ОБМЕЖЕНИЙ ЗРОСТАННЯ. РІВНЯННЯ ФЕРХЮЛЬСТА

Базовою моделлю, яка описує обмежений зростання, є модель Ферхюльста (1848):

Параметр До носить назву «ємності популяції», виражається в одиницях чисельності (або концентрації) і носить системний характер, тобто визначається цілою низкою різних обставин, серед них - обмеження на кількість субстрату для мікроорганізмів, доступного обсягу для популяції клітин тканини, харчової бази або притулків для вищих тварин.

Графік залежності правій частині рівняння (2) від чисельності х і чисельності популяції від часу представлені на рис. 1 (а і б).

Обмежений ріст. Залежність величини швидкості росту від чисельності (а) і чисельності від часу (б) для логістичного рівняння

Мал. 1. Обмежений ріст. Залежність величини швидкості росту від чисельності (а) і чисельності від часу (б) для логістичного рівняння

Вивчення дискретного аналога рівняння (2) у другій половині XX століття виявило абсолютно нові і чудові його властивості. Розглянемо чисельність популяції в послідовні моменти часу, що відповідає реальній процедурі перерахунку особин (або клітин) в популяції. Залежність чисельності на часовому кроці номер п + 1 від чисельності на попередньому кроці п можна записати у вигляді

Поведінка в часі змінної х п в залежності від величини параметра г може носити характер не тільки обмеженого зростання, як було для безперервної моделі (2), але також бути коливальним або квазістохастіческім, як це зображено на рис. 2 праворуч. Зверху вниз значення параметра власної швидкості росту г збільшується. Криві, що представляють вид залежності значення чисельності в даний момент часу (t + 1)

Вид функції залежності чисельності на наступний етап від чисельності на попередньому кроці (лівий стовпець) і поведінку чисельності в часі (правий стовпець) при різних значеннях параметра г

Мал. 2. Вид функції залежності чисельності на наступний етап від чисельності на попередньому кроці (лівий стовпець) і поведінку чисельності в часі (правий стовпець) при різних значеннях параметра г: 1 - обмежений ріст; 2 - коливання, 3 - хаос

від значень чисельності в попередній момент часу t, представлені на рис. 2 зліва, ця швидкість наростає при малих кількостях і убуває, а потім звертається в нуль при великих кількостях. Динамічний тип кривої зростання популяції залежить від того, наскільки швидко відбувається зростання при малих кількостях, т. Е. Визначається похідною (тангенсом кута нахилу цієї кривої) в нулі, який визначається коефіцієнтом р Для невеликих г чисельність популяції прагне до стійкого рівноваги. Коли графік зліва стає більш крутим, стійка рівновага переходить в стійкі цикли. У міру збільшення чисельності довжина циклу зростає, і значення чисельності повторюються через 2, 4, 8, ..., 2 П поколінь. При величині параметра г > 2,570 відбувається хаотизации рішень. При досить великих г динаміка чисельності демонструє хаотичні сплески (спалаху чисельності комах). Рівняння такого типу описують динаміку чисельності сезонно розмножуються комах з неперекривающіхся поколіннями.

Дискретне опис виявилося продуктивним для систем самої різної природи. Апарат уявлення динамічної поведінки системи на площині в координатах [х ^ ХГ + т] дозволяє визначити, є спостережувана система колебательной або квазістохастіческой. Наприклад, уявлення даних електрокардіограми дозволило встановити, що скорочення людського серця в нормі носять нерегулярний характер, а в період нападів стенокардії або в передінфарктному стані ритм скорочення серця стає строго регулярним. Таке «посилення» режиму є захисною реакцією організму в стресовій ситуації і свідчить про загрозу життю системи.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >