені твердження щодо опуклих множин і функцій, умов існування екстремуму дозволяють робити висновки про властивості тих чи інших завдань оптимального програмування, що є основою розробки і застосування математичних методів їх вирішення. Наприклад, симплекс-метод розв'язання задачі лінійного програмування використовує, зокрема, "властивість опуклості" цієї задачі: не існує локального екстремуму, відмінного від глобального.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Лінійні векторні простори
Множинна лінійна регресія в скалярною і векторної формах
Переваги векторного способу опису графіки над растровим
Векторна графіка
Проста лінійна регресія
Лінійні перевезення
Векторний графічний редактор
Використання методу простої лінійної регресії в оцінці просторового порога тактильної чутливості
Метод лінійного програмування, симплекс-метод і лінійні оцінки
Вище керівництво, лінійний керівник - експерти
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук