ІНСТРУМЕНТИ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ПОДІЙ

Цілий клас задач моделювання пов'язаний з імітаційним моделюванням подій. Наприклад, оцінка відмовостійкості мережевого вузла, оцінка надійності кластерної обчислювальної системи і т.п. В основі моделювання лежить імітація елементарного події.

Імітація елементарного події. Нехай необхідно реалізувати випадкова подія А, наступає із заданою вірогідністю р. Его може бути відмова елемента або вузла пристрою, надходження повідомлення, ураження цілі і т.п. Визначимо А як подія, що полягає в тому, що вибране значення Xj рівномірно розподіленим на інтервалі [0,1] випадкової величини задовольняє нерівності:

Тоді ймовірність події А буде

Протилежне подія полягає в тому, що , його ймовірність дорівнює

1-р.

Приклад 5. Нехай нам відома ймовірність відмови пристрою Р 0 = 0,1. Змоделювати випадання цієї події можна, розігравши рівномірно розподілене випадкове число з діапазону від 0 до 1 і встановивши, в якій з двох інтервалів (від 0 до 0,1 або від 0,1 до 1) воно потрапило (див. Рисунок 2.10). Якщо число потрапляє в діапазон (0; 0,1], то пристрій відмовило, тобто подія відбулася, інакше - подія не відбулося (пристрій працює). При значному числі експериментів частота потрапляння чисел в інтервал від 0 до 0,1 наближатиметься до теоретичної ймовірності р 0 = 0,1, а частота потрапляння чисел в інтервал (0,1] буде наближатися кр р = 0,9.

Імітаційне моделювання простого події

Мал. 25. Імітаційне моделювання простого події

Імітація повної групи подій. Несумісні події складають повну групу, якщо сумарна ймовірність їх появи дорівнює одиниці.

Розглянемо групу подій. Нехай Л /, Л?, ..., Л " - повна група подій, що входять з вірогідністю р /. р 2 ..... р " відповідно. визначимо подію

А т + / як подія, що полягає в тому, що вибране значення X j випадкової величини, рівномірно розподіленим на інтервалі [0,1] задовольняє нерівності:

де

Процедура моделювання випробувань в цьому випадку полягає в послідовному порівнянні випадкових чисел X t зі значеннями / ",, / я + 1 . Якщо умова виконується, результатом випробування виявляється подія Л т + /.

Описаний алгоритм називають алгоритмом «розіграшу шляхом жеребкування» (див. Рис. 26).

Імітаційне моделювання повної i руїни подій

Мал. 26. Імітаційне моделювання повної i руїни подій

Імітація складної події , що складається, наприклад, з двох незалежних елементарних подій А і В полягає в перевірці нерівностей:

Тут Х. х і X j2 випадкові числа, рівномірно розподілені на інтервалі [0, 1]; р ( , р д - ймовірності настання відповідно подій А і В.

Залежно від результату перевірки нерівностей робиться висновок, який з варіантів складного події: АВ , АВ , АВ , АВ має місце.

Імітація залежних подію. У разі, коли складна подія складається з елементарних залежних подій А і В імітація складної події проводиться за допомогою перевірки наступних нерівностей:

Залежно від того, яка з цих чотирьох систем нерівностей виконується, робиться висновок про те, який з чотирьох можливих результатів: АВ. АВ. АВ. АВ має місце.

Розглянемо приклади імітації подій засобами системи ExtendSim.

Приклад 6. Оцінити надійність пристрою, що складається з двох вузлів та елементів А, В. С (рис. 27). Вузол виходить з ладу, коли виходять з ладу всі елементи, що входять у вузол. Пристрій виходить з ладу, коли відмовляє хоча б один з його вузлів. Ймовірності безвідмовної роботи елементів дорівнюють відповідно: Р (А) = 0,8; Р (В) = 0,7; Р (С) = 0,6. Розрахувати ймовірність безвідмовної роботи пристрою.

Схема пристрою

Мал. 27. Схема пристрою

Нижче наведені 2 варіанти реалізації моделі роботи пристрою в середовищі ExtendSim (рис. 28-29):

Схема пристрою (варіант моделі 1)

Мал. 28. Схема пристрою (варіант моделі 1)

Схема пристрою (варіант моделі 2)

Мал. 29. Схема пристрою (варіант моделі 2)

При побудові моделі використовуються блоки, що знаходяться в бібліотеці Value. їх:

Random Number генерує випадково число але заданому закону, наприклад, генерує або 0, або 1 з заданими ймовірностями.

Math виконує задану математичну або логічну операцію над вхідними операндами і видає результат.

Equation обчислює значення заданої функції.

Holding Tank накопичує (підсумовує) вхідні значення.

Constant генерує постійне задане значення на кожному кроці. Значення задається в діалоговому вікні настройки блоку. Якщо вхід (зліва) підключений, то вхідний значення додається до постійного (заданому в блоці) і на виході з'являється сума цих значень.

Display Value відображає вхідний значення.

У першому варіанті моделі в блоках Random Number , що відповідають елементам пристрою А, В, С генерується випадкове число рівномірно розподілене ( Uniform, Real) в діапазоні від 0 до 1. Далі в блоках Equation порівнюється сгенерированное число із заданою вірогідністю роботи елемента пристрою. Наприклад, для елемента А в діалоговому вікні блоку Equation в поле формул задається вираз: outConO = inConO < 0.8, змінні outConO і inConO відповідають значенням на вихідному і вхідному коннекторах блоку. На виході блоків Equation значення або 0 - елемент не працює, або 1 - елемент працює. У блоках Math реалізується логіка роботи пристрою: And - І; or - АБО. У верхньому блоці Holding Tank накопичується сумарна кількість разів, коли пристрої працювало (п), в нижньому - загальна кількість тактів симуляції (/ і). Імовірність роботи пристрою розраховується як відношення п / т, для чого використовується блок Math в режимі Divide. Розрахована ймовірність відображається за допомогою блоку Display Value. Кількість тактів симуляції роботи пристрою задається в діалоговому вікні Simulation Setup (пункт меню Run / Simulation Setup) в поле End time.

У другому варіанті моделі використовується менше блоків. У блоках Random Number задається режим генерації випадкових чисел відповідно до емпіричної таблицею: Empirical Table. У таблиці задаються значення (Value) і ймовірність їх генерації ( Probability). Наприклад, для елемента А: 0 - 0.2; 1 - 0.8. Таким чином, на виході блоку або 0 - елемент не працює, або 1 - пристрій працює. Далі в блоці Equation задається логіка роботи пристрою: outConO = (A or В) and С.

В результаті моделювання роботи пристрою 1000 разів обидві моделі видають близькі значення оцінки ймовірності його безвідмовної роботи: 0,5764 (варіант 1) і 0,5794 (варіант 2). Розрахуємо теоретичну ймовірність роботи пристрою: р = (1 - (1 - 0.8) * (1 - 0.7)) * 0.6 = 0,576. Таким чином, абсолютна похибка оцінки ймовірності імітаційними моделями невелика і складає 0,0004 (варіант 1) і 0,0034 (варіант 2) за результатами одного прогону імітаційної моделі.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >