Навігація
Головна
Функції купівельного попитуОсобливості функції споживчого попитуМоделювання та прогнозування купівельного попитуКупівельний попит і методика його прогнозуванняПопит: моделі купівельної поведінкиМоделювання та прогнозування купівельного попитуФункції ціниПопит і його функція.Побудова функції попиту на основі гіпотез кількісного виміру...Емпіричні перевірки функції попиту на гроші
 
Головна arrow Економіка arrow Економіко-математичні методи і прикладні моделі
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Функції купівельного попиту

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Функціями купівельного попиту (далі будемо називати їх просто функціями попиту) називаються функції, що відбивають залежність обсягу попиту на окремі товари та послуги від комплексу факторів, що впливають на нього. Такі функції застосовуються в аналітичних моделях попиту і споживання і будуються на основі інформації про структуру доходів населення, ціни на товари, склад сімей та інших факторах. Розглянемо побудову функцій попиту залежно від двох факторів - доходу і цін.

Нехай в моделі (8.1) ціни і дохід розглядаються як мінливі параметри. Змінну доходу будемо позначати Z. Тоді рішенням оптимізаційної задачі (8.1) буде векторна функція, компонентами якої є функції попиту на певний товар від цін і доходу:

Розглянемо окремий випадок, коли вектор цін залишається незмінним, а змінюється тільки дохід. Для двох товарів цей випадок представлений на рис. 8.3. Якщо по осі абсцис відкласти кількість одиниць товару, яке можна придбати на наявний дохід Z (точка В), а по осі ординат - те ж саме для товара (точка А), то пряма лінія АВ, звана бюджетною лінією, показує будь-яку комбінацію кількостей цих двох товарів, яку можна купити за суму грошей Z. При збільшенні доходу бюджетні лінії переміщаються паралельно самим собі, віддаляючись від початку координат. Разом з ними переміщаються відповідні криві байдужості. Точками оптимуму попиту спожива-

Мал. 8.3

лей для відповідних розмірів доходу будуть в даному випадку точки дотику М 1, М 2, М 3. При нульовому доході попит на обидва товари нульовий. Крива, що з'єднує точки О, М 1, М 2, М 3, є графічним відображенням векторної функції попиту від доходу при заданому векторі цін.

Приклад 8.1. Розглянемо процес аналітичного побудови функцій попиту від доходу на основі моделі (8.1) на конкретному умовному прикладі. Нехай для двох товарів цільова функція споживання має вигляд; вектор цін дорівнює Р = (3; 6); величина доходу дорівнює Z. Так як в даній випадку граничні корисності мають вигляд:

то необхідні умови оптимуму (8.2) дають наступну систему рівнянь (λ - множник Лагранжа):

Після підстановки першого рівняння в друге отримаємо. Висловивши з третього рівняння і підставивши в останню рівність, матимемо, звідки можна отримати, що. Підставивши цей результат в третє рівняння, отримаємо. Таким чином, для даного прикладу функції попиту на товари y 1, і у 2 від доходу Z мають вигляд:

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Однофакторні функції попиту від доходу широко застосовуються при аналізі купівельного попиту. Відповідні цим функціям криві називаються кривими Енгеля (по імені вивчав їх німецького економіста). Форми цих кривих для різних товарів можуть бути різні. Якщо попит на даний товар зростає приблизно пропорційно доходу, то функція буде лінійною, як у розглянутому вище прикладі. Такий характер має, наприклад, попит на одяг, фрукти та ін. Крива Енгеля для цього випадку представлена на рис. 8.4, а.

Мал. 8.4

Якщо у міру зростання доходу попит на дану групу товарів зростає все більш високими темпами, то крива Енгеля буде опуклою (рис. 8.4, б). Так поводиться попит на предмети розкоші.

Якщо зростання значень попиту, починаючи з певного моменту, у міру насичення попиту відстає від зростання доходу, то крива Енгеля має вигляд увігнутою кривою (рис. 8.4, в). Наприклад, такий характер має попит на товари першої необхідності.

Той же принцип розмежування груп товарів за типами функцій попиту від доходу використовував шведський економіст Л. Торнквіст, який запропонував спеціальні види функції попиту (функції Торнквиста) для трьох груп товарів: першої необхідності, другої необхідності, предметів розкоші.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Функція Торнквиста для товарів першої необхідності має вигляд

і відображає той факт, що зростання попиту на ці першочергові товари із зростанням доходу поступово сповільнюється і має межу (крива попиту асимптотично наближається до прямої лінії); графік функції є увігнутою кривою I па рис. 8.5.

Функція попиту за Торнквістом на товари другої необхідності виражається формулою

Ця функція також має межу, але більш високого рівня; при цьому попит па цю групу товарів з'являється лише після того, як дохід досягне величини; графік функції - увігнута крива II на рис. 8.5.

Нарешті, функція Торнквиста для предметів розкоші має вигляд

Ця функція не має границі. Попит на ці товари виникає тільки після того, як дохід перевищить величину b 3 і далі швидко зростає, так що графік функції - опукла крива III на рис. 8.5.

Крім зазначених функцій, в аналітичних моделях купівельного попиту використовуються також інші функції: статечні, S -образні і т.д.

Важливу роль в аналізі зміни попиту при невеликих змінах доходу грають коефіцієнти еластичності. Коефіцієнт еластичності попиту від доходу показує відносну зміну попиту при зміні доходу (за інших що не змінюються факторах). Обчислюється за формулою

(8.3)

де:

- Коефіцієнт еластичності для i -го товару (групи товарів) по доходу Z;

- Попит на цей товар, що є функцією доходу:

Наприклад, якщо попит на товар описується функцією Торнквиста для товарів першої необхідності, то формула (8.3) дасть такий вираз для коефіцієнта еластичності попиту від доходу:

У багатьох економіко-математичних моделях еластичність функцій відносять до відсотку приросту незалежної змінної. Таким чином, коефіцієнт еластичності попиту від доходу показує, на скільки відсотків зміниться попит на товар при зміні доходу на 1%.

Коефіцієнти еластичності попиту від доходу різні за величиною для різних товарів, аж до негативних значень, коли із зростанням доходів споживання зменшується. Прийнято виділяти чотири групи товарів залежно від коефіцієнта еластичності попиту на них від доходу:

- Малоцінні товари ();

- Товари з малою еластичністю ();

- Товари з середньою еластичністю (!!! £ / близькі до одиниці);

- Товари з високою еластичністю ().

До малоцінних товарам, тобто товарам з негативною еластичністю попиту від доходу, відносяться такі, як хліб, низькосортні товари. За результатами обстежень, коефіцієнти еластичності для основних продуктів харчування знаходяться в інтервалі від 0,4 до 0,8, по одягу, тканинам, взуття - в інтервалі від 1,1 до 1,3 і т.д. У міру збільшення доходу попит переміщається з товарів першої та другої груп на товари третьої і четвертої груп, при цьому споживання товарів першої групи за абсолютними розмірами скорочується.

Перейдемо до розгляду та аналізу функцій купівельного попиту від цін на товари. З моделі поведінки споживачів (8.1) випливає, що попит на кожен товар в загальному випадку залежить від цін на всі товари (вектора Р), проте побудувати функції загального вигляду дуже складно. Тому в практичних дослідженнях обмежуються побудовою та аналізом функцій попиту для окремих товарів залежно від зміни цін на цей же товар або групу взаємозамінних товарів:

Розглянемо питання побудови та використання в задачах оптимізації функцій купівельного попиту від ціни при незмінній доході для конкретної групи товарів більш докладно. Основним критерієм функціонування підприємств і фірм, що виробляють той чи інший товар, є прибуток. Сформулюємо економіко-математичну модель на максимум прибутку при зазначеній формі залежності попиту від ціни. Кінцеву прибуток П можна представити у вигляді

(8.4)

де - сукупні витрати на виробництво і реалізацію продукції; при цьому передбачається, що обсяг продукції, що випускається цілком збігається з обсягом попиту у, тобто відсутні дефіцит і затоварення продукції.

Якщо відомий вид функції попиту від ціни, то, підставивши цю функцію в (8.4), отримаємо:

(8.5)

Тоді оптимізаційна завдання ставиться таким чином: визначити значення ціни р = р 0, при якому прибуток досягає свого максимуму maxП (р). У такій постановці це завдання вирішується класичними методами оптимізації. Вид функцій φ (ρ) і С (φ ((p), а також їх параметри можуть бути визначені методами математичної статистики та результат обробки відповідних статистичних даних.

Розглянемо випадок, коли функція витрат С (у) є лінійною і має вигляд

(8.6)

Тут h є постійна величина витрат, яка не залежить від обсягу випуску попиту продукції, тобто h - це накладні витрати; величина v задає питомі витрати на одиницю продукції. Будемо вважати, що залежність попиту від ціни також є лінійною:

(8.7)

де k характеризує максимально можливий обсяг попиту, а Е являє собою деяку умовну еластичність попиту від ціни; очевидно, що k> 0, а Е <0.

Підставляючи (8.6) і (8.7) у вираз для прибутку (8.5), матимемо:

(8.8)

З урахуванням того що Е <0, можна зробити висновок про те, що максимум прибутку досягається при

(8.9)

і цей максимум дорівнює

(8.10)

Графік функції (8.8) являє собою параболу, гілки якої спрямовані вниз. З урахуванням вимоги рентабельності випуску продукції шах П (р)> 0 цей графік представлений на рис. 8.6.

Умовою того, що ця рентабельність може бути досягнута, є умова позитивності дискримінанту квадратного тричлена від р (8.8):

Мал. 8.6

З цієї нерівності випливає, що

внаслідок чого умова рентабельності можна записати у вигляді

(8.11)

З урахуванням (8.9) оптимальний обсяг випуску продукції дорівнюватиме

(8.12)

відповідно до цього вимога рентабельності (8.11) може бути записано у вигляді

(8.13)

Як видно з графіка функції П (р) на рис. 8.6, існують дві "мертві точки" і, в яких прибуток дорівнює нулю. Рішення відповідного рівняння дає для цих точок:

(8.14)

Таким чином, якщо встановлення оптимальної ціпи утруднено, то ціна в будь-якому випадку повинна лежати в інтервалі 1, р 2), цим забезпечується позитивність величини прибутку від виробництва і реалізації даного виду товару.

Приклад 8.2. Розглянемо числовий приклад з області маркетингу книговидавництва.

Нехай залежність обсягу попиту на книжкову продукцію від ціни має вигляд (8.7), а функція витрат представлена у вигляді (8.6). Задамо наступні умовні значення величин, що беруть участь в цих залежностях:

- Накладні витрати на виробництво і реалізацію книжкової продукції h = 36 тис. Руб .;

- Питомі витрати на одиницю (один екземпляр) цієї продукції V = 20 руб. / Екз .;

- Максимально можливий обсяг тиражу k = 4 000 прим .;

- Умовна еластичність попиту від ціни Е = -40 екз. / Руб.

Тоді вимога до обсягу тиражу для забезпечення рентабельності визначається умовою (8.13):

Оптимальна ціна задається формулою (8.9):

Найбільш оптимальний обсяг тиражу, що забезпечує максимум прибутку, відповідно до формули (8.12) дорівнює

Інтервал для ціни, в межах якого забезпечується рентабельність даного видання, визначається виразом (8.14):

Таким чином, ціна повинна лежати в межах від 33,5 до 86,5 руб. за один примірник; оптимальна ціна дорівнює 60 руб. / екз.

Максимум прибутку, що досягається при цьому, розраховується відповідно до формули (8.10) і дорівнює

Подання залежності попиту від ціни у вигляді лінійної функції (8.7) є досить спрощеним, оскільки показник еластичності попиту від ціни тут приймається рівним постійної величиною Є. Болес відповідає дійсності припущення про залежність коефіцієнта еластичності попиту від ціни від величини самої ціни. Проведені конкретні дослідження, що враховують цю залежність, дозволяють з великою часткою ймовірності прийняти залежність попиту у від ціни р у вигляді однієї з S -образних убуваючих кривих, а саме у вигляді логістичної кривої (функція Перла - Ріда; див. Параграф 5.1):

(8.15)

Графік цієї функції представлений на рис. 8.7; він має точку симетрії, збігається з точкою перегину функції (8.15).

Тоді, припускаючи залежність витрат від попиту З (у) як і раніше лінійної у вигляді функції (8.6), отримаємо вираз для прибутку:

Мал. 8.7

(8.16)

Обчислюючи похідну цієї функції по змінній р і прирівнюючи її нулю, одержимо рівняння для знаходження критичних точок:

Розділивши обидві частини цього рівняння на, одержимо:

(8.17)

Рівняння (8.17) має єдиний корінь р 0, так як криві функцій і мають тільки одну точку перетину (рис. 8.8). Трансцендентне рівняння (8.17) можна вирішити різними чисельними методами обчислювальної математики. Рішення цього рівняння можна оцінити:

(8.18)

Легко показати, що друга похідна функції прибутку від ціни (8.16) в точці негативна; звідси

Мал. 8.8

випливає, що точка дійсно є точкою максимуму цієї функції.

Зі співвідношення (8.18) можна отримати інтервал для оптимального обсягу випуску товару:

(8.19)

Позитивні значення параметрів а і b логістичної кривої (8.15), якщо значення асимптоти k відомо, визначаються шляхом попереднього перетворення і логарифмування, після чого на основі методу найменших квадратів складається і вирішується система нормальних рівнянь щодо логарифмів параметрів, а потім знаходяться і самі параметри. Якщо значення величини k (максимум випуску) невідомо, то для знаходження параметрів k, а і b кривої (8.15) застосовують наближені методи: метод трьох точок, метод трьох сум та ін. Вихідні дані для проведення зазначених вище розрахунків формуються на основі статистичних спостережень за процесом виробництва та реалізації товарної продукції.

Для більшості товарів діє залежність: чим вища ціна, тим нижче попит, і навпаки. Тут також можливі різні типи залежності і, отже, різні форми кривих. У практичних завданнях вивчення попиту важливо розрізняти дійсне збільшення попиту, коли сама крива зсувається вгору і вправо (відбувається перехід з кривою I на криву II на рис. 8.9), і збільшення обсягу придбаних товарів в результаті зниження цін при незмінній сумі витрат (перехід від точки А до точки В по одній і тій же кривій I на рис. 8.9). Як вже зазначено вище, в загальному випадку попит на окремий товар при інших рівних умовах залежить від рівня цін всіх товарів. Відносна зміна об'єму попиту при зміні ціни даного товару або цін інших пов'язаних з ним товарів характеризує коефіцієнт еластичності попиту від цін. Цей коефіцієнт еластичності зручно трактувати як величину зміни попиту у відсотках при зміні ціни на 1%.

Для попиту на i -й товар щодо його власної ціни коефіцієнт еластичності обчислюється за формулою

(8.20)

Мал. 8.9

Значення коефіцієнтів еластичності попиту від цін практично завжди негативні. Однак за абсолютними значеннями цих коефіцієнтів товари можуть істотно відрізнятися один від одного. Їх можна розділити на три групи:

- Товари з нееластичним попитом відносно ціни

- Товари з середньою еластичністю попиту від ціни (близькі до -1);

- Товар з високою еластичністю попиту ().

У товарах еластичного попиту підвищення ціни на 1% призводить до зниження попиту більш ніж на 1% і, навпаки, зниження ціни на 1% призводить до зростання покупок більш ніж на 1%. Якщо підвищення ціни на 1% тягне за собою пониження попиту менш ніж на 1%, то кажуть, що цей товар нееластичного попиту.

Розглянемо вплив на попит на який-небудь товар зміни цін на інші товари. Коефіцієнт, що показує, на скільки відсотків зміниться попит на даний товар при зміні на 1% ціни на інший товар за умови, що інші ціни і доходи покупців залишаються колишніми, називається перехресним коефіцієнтом еластичності. Для попиту на i -й товар відносно ціни на j- ї товар () перехресний коефіцієнт еластичності розраховується за формулою

(8.21)

За знаком перехресних коефіцієнтів еластичності товари можна розділити на взаємозамінні і взаємодоповнюючі. Якщо, це означає, що i -й товар замінює в споживанні товару, тобто на товар i перемикається попит при збільшенні ціни на товар у. Прикладом взаємозамінних товарів можуть служити багато продуктів харчування.

Якщо, це служить ознакою того, що i -й товар в процесі споживання доповнює товару, тобто збільшення ціни на товарі призводить до зменшення попиту на товар i. Як приклад можна привести такі взаємодоповнюючі товари, як автомобілі та бензин.

В якості ілюстрації в табл. 8.1 наведені значення прямих і перехресних коефіцієнтів еластичності споживання від цін для однієї з категорій сімей. На підставі цих даних за значеннями прямих коефіцієнтів еластичності (по діагоналі таблиці) можна зробити висновок, що продукти харчування в цілому мало еластичні по відношенню до ціни; одяг, тканини і взуття мають середню еластичність; дві останні групи товарів - товари з високою еластичністю попиту по відношенню до ціни.

Таблиця 8.1

Прямі та перехресні коефіцієнти еластичності

Групи товарів

Продукти харчування

Одяг, тканини, взуття

Меблі, господарські товари

Культтовари

Продукти

живлення

-0,7296

0,0012

0,0043

0,0045

Одяг, тканини, взуття

-0,1991

-1,0000

0,0071

0,0074

Меблі,

господарські товари

-0,2458

0,0024

-1,2368

0,0092

Культтовари

-0,2494

0,0024

0,0089

-1,2542

На підставі значень внедіагональних елементів цієї таблиці можна зробити висновок, що всі промислові товари (друга, третя і четверта групи) - взаємозамінні. Те, що перехресні коефіцієнти еластичності по рядку "Продукти харчування" позитивні, означає, що підвищення цін на промислові товари збільшує попит на продукти харчування (зменшення попиту на промислові товари звільнить кошти для продуктів харчування). Негативні значення перехресних коефіцієнтів еластичності по стовпцю (графі) "Продукти харчування" означає, що при зростанні цін на продукти харчування попит на промислові товари скорочується (підвищення цін на продукти харчування зменшує розмір коштів на придбання інших товарів).

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Cхожі теми

Функції купівельного попиту
Особливості функції споживчого попиту
Моделювання та прогнозування купівельного попиту
Купівельний попит і методика його прогнозування
Попит: моделі купівельної поведінки
Моделювання та прогнозування купівельного попиту
Функції ціни
Попит і його функція.
Побудова функції попиту на основі гіпотез кількісного виміру корисності (кардиналистской концепція)
Емпіричні перевірки функції попиту на гроші
 
Дисципліни
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук