Навігація
Головна
Елементи теорії ігор в задачах моделювання економічних процесівВплив теорії ігор на розвиток економічної теорії. Теорія очікуваної...ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ СИСТЕМЛ. Вальрас - основоположник теорії загальної економічної рівновагиДіалектика як метод економічної теоріїПоступова формалізація в задачах моделювання процесів проходження...Предмет економічної теорії. Методи дослідження та аналізу економічних...Основні наукові моделі переговорного процесу: метод торгу, теорія...ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ УПРАВЛІНСЬКИХ РІШЕНЬМоделі і технології чисельного рішення задач
 
Головна arrow Економіка arrow Економіко-математичні методи і прикладні моделі
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Елементи теорії ігор в задачах моделювання економічних процесів

При вирішенні економічних завдань часто доводиться аналізувати ситуації, в яких стикаються інтереси двох або більше конкуруючих сторін, які мають різні мети; це особливо характерно в умовах ринкової економіки. Такого роду ситуації називаються конфліктними. Математичної теорією конфліктних ситуацій є теорія ігор. У грі можуть стикатися інтереси двох (гра парна) або декількох (гра множинна) супротивників; існують ігри з нескінченною множиною гравців. Якщо під множинної грі гравці утворюють коаліції, то гра називається коаліційної; якщо таких коаліцій дві, то гра зводиться до парної.

На промислових підприємствах теорія ігор може застосовуватися для вибору оптимальних рішень, наприклад при створенні раціональних запасів сировини, матеріалів, напівфабрикатів, коли протиборствують дві тенденції: збільшення запасів, що гарантують безперебійну роботу виробництва, і скорочення запасів у цілях мінімізації витрат на їх зберігання. У сільському господарстві теорія ігор може застосовуватися при вирішенні таких економічних завдань, як вибір для посіву однією з можливих культур, урожай яких залежить від погоди, якщо відомі ціна одиниці тієї чи іншої культури і середня врожайність кожної культури залежно від погоди (наприклад, чи буде літо посушливим, нормальним або дощовим); в цьому випадку одним з гравців виступає сільськогосподарське підприємство, що прагне забезпечити найбільший дохід, а іншим - природа.

Рішення подібних завдань вимагає повної визначеності у формулюванні їх умов (правил гри) встановлення кількості гравців, виявлення можливих стратегій гравців, можливих виграшів (програш розуміється як негативний виграш). Важливим елементом в умові ігрових завдань є стратегія, тобто сукупність правил, які залежно від ситуації в грі визначають однозначний вибір дій даного гравця. Якщо в процесі гри гравець застосовує поперемінно кілька стратегій, то така стратегія називається змішаної, а її елементи - чистими стратегіями. Кількість стратегій у кожного гравця може бути кінцевим і нескінченним, в залежності від цього гри підрозділяються на кінцеві і нескінченні.

Важливими є поняття оптимальної стратегії, ціни гри, середнього виграшу. Ці поняття знаходять відображення у визначенні розв'язання гри, стратегії Р * і Q * першого і другого гравців відповідно називаються їх оптимальними стратегіями, а число V - ціною гри, якщо для будь-яких стратегій Р перша гравця і будь-яких стратегій Q другого гравця виконуються нерівності

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

(8.64)

де М (Р, Q) означає математичне очікування виграшу (середній виграш) першого гравця, якщо першим і другим гравцями обрані відповідно стратегії Р і Q.

З нерівностей (8.64) випливає, зокрема, що V = = М (Р * Q *), тобто ціна гри дорівнює математичному очікуванню виграшу першого гравця, якщо обидва гравці оберуть оптимальні для себе стратегії.

Одним з основних видів ігор є матричні ігри, якими називаються парні ігри з нульовою сумою (один гравець виграє стільки, скільки програє інший) за умови, що кожен гравець має кінцеве число стратегій. У цьому випадку парна гра формально задається матрицею, елементи якої визначають виграш першого гравця (і відповідно проігришвторого), якщо перший гравець вибере i-ю стратегію, а другий - j-ю стратегію (). Матриця А називається матрицею гри, або платіжною матрицею.

Розглянемо побудову платіжної матриці на прикладі.

Приклад 8.8. На базі торгової фірми є п типів товару асортиментного мінімуму. У магазин фірми повинен бути завезений тільки один з цих типів товару. Якщо товар типу j ()

буде користуватися попитом, то магазин від його реалізації отримає прибуток. Якщо ж цей товар не буде користуватися попитом, то витрати на його зберігання принесуть магазину збиток. Потрібно вибрати тип товару, який доцільно завезти в магазин.

data-override-format="true" data-page-url = "http://stud.com.ua">

В умовах невизначеного купівельного попиту конфліктна ситуація товаропостачання формалізується матричної грою. Нехай перший гравець - магазин, другий гравець - купівельний попит. Кожен з гравців має по п стратегій. Завезення i -го товару - i-я стратегія першого гравця, попит на j -й товар - j- я стратегія другого гравця. Тоді матриця виграшів першого гравця має вигляд квадратної матриці n -го порядку:

Існує ряд методів вирішення матричних ігор. Якщо матриця гри має одну з розмірностей, рівну двом (в одного з гравців є тільки дві стратегії), то рішення гри може бути отримано графічно. Відомо кілька методів наближеного рішення матричної гри, наприклад метод Брауна. Застосовуються також методи лінійного програмування.

В якості прикладу розглянемо рішення гри, коли матриця гри має так звану седловую точку.

Приклад 8.9. Матриця гри має вигляд

Мінімальний елемент першого рядка (першої стратегії першого гравця) дорівнює 2, другий - 5, третьої - 4; максимальне значення з цих величин дорівнює 5. Максимальний елемент першого стовпця (церви стратегії другого гравця) дорівнює 10, другої - 10; третій - 5, четвертого - 14, п'ятий - 12; мінімальне значення з них одно 5. Отже, дана гра має сідлову точку (2, 3) і завдання можна вирішити в чистих стратегіях. Дотримуючись чисто другої стратегії, перший гравець забезпечує собі виграш не менший 5; другий гравець, застосовуючи чисту третій стратегію, програє не більше 5. Обидві стратегії i = 2 і j = 3 є оптимальними для першого і другого гравців, при цьому ціна гри V = 5.

У багатьох ігрових завданнях у сфері економіки невизначеність викликана не свідомим протидією противника, а недостатньою обізнаністю про умови, в яких діють сторони. Так, у розглянутих вище прикладах були невідомі заздалегідь погода в деякому регіоні, купівельний попит на деяку продукцію.

Подібного роду ігри називаються іграми з природою. У цих випадках рядка матриці гри відповідають стратегії гравця, а стовпці - станам "природи". У ряді випадків при вирішенні такої гри розглядають матрицю ризиків.

При вирішенні ігор з природою використовується також ряд критеріїв: критерій Севіджа, критерій Вальда, критерій Гурвіца та ін.

При Максимін критерії Вальда оптимальною вважається та стратегія особи, що приймає рішення (ОПР), яка забезпечує максимум мінімального виграшу; застосовуючи цей критерій, ЛПР більшою мірою орієнтується на найгірші умови (цей критерій іноді називають критерієм "крайнього песимізму").

Критерій мінімаксного ризику Севіджа припускає, що оптимальною є та стратегія, при якій величина ризику в найгіршому випадку мінімальна.

При використанні критерію "песимізм-оптимізм" Гурвіца ЛПР вибирає деякий так званий коефіцієнт песимізму q; при q = 1 критерій Гурвіца призводить до критерію Вальда ("крайнього песимізму"), а при q = 0 - до критерію "крайнього оптимізму".

Розглянемо приклад використання зазначених критеріїв у іграх з природою.

Приклад 8.10. Диспетчер автобусного парку (ОПР) в літні місяці в кінці кожного тижня має прийняти рішення про доцільність виділення додаткових автобусів на заміський маршрут. ЛПР має три варіанти рішень: збільшити кількість автобусів на 10 (стратегія P 1), збільшити цю кількість на 5 (стратегія Р 2) або залишити без зміни звичайне число автобусів на лінії (стратегія Р 3). Можливі два стану погоди: Q 1 - погана погода, Q 2 - гарна погода, причому в момент прийняття рішення немає можливості визначити очікуване стан погоди. Якщо у вихідні дні буде гарна погода і багато бажаючих виїхати за місто, а виділено мало автобусів, то парк понесе збитки, пов'язані з недоотриманої прибутком. Якщо ж виділені додаткові автобуси, а погода виявиться поганою, то виникнуть втрати внаслідок експлуатації незаповнених автобусів.

Нехай на основі аналізу статистичних даних за певний період встановлена функція втрат для можливих комбінацій станів природи і рішень ЛПР у вигляді матриці гри А (PjQj) в якій негативні значення показують додатковий прибуток, а позитивні - втрати:

Якщо немає відомостей про ймовірності різних станів погоди, то за критерієм Вальда і за критерієм Севіджа оптимальною є стратегія Р 2. За критерієм Гурвіца при "коефіцієнті песимізму" q = 1 оптимальною виявиться стратегія Р 2, а при q = 0 - стратегія P 1.

Розглянемо на закінчення конкретний числовий приклад вирішення задачі прийняття рішення в економіці методами теорії ігор.

Приклад 8.11. Швейне підприємство, що випускає дитячі сукні та костюми, реалізує свою продукцію через фірмовий магазин. Збут продукції залежить від стану погоди. За даними минулих спостережень, підприємство протягом квітня - травня в умовах теплої погоди може реалізувати 600 костюмів і 1975 суконь, а при прохолодній погоді - 1000 костюмів і 625 суконь. Відомо, що витрати на одиницю продукції протягом зазначених місяців склали для костюмів 27 руб., Дня суконь 8 руб., А ціна реалізації дорівнює відповідно 48 руб. і 16 руб. (цифри умовні).

Завдання полягає в максимізації середньої величини прибутку від реалізації випущеної продукції з урахуванням невизначеності погоди в аналізовані місяці. Таким чином, служба маркетингу підприємства повинна в цих умовах визначити оптимальну стратегію підприємства, що забезпечує при будь-якій погоді певний середній дохід. Вирішимо цю задачу методами теорії ігор, гра в цьому випадку буде ставитися до типу ігор з природою.

Підприємство має в цих умовах двома чистими стратегіями: стратегія А - у розрахунку на теплу погоду і стратегія Б - у розрахунку на холодну погоду. Природу будемо розглядати як другого гравця також з двома стратегіями: прохолодна погода (стратегія В) і тепла погода (стратегія Г). Якщо підприємство вибере стратегію А, то у випадку прохолодної погоди (стратегія природи В) дохід складе

а в разі теплої погоди (стратегія природи Г) дохід дорівнюватиме

Якщо підприємство вибере стратегію Б, то реалізація продукції в умовах прохолодної погоди дасть дохід

а в умовах теплої погоди

Отже, матриця даної гри (платіжна матриця) має вигляд

Перша і друга рядки цієї матриці відповідають стратегіям А і Б підприємства, а перший і другий стовпці - стратегіям В і Г природи.

За платіжній матриці видно, що перший гравець (підприємство) ніколи не отримає дохід менше 6 800 руб. Але якщо погодні умови збігаються з обраною стратегією, то виручка (виграш) складе 26000 або 28400 руб. Звідси можна зробити висновок, що в умовах невизначеності погоди найбільший гарантований дохід підприємство забезпечить, якщо буде поперемінно застосовувати те стратегію А, то стратегію Б. Така стратегія, як зазначалося вище, називається змішаною. Оптимізація змішаної стратегії дозволить першому гравцеві завжди отримувати середнє значення виграшу незалежно від стратегії другого гравця.

Нехай х означає частоту застосування першим гравцем стратегії А, тоді частота застосування ним стратегії Б дорівнює (1 - х). У разі оптимальної змішаної стратегії перший гравець (підприємство) отримає і при стратегії В (холодна погода), і при стратегії Г (тепла погода) другого гравця однаковий середній прибуток:

Звідси можна знайти, що х = 8/17; 1 - x = 9/17. Отже, перший гравець, застосовуючи чисті стратегії А до Б у співвідношенні 8: 9, матиме оптимальну змішану стратегію, що забезпечує йому в будь-якому випадку середній дохід у сумі 6800 • 8/17 + 26000 • 9/17 = 16965 руб .; ця величина і буде в даному випадку ціною гри.

Легко розрахувати, яка кількість костюмів і платтів повинно випускати підприємство при оптимальній стратегії: (600 костюмів + +1975 суконь) • 8/17 + (1000 костюмів + 625 суконь) • 9/17 = 812 костюмів + тисяча двісті шістьдесят суконь. Отже, оптимальна стратегія підприємства полягає у випуску 812 костюмів і 1260 суконь, що забезпечить йому за любої погоди середній дохід у сумі 16965 руб.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Cхожі теми

Елементи теорії ігор в задачах моделювання економічних процесів
Вплив теорії ігор на розвиток економічної теорії. Теорія очікуваної корисності Дж. Фон Неймана і О. Моргенштерна. Модель К. Ерроу - Ж. Дебре
ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ СИСТЕМ
Л. Вальрас - основоположник теорії загальної економічної рівноваги
Діалектика як метод економічної теорії
Поступова формалізація в задачах моделювання процесів проходження інформації в системах управління
Предмет економічної теорії. Методи дослідження та аналізу економічних процесів
Основні наукові моделі переговорного процесу: метод торгу, теорія ігор, медіація
ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ УПРАВЛІНСЬКИХ РІШЕНЬ
Моделі і технології чисельного рішення задач
 
Дисципліни
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук