Навігація
Головна
Моделі прогнозування економічних процесівМАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ І МОДЕЛІ АНАЛІЗУ І ПРОГНОЗУВАННЯ ЕКОНОМІЧНИХ...Моделі прогнозування в аналізі маркетингових процесівПрогнозування економічної динаміки на основі трендових моделейПрогнозування економічної динаміки на основі трендових моделей
Трендові моделі на основі кривих ростуПриклад прогнозування з використанням моделей трендівМоделі трендівМетод DGM (заснований на моделі дивідендного росту)Тренди і тренд-сезонні моделі
 
Головна arrow Економіка arrow Економіко-математичні методи і прикладні моделі
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

МОДЕЛІ ПРОГНОЗУВАННЯ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ

- Трояндова моделі на основі кривих росту

- Оцінка адекватності і точності трендових моделей

- Прогнозування економічної динаміки на основі трендових моделей

- Адаптивні моделі прогнозування

У процесі засвоєння навчального матеріалу глави 5 студенти повинні:

знати

• основні класи моделей прогнозування на основі тимчасових економічних рядів;

• найбільш поширені види трендових моделей прогнозування;

• методи оцінки якості моделей та прогнозування економічної динаміки на їх основі;

• суть адаптивних методів прогнозування;

вміти

• вибирати модель, найбільш відповідну даному тимчасовому ряду;

• будувати моделі тимчасових економічних рядів, оцінювати їх адекватність і точність;

• знаходити точковий та інтервальний прогнози розглянутого економ і чес кого процесу;

володіти

• методами вибору, побудови та оцінки якості моделей прогнозування економічної динаміки;

• математико-статистичним інструментарієм прогнозування економічних процесів з використанням трендових і адаптивних моделей.

Трендові моделі на основі кривих росту

Основна мета створення трендових моделей економічної динаміки - на їх основі зробити прогноз про розвиток досліджуваного процесу на майбутній проміжок часу. Прогнозування на основі часового ряду економічних показників відноситься до одновимірним методам прогнозування, що базуються на екстраполяції, тобто на продовження на майбутнє тенденції, що спостерігалася в минулому. При такому підході передбачається, що прогнозований показник формується під впливом великої кількості факторів, виділити які або неможливо, або щодо яких відсутня інформація. У цьому випадку хід зміни даного показника пов'язують не з факторами, а з плином часу, що проявляється в утворенні одновимірних часових рядів.

Розглянемо метод екстраполяції на основі так званих кривих зростання економічної динаміки.

Використання методу екстраполяції на основі кривих росту для прогнозування базується на двох припущеннях:

- Часовий ряд економічного показника дійсно має тренд, тобто переважну тенденцію;

- Загальні умови, що визначали розвиток показника в минулому, залишаться без істотних змін протягом періоду попередження.

В даний час налічується велика кількість типів кривих росту для економічних процесів. Щоб правильно підібрати найкращу криву зростання для моделювання і прогнозування економічного явища, необхідно знати особливості кожного виду кривих. Найбільш часто в економіці використовуються поліноміальні, експоненціальні і 5-образні криві зростання. Найпростіші поліноміальні криві зростання мають вигляд:

(поліном першого ступеня)

(поліном другого ступеня)

(поліном третього ступеня)

і т.д.

Параметр а 1 називають лінійним приростом, параметр α • 2 - прискоренням зростання, параметр a 3 - зміною прискорення зростання.

Для полінома першого ступеня характерний постійний закон зростання. Якщо розрахувати перші прирости за формулою u t = y t -y t-1, t = 2, 3, ..., п, то вони будуть постійною величиною і рівні а 1.

Якщо перші прирости розрахувати для полінома другого ступеня, то вони будуть мати лінійну залежність від часу і ряд з перших приростів u 2, u 3, ... на графіку буде представлений прямою лінією. Другі прирости і t (2) = і t - - і t-1 для полінома другого ступеня будуть постійні.

Для полінома третього ступеня перший прирости будуть поліномами другого ступеня, другі прирости будуть лінійною функцією часу, а треті прирости, що розраховуються за формулою, будуть постійною величиною.

На основі сказаного можна відзначити наступні властивості поліноміальних кривих зростання:

- Від полінома високого порядку можна шляхом розрахунку послідовних різниць (приростів) перейти до полиному нижчого порядку;

- Значення приростів для поліномів будь-якого порядку не залежать від значень самої функції

Таким чином, поліноміальні криві зростання можна використовувати для апроксимації (наближення) і прогнозування економічних процесів, в яких подальший розвиток не залежить від досягнутого рівня.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

На відміну від використання поліноміальних кривих використання експоненційних кривих зростання передбачає, що подальший розвиток залежить від досягнутого рівня, наприклад, приріст залежить від значення функції. В економіці найчастіше застосовуються два різновиди експоненційних (показових) кривих: проста експонента і модифікована експонента.

Проста експонента представляється у вигляді функції

(5.1)

де а і b; - Позитивні числа, при цьому якщо b більше одиниці, то функція зростає із зростанням часу t, якщо b менше одиниці - функція спадає.

Можна помітити, що ордината даної функції змінюється з постійним темпом приросту. Якщо взяти відношення приросту до самої ординате, воно буде постійною величиною:

Прологаріфміруем вираз для даної функції по будь-якої підстави:

Звідси можна помітити, що логарифми ординат простий експоненти лінійно залежать від часу.

Модифікована експонента має вигляд

(5.2)

де постійні величини: а менше нуля, b позитивна і менше одиниці, а константа k носить назву асимптоти цієї функції, тобто значення функції необмежено наближаються (знизу) до величини k. Можуть бути інші варіанти модифікованої експоненти, але на практиці найбільш часто зустрічається зазначена вище функція.

Якщо прологаріфміровать перший прирости даної функції, то вийде функція, лінійно залежить від часу, а якщо взяти відношення двох послідовних приростів, то воно буде постійною величиною:

В економіці досить поширені процеси, які спочатку ростуть повільно, потім прискорюються, а потім знову сповільнюють свій ріст, прагнучи до якого-небудь межі. Як приклад можна привести процес введення деякого об'єкта в промислову експлуатацію, процес зміни попиту на товари, що володіють здатністю досягати деякого рівня насичення, і ін. Для моделювання таких процесів використовуються так звані S-образні криві зростання, серед яких виділяють криву Гомперца та логістичну криву .

Крива Гомперца має аналітичний вираз

(5.3)

де а, b - позитивні параметри, причому b менше одиниці; параметр k - асимптота функції.

У кривої Гомперца виділяються чотири ділянки: на першому - приріст функції незначний, на другому - приріст збільшується, на третьому ділянці приріст приблизно постійний, на четвертому - відбувається уповільнення темпів приросту, і функція необмежено наближається до значення k. У результаті конфігурація кривої нагадує латинську букву S.

Логарифм даної функції є експоненційної кривої; логарифм відношення перший приросту до самої ординате функції - лінійна функція часу.

На підставі кривої Гомперца описується, наприклад, динаміка показників рівня життя; модифікації цієї кривої використовуються в демографії для моделювання показників смертності і т.д.

Логістична крива, або крива Перла - Ріда, - зростаюча функція, найбільш часто виражається в вигляді

(5.4)

інші види цієї кривої:

У цих виразах а і b - позитивні параметри; k - граничне значення функції при нескінченному зростанні часу.

Якщо взяти похідну даної функції, то можна побачити, що швидкість зростання логістичної кривої в кожен момент часу пропорційна досягнутому рівню функції і різниці між граничним значенням k і досягнутим рівнем. Логарифм відношення перший приросту функції до квадрату її значення (ординати) є лінійна функція від часу.

Конфігурація графіка логістичної кривої близька графіком кривої Гомперца, але на відміну від останньої логістична крива має точку симетрії, збігається з точкою перегину.

Розглянемо проблему попереднього вибору виду кривої зростання для конкретного часового ряду. Припустимо, є часовий ряд. Для вибору виду поліноміальної кривої зростання найбільш поширеним методом є метод кінцевих різниць (метод Тінтнера). Цей метод може бути використаний для попереднього вибору поліноміальної кривої, якщо, по-перше, рівні тимчасового ряду складаються тільки з двох компонент: тренд і випадкова компонента, і по-друге, тренд є досить гладким, щоб його можна було апроксимувати поліномом деякій мірі.

На першому етапі цього методу обчислюються різниці (прирости) до k -го порядку включно:

Для апроксимації економічних процесів зазвичай обчислюють кінцеві різниці до четвертого порядку.

Потім для вихідного ряду і для кожного різницевого ряду обчислюються дисперсії за наступними формулами: для вихідного ряду

для різницевого ряду к-го порядку (k = 1, 2, ...)

; - Биноминальную коефіцієнт.

Проводиться порівняння відхилень кожної наступної дисперсії від попередньої, тобто обчислюються величини

і якщо для будь-якого k ця величина не перевершує деякої наперед заданої позитивної величини, тобто дисперсії одного порядку, то ступінь аппроксимирующего полінома повинна бути дорівнює k - 1.

Більш універсальним методом попереднього вибору кривих зростання, що дозволяє вибрати криву з широкого класу кривих зростання, є метод характеристик приростів. Він заснований на використанні окремих характерних властивостей кривих, розглянутих вище. При цьому методі вихідний часовий ряд попередньо згладжується методом простої ковзної середньої. Наприклад, для інтервалу згладжування т = 3 згладжені рівні розраховуються за формулою

причому, щоб не втратити перший і останній рівні, їх згладжують за формулами

Потім обчислюються першими середні прирости

другий середні прирости

а також ряд похідних величин, пов'язаних з обчисленими середніми приростами і згладженими рівнями ряду:

У відповідності з характером зміни середніх приростів і похідних показників вибирається вид кривої зростання для вихідного часового ряду, при цьому використовується табл. 5.1.

Таблиця 5.1

Показник

Характер зміни показника у часі

Вид кривої зростання

Перший середній приріст

Приблизно однакові

Поліном першого порядку (пряма)

Те ж

Змінюються лінійно

Поліном другого порядку (парабола)

Другий середній приріст

Змінюються лінійно

Поліном третього порядку (кубічна парабола)

Приблизно однакові

Проста експонента

Змінюються лінійно

Модифікована експонента

Змінюються лінійно

Крива Гомперца

Змінюються лінійно

Логістична крива

На практиці при попередньому виборі відбирають зазвичай дві-три криві зростання для подальшого дослідження та побудови трендової моделі даного часового ряду.

Розглянемо методи визначення параметрів відібраних кривих зростання. Параметри поліноміальних кривих оцінюються, як правило, методом найменших квадратів, суть якого полягає в тому, щоб сума квадратів відхилень фактичних рівнів ряду від відповідних вирівняних по кривій росту значень була найменшою. Цей метод приводить до системи так званих нормальних рівнянь для визначення невідомих параметрів відібраних кривих.

Для полінома першого ступеня

система нормальних рівнянь має вигляд

(5.5)

де знак підсумовування поширюється на всі моменти спостереження (всі рівні) вихідного часового ряду. Аналогічна система для полінома другого ступеня

має вигляд

(5.6)

Для полінома третього ступеня

система нормальних рівнянь записується таким чином:

(5.7)

Параметри експоненційних і S-образних кривих знаходяться більш складними методами. Для простої експоненти

попередньо логаріфміруют вираз по деякому підставі (наприклад, десятичному або натуральному):

тобто для логарифма функції отримують лінійний вираз, а потім для невідомих параметрів log а і log b складають на основі методу найменших квадратів систему нормальних рівнянь, аналогічну системі для полінома першого ступеня. Вирішуючи цю систему, знаходять логарифми параметрів, а потім і самі параметри моделі.

При визначенні параметрів кривих зростання, мають асимптоти (модифікована експонента, крива Гомперца, логістична крива), розрізняють два випадки. Якщо значення асимптоти k відомо заздалегідь, то шляхом нескладної модифікації формули і подальшого логарифмирования визначення параметрів зводять до розв'язання системи нормальних рівнянь, невідомими якої є логарифми параметрів кривої.

Якщо значення асимптоти заздалегідь невідомо, то для знаходження параметрів зазначених вище кривих зростання використовуються наближені методи: метод трьох точок, метод трьох сум та ін.

Таким чином, при моделюванні економічної динаміки, заданої тимчасовим поруч, шляхом згладжування вихідного ряду, визначення наявності тренда, відбору однієї або декількох кривих росту і визначення їх параметрів у разі наявності тренда отримують одну або декілька трендових моделей для вихідного часового ряду. Постає питання, наскільки ці моделі близькі до економічної реальності, відображеної в часі ряду, наскільки обгрунтовано застосування цих моделей для аналізу та прогнозування досліджуваного економічного явища. Це питання розглядається в наступному параграфі.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Моделі прогнозування економічних процесів
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ І МОДЕЛІ АНАЛІЗУ І ПРОГНОЗУВАННЯ ЕКОНОМІЧНИХ ПОКАЗНИКІВ
Моделі прогнозування в аналізі маркетингових процесів
Прогнозування економічної динаміки на основі трендових моделей
Прогнозування економічної динаміки на основі трендових моделей
Трендові моделі на основі кривих росту
Приклад прогнозування з використанням моделей трендів
Моделі трендів
Метод DGM (заснований на моделі дивідендного росту)
Тренди і тренд-сезонні моделі
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук