Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економіко-математичні методи і прикладні моделі
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Завдання економічного аналізу, які вирішуються на основі регресійних економетричних моделей

Питання побудови та використання економетричних моделей розглянемо більш докладно на прикладі лінійних регресійних моделей як у випадку парної регресії (однофакторний модель), так і у випадку множинної регресії (багатофакторна модель); в останньому випадку будемо розглядати моделі множинної регресії на прикладі лінійної двофакторної моделі.

Основу математичного апарату для розглянутих моделей складають такі розділи математичної статистики, як кореляційний і регресійний аналіз. Для визначеності ендогенні змінні в цих моделях будемо називати результативними ознаками і позначати їх, як і раніше, буквою у, а екзогенні змінні будемо називати факторними ознаками і позначати їх буквою х. Методи кореляційно-регресійного аналізу дозволяють вирішувати три основні завдання: визначення форми зв'язку між результативним і факторними ознаками, вимірювання тісноти зв'язку між ними, аналіз впливу окремих факторних ознак. Розглянемо рішення цих завдань для зазначених видів економетричних моделей; при цьому для наочності будемо ілюструвати висновки на конкретному прикладі економічного аналізу.

У табл. 7.1 представлені статистичні дані про витрати на харчування, душовому доході і розмір сім'ї для дев'яти груп сімей. Потрібно проаналізувати залежність величини витрат на харчування від величини душового доходу та розміру сім'ї. Відповідно до цього перший показник буде результативним ознакою, який позначимо у, а два інших будуть факторними ознаками, або просто факторами, і ми їх позначимо відповідно х 1 і х 2.

Таблиця 7.1

Номер групи

Витрата на харчування (у)

Душовий дохід (x 1)

Розмір сімей (x 2)

1

433

628

1,5

2

616

Тисячу п'ятсот сімдесят сім

2,1

3

900

2659

2,7

4

1113

+3701

3,2

5

1305

4796

3,4

6

1 488

5926

3,6

7

1645

7281

3,7

8

1914

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

+9350

4,0

9

2411

18807

3,7

Розглянемо спочатку однофакторном лінійну модель залежності витрат на харчування (у) від величини душового доходу сімей (). Вона виражається лінійною функцією виду

(7.1)

параметри якої а0 і а, знаходяться в результаті рішення системи нормальних рівнянь, яка в свою чергу формується, як уже зазначалося у розділі 5, на основі методу найменших квадратів. Система нормальних рівнянь для розглянутого випадку аналогічна системі (5.5) і має вигляд

(7.2)

де підсумовування проводиться по всіх п групам. Використовуючи дані табл. 7.1, отримаємо систему рівнянь:

рішенням якої є значення Таким чином, модель має вигляд

(7.3)

Рівняння (7.3) називається рівнянням регресії, коефіцієнт - коефіцієнтом регресії. Напрямок зв'язку між у і визначає знак коефіцієнта регресії; в нашому випадку даний зв'язок є прямою. Тіснота зв'язку з цим визначається коефіцієнтом кореляції (парним):

(7.4)

у цій формулі - середня квадратична помилка вибірки у з табл. 7.1:

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

де - середня арифметична значень у,

- Середня квадратична помилка рівняння (7.3) для числа ступенів свободи п - 2:

де - відповідне значення витрат на харчування, обчислене за моделлю (7.3).

У цих формулах, як і раніше, підсумовування ведеться по всіх групах від 1 до п.

Чим ближче значення коефіцієнта кореляції до одиниці, тим тісніше кореляційний зв'язок. У нашому прикладі,, отже,

Отримане значення свідчить, що зв'язок між витратами на харчування і душовим доходом дуже тісна.

Величина називається коефіцієнтом детермінації і показує частку зміни (варіації) результативної ознаки під дією факторного ознаки. У нашому випадку; це означає, що фактором душового доходу можна пояснити майже 86% зміни витрат на харчування.

Коефіцієнти регресії (у розглянутому випадку це коефіцієнт) не можна використовувати для безпосередньої оцінки впливу факторів на результативний ознака через розходження одиниць виміру досліджуваних показників. Для цих цілей обчислюються коефіцієнти еластичності і бета-коефіцієнт.

Коефіцієнт еластичності для розглянутої моделі парної регресії розраховується за формулою

(7.5)

Він показує, на скільки відсотків змінюється результативний ознака у при зміні факторного ознаки на один відсоток.

У нашому прикладі коефіцієнт регресії дорівнює 0,11, а середні арифметичні і дорівнюють відповідно 6080,6 і 1313,9.

Тому коефіцієнт еластичності витрат на харчування в залежності від душового доходу буде дорівнює

Це означає, що при збільшенні душового доходу на 1% витрати на харчування збільшаться на 0,51%.

Коефіцієнт бета в нашому випадку задається формулою

(7.6)

де і - середні квадратичні помилки вибірки величин і у з табл. 7.1 відповідно.

Величина вже була розрахована раніше і дорівнює 454070, тому величина дорівнює 673,8; аналогічні розрахунки дають значення величини, рівне 4242,0. Бета-коефіцієнт показує, на яку частину величини свого середнього квадратичного відхилення зміниться в середньому значення результативної ознаки при зміні факторного ознаки на величину його середньоквадратичного відхилення.

У нашому випадку отримуємо ось значення бета-коефіцієнта:

тобто збільшення душового доходу на величину середньоквадратичного відхилення цього показника призведе до збільшення середнього значення витрат на харчування на 0,69 середньоквадратичного відхилення цих витрат.

Розглянемо тепер двухфакторную лінійну модель залежності витрат на харчування (у) від величини душового доходу сімей () і розміру сімей (). Як вже зазначено вище, множинний (багатофакторний) корреляціоннорегрессіонний аналіз вирішує три завдання: визначає форму зв'язку результативної ознаки з факторними, виявляє тісноту цього зв'язку і встановлює вплив окремих факторів. У нашому випадку ця модель має вигляд

(7.7)

Параметри моделі, і знаходяться шляхом рішення системи нормальних рівнянь:

(7.8)

Використовуючи дані табл. 7.1, ползшім систему нормальних рівнянь у вигляді

Вирішуючи цю систему (наприклад, методом Гаусса), отримаємо:;;, так що модель (7.7)

має вигляд

Для визначення тісноти зв'язку попередньо обчислюються парні коефіцієнти кореляції Наприклад,

(7.9)

де риса над символами означає середню арифметичну, а і - середні квадратичні помилки відповідних вибірок з табл. 7.1:

Аналогічний вигляд мають формули для і

Після цього обчислюють коефіцієнт множинної кореляції

(7.10)

який коливається в межах від 0 до 1; чим ближче він до 1, тим більшою мірою враховані фактори, що впливають на результативну ознаку.

У нашому прикладі розрахунки дають таке значення коефіцієнта множинної кореляції:, що вище значення коефіцієнта кореляції у разі одно- факторної моделі. Таким чином, ступінь тісноти зв'язку витрат на харчування з факторами душового доходу та розміру сімей є дуже високою.

Величина називається сукупним коефіцієнтом детермінації і показує частку варіації результативної ознаки під впливом досліджуваних факторних ознак. У нашому прикладі; це означає, що спільне вплив душового доходу та розміру сімей пояснює майже 97% зміни витрат на харчування.

Завдання аналізу тісноти зв'язку між результативним і одним з факторних ознак при незмінних значеннях інших факторів вирішується в багатофакторних моделях за допомогою приватних коефіцієнтів кореляції. Так, приватний коефіцієнт кореляції між результативною ознакою у і факторингу ознакою при незмінному значенні факторного ознаки х 2 розраховується за формулою

(7.11)

де використовуються парні коефіцієнти кореляції, що розраховуються за формулами, аналогічним (7.9).

Аналогічна формула має місце для приватного коефіцієнта кореляції між результативною ознакою у і факторингу ознакою при незмінному значенні факторного ознаки.

Для розглянутого прикладу приватні коефіцієнти кореляції витрат на харчування від душового доходу та розміру сімей складають

тобто тіснота зв'язку між витратами на харчування і одним з досліджуваних факторів при незмінному значенні іншого є досить значною.

Якщо приватні коефіцієнти кореляції звести в квадрат, то отримаємо приватні коефіцієнти детермінації, що показують частку варіації результативної ознаки під дією одного з факторів при незмінному значенні іншого чинника. У нашій задачі

отже, впливом душового доходу при незмінному розмірі сім'ї пояснюється майже 86% зміни витрат на харчування, а зміна розміру сім'ї при незмінному душовому доході пояснює більш 72% зміни витрат па харчування.

Вплив окремих чинників в багатофакторних моделях може бути охарактеризоване за допомогою приватних коефіцієнтів еластичності, які в разі лінійної двофакторної моделі (7.7) розраховуються за формулами

(7.12)

Чорта над символом, як і раніше, означає середню арифметичну. Приватні коефіцієнти еластичності показують, на скільки відсотків зміниться результативний ознака, якщо значення одного з факторних ознак зміниться на 1%, а значення іншого факторного ознаки залишиться незмінним.

У розглянутому прикладі = 0,072; = 344,9; = 1313,9; = 6080,6; = 3,1, отже, за формулами (7.12) отримаємо:

Це означає, що при збільшенні душового доходу на 1% і незмінному розмірі сім'ї витрати на харчування збільшаться на 0,333%, а збільшення (умовне) на 1% розміру сім'ї при незмінному душовому доході призведе до зростанню витрат на харчування на 0,790%.

Певні висновки про вплив окремих факторів на результативний ознака у разі лінійної моделі множинної регресії можна зробити на основі розрахунку приватних бета-коефіцієнтів, які для двофакторної моделі (7.7) задаються формулами

(7.13)

Приватні бігу-коефіцієнти показують, на яку частку свого середньоквадратичного відхилення зміниться в середньому результативний ознака за зміни одного з факторних ознак на величину його середньоквадратичного відхилення і незмінному значенні інших факторів.

У розглянутій задачі = 0,072; = 344,9; = 673,8; = 4242,0; = 0,79, так що розрахунки за формулами (7.13) дають наступні значення приватних бета-коефіцієнтів:

Це означає, що при незмінному складі сімей збільшення на величину свого середньоквадратичного відхилення розміру душового доходу призведе до збільшення середнього значення витрат на харчування на 0,45 їх середньоквадратичного відхилення, а при незмінному душовому доході збільшення розміру сімей на величину його середньоквадратичного відхилення призведе до зростанню витрат на харчування лише па 0,40 їх середньоквадратичного відхилення.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук