Навігація
Головна
Моделювання систем масового обслуговуванняМарківські процеси в системі масового обслуговуванняОсновні поняття теорії масового обслуговуванняПринципи моделювання екологоекономіческіх системПринципи формалізації та моделювання складних системЕлементи теорії масового обслуговуванняОсобливості моделювання системБазові принципи теорії надійності і теорії масового обслуговуванняОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМОсновні поняття математичного моделювання соціально-економічних систем
 
Головна arrow Економіка arrow Економіко-математичні методи і прикладні моделі
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Моделювання систем масового обслуговування

Багато економічні завдання пов'язані з системами масового обслуговування (СМО), тобто такими системами, в яких, з одного боку, виникають масові запити (вимоги) на виконання будь-яких послуг, з іншого - відбувається задоволення цих запитів. СМО включає в себе наступні елементи: джерело вимог, вхідний потік вимог, черга, обслуговуючі пристрої (канали обслуговування), виходить потік вимог. Дослідженням таких систем займається теорія масового обслуговування.

Методами теорії масового обслуговування можуть бути вирішені багато завдання дослідження процесів, що відбуваються в економіці. Так, в організації торгівлі ці методи дозволяють визначити оптимальну кількість торгових точок даного профілю, чисельність продавців, частоту завезення товарів та інші параметри. Іншим характерним прикладом систем масового обслуговування можуть служити склади або бази постачальницько-збутових організацій, і завдання теорії масового обслуговування в даному випадку зводиться до того, щоб встановити оптимальне співвідношення між числом надходять на базу вимог на обслуговування і числом обслуговуючих пристроїв, при якому сумарні витрати на обслуговування та збитки від простою транспорту були б мінімальними. Теорія масового обслуговування може знайти застосування і при розрахунку площі складських приміщень, при цьому складська площа розглядається як обслуговуючий пристрій, а прибуття транспортних засобів під вивантаження - як вимога. Моделі теорії масового обслуговування застосовуються також при вирішенні ряду завдань організації та нормування праці, інших соціально-економічних проблем.

Системи масового обслуговування можуть бути класифіковані за низкою ознак.

1. Залежно від умов очікування початку обслуговування розрізняють:

- СМО з втратами (відмовами);

- СМО з очікуванням.

У СМО з відмовами вимоги, що надходять в момент, коли всі канали обслуговування зайняті, отримують відмову і втрачаються. Класичним прикладом системи з відмовами є телефонна станція. Якщо абонент зайнятий, то вимога па з'єднання з ним отримує відмову і втрачається.

У СМО з очікуванням вимога, заставши всі обслуговуючі канали зайнятими, стає в чергу і чекає, поки не звільниться один з обслуговуючих каналів.

СМО, що допускають чергу, але з обмеженим числом вимог в ній, називаються системами з обмеженою довжиною черги.

СМО, що допускають чергу, але з обмеженим терміном перебування кожного вимоги в ній, називаються системами з обмеженим часом очікування.

2. По числу каналів обслуговування СМО поділяються на:

- Одноканальні •,

- Багатоканальні.

3. За місцем знаходження джерела вимог СМО поділяються на:

- Розімкнуті, коли джерело вимоги знаходиться поза системою;

- Замкнуті, коли джерело знаходиться в самій системі.

Прикладом розімкнутої системи може служити ательє з ремонту телевізорів. Тут несправні телевізори - це джерело вимог на їх обслуговування, знаходяться поза самої системи, число вимог можна вважати необмеженим. До замкнутим СМО відноситься, наприклад, верстатний ділянку, в якій верстати є джерелом несправностей, а отже, джерелом вимог на їх обслуговування, наприклад, бригадою наладчиків.

Можливі й інші ознаки класифікації СМО, наприклад з дисципліни обслуговування, однофазні та багатофазні СМО та ін.

Методи і моделі, що застосовуються в теорії масового обслуговування, можна умовно розділити на аналітичні та імітаційні.

Аналітичні методи теорії масового обслуговування дозволяють отримати характеристики системи як деякі функції параметрів її функціонування. Завдяки цьому з'являється можливість проводити якісний аналіз впливу окремих факторів на ефективність роботи СМО. Імітаційні методи засновані на моделюванні процесів масового обслуговування на ЕОМ і застосовуються, якщо неможливе застосування аналітичних моделей; ряд основних понять імітаційного моделювання розглянуто в параграфі 3.5. Далі будемо розглядати аналітичні методи моделювання СМО.

В даний час теоретично найбільш розроблені і зручні в практичних додатках методи вирішення таких завдань масового обслуговування, в яких вхідний потік вимог є найпростішим (пуассоновским).

Для найпростішого потоку частота надходження вимог в систему підкоряється закону Пуассона, тобто ймовірність надходження за час t рівно k вимог задається формулою

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

(8.43)

Найпростіший потік володіє трьома основними властивостями: ординарности, стаціонарності і відсутністю післядії.

Ординарність потоку означає практичну неможливість одночасного надходження двох і більше вимог. Наприклад, досить малої є ймовірність того, що з групи верстатів, обслуговуваних бригадою ремонтників, одночасно вийдуть з ладу відразу кілька верстатів.

Стаціонарним називається потік, для якого математичне очікування числа вимог, що надходять у систему в одиницю часу (позначимо λ), не змінюється в часі. Таким чином, імовірність надходження в систему певної кількості вимог протягом заданого проміжку часу Δί залежить від його величини і не залежить від початку його відліку на осі часу.

Відсутність післядії означає, що число вимог, що надійшли в систему до моменту ί, не визначає того, скільки вимог надійде в систему за проміжок часу від t до t + Δ t.

Наприклад, якщо на ткацькому верстаті в даний момент стався обрив нитки і він усунутий ткалею, то це не визначає, відбудеться новий обрив на даному верстаті в наступний момент чи ні, тим більше це не впливає на ймовірність виникнення обриву на інших верстатах.

Важлива характеристика СМО - час обслуговування вимог у системі. Час обслуговування одного вимоги є, як правило, випадковою величиною і, отже, може бути описано законом розподілу. Найбільшого поширення в теорії і особливо в практичних додатках отримав експонентний закон розподілу часу обслуговування. Функція розподілу для цього закону має вигляд

(8.44)

тобто ймовірність того, що час обслуговування не перевершує деякої величини t, визначається формулою (8.44), де μ - параметр експоненціального закону розподілу часу обслуговування вимог у системі, тобто величина, зворотна середньому часу обслуговування:

(8.45)

Розглянемо аналітичні моделі найбільш поширених СМО з очікуванням, тобто таких СМО, в яких вимоги, що надійшли в момент, коли всі обслуговуючі канали зайняті, ставляться в чергу і обслуговуються в міру звільнення каналів.

Загальна постановка задачі полягає в наступному. Система має п обслуговуючих каналів, кожен з яких може одночасно обслуговувати тільки одну вимогу.

У систему надходить найпростіший (пуассоновский) потік вимог з параметром λ. Якщо в момент надходження чергової вимоги в системі на обслуговуванні вже знаходиться не менше п вимог (тобто всі канали зайняті), то це вимога стає в чергу і чекає початку обслуговування.

Час обслуговування кожної вимоги t об - випадкова величина, яка підпорядковується експоненціальним законом розподілу з параметром μ.

СМО з очікуванням можна розбити на дві великі групи: замкнуті і розімкнуті. До замкнутим відносяться системи, в яких надходить потік вимог виникає в самій системі і обмежений. Наприклад, майстер, завданням якого є налагодження верстатів в цеху, повинен періодично їх обслуговувати. Кожен налагоджений верстат стає потенційним джерелом вимог на накладку. У подібних системах загальне число циркулюючих вимог звичайно і найчастіше постійно.

Якщо живить джерело володіє нескінченним числом вимог, то системи називаються розімкнутими. Прикладами подібних систем можуть служити магазини, каси вокзалів, портів та ін. Для цих систем надходить потік вимог можна вважати необмеженим.

Зазначені особливості функціонування систем цих двох видів накладають певні умови на використовуваний математичний апарат. Розрахунок характеристик роботи СМО різного виду може бути проведений на основі розрахунку ймовірностей станів СМО (так звані формули Ерланга).

Розглянемо алгоритми розрахунку показників якості функціонування розімкнутої системи масового обслуговування з очікуванням.

При вивченні таких систем розраховують різні показники ефективності обслуговуючої системи. В якості основних показників можуть бути ймовірність того, що всі канали вільні або зайняті, математичне очікування довжини черги (середня довжина черги), коефіцієнти зайнятості та простою каналів обслуговування та ін.

1. Введемо в розгляд параметр α = λ / μ. Зауважимо, що якщо 007 <1, то чергу не може рости безмежно. Ця умова має наступний зміст: λ - середня кількість вимог, що надходять за одиницю часу, 1 / μ - середній час обслуговування одним каналом однієї вимоги, тоді α = λ • l / μ - середнє число каналів, яке необхідно мати, щоб обслуговувати в одиницю часу всі вступники вимоги. Тому умова α / п <1 означає, що число обслуговуючих каналів повинно бути більше середнього числа каналів, необхідних для того, щоб за одиницю часу обслужити усі вимоги. Найважливіші характеристики роботи СМО:

1. Імовірність того, що всі канали вільні від обслуговування:

(8.46)

2. Імовірність того, що зайнято рівно k обслуговуючих каналів за умови, що загальне число вимог, що знаходяться на обслуговуванні, не перевершує числа обслуговуючих каналів:

при (8.47)

3. Імовірність того, що в системі знаходиться до вимог у разі, коли їх число більше числа обслуговуючих каналів:

при (8.48)

4. Імовірність того, що всі обслуговуючі канали зайняті:

(8.49)

5. Середній час очікування вимогою початку обслуговування в системі:

(8.50)

6. Середня довжина черги:

(8.51)

7. Середнє число вільних від обслуговування каналів:

(8.52)

8. Коефіцієнт простою каналів:

(8.53)

9. Середнє число зайнятих обслуговуванням каналів:

(8.54)

10. Коефіцієнт завантаження каналів:

(8.55)

Приклад 8.6. Нехай філіал фірми по ремонту радіоапаратури має п = 5 досвідчених майстрів. У середньому протягом робочого дня від населення надходить у ремонт λ = 10 радіоапаратів. Загальне число радіоапаратів, що знаходяться в експлуатації у населення, дуже велика, і вони незалежно один від одного в різний час виходять з ладу. Тому є всі підстави вважати, що потік заявок на ремонт апаратури є випадковим, пуассоновским. У свою чергу кожен апарат залежно від характеру несправності також вимагає різного випадкового часу на ремонт. Час на проведення ремонту залежить багато в чому від серйозності отриманого ушкодження, кваліфікації майстра і безлічі інших причин. Нехай статистика показала, що час ремонту підпорядковується експоненціальним законом; при цьому в середньому протягом робочого дня кожен з майстрів встигає відремонтувати μ = 2,5 радіоапарата. Потрібно оцінити роботу філії фірми з ремонту радіоапаратури, розрахувавши ряд основних характеристик даної СМО.

За одиницю часу приймаємо 1 робочий день (7:00).

1. Визначимо параметр:

так як α <п, то черга не може рости безмежно.

2. Імовірність того, що всі майстри вільні від ремонту апаратури, дорівнює згідно (8.46):

3. Імовірність того, що всі майстри зайняті ремонтом, знаходимо за (8.49):

Це означає, що 55,4% часу майстри повністю завантажені роботою.

4. Середній час обслуговування (ремонту) одного апарату згідно (8.45):

(за умови семигодинного робочого дня).

5. У середньому час очікування кожного несправного апарату початку ремонту одно по (8.50):

6. Дуже важливою характеристикою є середня довжина черги, яка визначає необхідну місце для зберігання апаратури, що вимагає ремонту; знаходимо її по (8.51):

7. Визначимо середнє число майстрів, вільних від роботи, по (8.52):

Таким чином, в середньому протягом робочого дня ремонтом зайняті чотири майстри з п'яти.

Перейдемо до розгляду алгоритмів розрахунку характеристик функціонування замкнутих СМО. Оскільки система замкнута, то до постановки задачі слід додати умову: потік надходять вимог обмежений, тобто в системі обслуговування одночасно не може перебувати більше т вимог - число обслуговуваних об'єктів).

За критерій, що характеризує якість функціонування даної системи, виберемо відношення середньої довжини черги до найбільшого числа вимог, що знаходяться одночасно в обслуговуючій системі, - коефіцієнт простою обслуговується об'єкта. В якості іншого критерію візьмемо відношення середнього числа незайнятих обслуговуючих каналів до їх загального числа - коефіцієнт простою обслуговуючого каналу.

Перший із названих критеріїв характеризує втрати часу через очікування початку обслуговування; другий показує повноту завантаження обслуговуючої системи.

Очевидно, що черга може виникнути, лише коли число каналів менше найбільшого числа вимог, що знаходяться одночасно в обслуговуючій системі (п <т).

Наведемо послідовність розрахунків характеристик замкнутих СМО і необхідні формули.

1. Визначимо параметр - показник завантаження системи, тобто математичне очікування числа вимог, що надходять у систему за час, рівний середньої тривалості обслуговування ().

2. Імовірність того, що зайнято до обслуговуючих каналів за умови, що число вимог, що знаходяться у системі, не перевершує числа обслуговуючих каналів системи:

(8.56)

3. Імовірність того, що в системі знаходиться до вимог для випадку, коли їх число більше числа обслуговуючих каналів:

(8.57)

4. Імовірність того, що всі обслуговуючі канали вільні, визначимо, використовуючи очевидне умова:

, Звідки

Величину можна отримати також шляхом підстановки в рівність значень в які входить співмножником. Підставляючи їх, отримуємо наступне рівняння для визначення:

(8.58)

5. Середнє число вимог, що очікують початку обслуговування (середня довжина черги):

або

(8.59)

6. Коефіцієнт простою обслуговується вимоги (об'єкта):

(8.60)

7. Середнє число вимог, що знаходяться в обслуговуючій системі, що обслуговуються і очікують обслуговування:

(8.61)

або

8. Середнє число вільних обслуговуючих каналів:

(8.62)

9. Коефіцієнт простою обслуговуючого каналу:

(8.63)

Розглянемо приклад розрахунку характеристик замкнутої СМО.

Приклад 8.7. Робітник обслуговує групу автоматів, що складається з 3 верстатів. Потік надходять вимог на обслуговування верстатів пуассоновский з параметром λ = 2 ст. / Ч. Обслуговування одного верстата займає у робітника в середньому 12 хв, а час обслуговування підпорядковане експоненціальним законом. Тоді l / μ = = 0,2 ч / ст., Тобто μ = 5 ст. / год, а α = λ / μ = 0,4.

Необхідно визначити середнє число автоматів, що очікують обслуговування, коефіцієнт простою автомата, коефіцієнт

простою робітника. Обслуговуючим каналом тут є робітник; так як верстати обслуговує один робітник, то п = 1. Загальне число вимог не може перевершити числа верстатів, тобто т = 3.

Система може знаходитися в чотирьох різних станах: 1) всі верстати працюють; 2) один коштує і обслуговується робочим, а два працюють; 3) дві стоять, один обслуговується, один чекає обслуговування; 4) трьох стоять, з них один обслуговується, а два чекають черги.

Для відповіді на поставлені питання можна скористатися формулами (8.56) і (8.57):

Зведемо обчислення в табл. 8.2.

Таблиця 8.2

k

1

2

3

4

5

6

0

0

1,0000

0,2822

0

0

1

0

1,2000

0,3386

0

0,3386

2

1

0,9600

0,2709

0,2709

0,5418

3

2

0,3840

0,1083

0,2166

0,3249

Σ

3,5440

1,0000

0,4875

1,2053

У цій таблиці перші обчислюється третій графа, тобто відносини при Потім, підсумовуючи величини за графою і враховуючи, що, одержуємо

звідки. Множачи величини третього графи на, отримуємо четверту графу. Величина, рівна ймовірності того, що всі автомати працюють, може бути витлумачена як ймовірність того, що робочий вільний. Виходить, що в розглянутому випадку робочий буде вільний більше 1/4 усього робочого часу. Однак це не означає, що "черга" верстатів, що очікують обслуговування, завжди буде відсутній. Математичне сподівання числа автоматів, що стоять в черзі, одно

(так як п = 1).

Підсумовуючи п'яту графу, отримаємо М оч = 0,4875, отже, в середньому з трьох верстатів 0,49 верстата буде простоювати в очікуванні, поки звільниться робітник.

Підсумовуючи шосту графу, отримаємо математичне очікування числа простоюють верстатів (ремонтованих і очікують ремонту):

тобто в середньому 1,2 верстата не видаватиме продукцію. Коефіцієнт простою верстата дорівнює, тобто кожен верстат простоює приблизно 0,16 свого робочого часу в очікуванні, поки робочий звільниться.

Коефіцієнт простою робітника в даному випадку збігається з, так як п = 1, тому

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

Cхожі теми

Моделювання систем масового обслуговування
Марківські процеси в системі масового обслуговування
Основні поняття теорії масового обслуговування
Принципи моделювання екологоекономіческіх систем
Принципи формалізації та моделювання складних систем
Елементи теорії масового обслуговування
Особливості моделювання систем
Базові принципи теорії надійності і теорії масового обслуговування
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ
Основні поняття математичного моделювання соціально-економічних систем
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук