Оптимальність за Парето двухкрітеріальний фінансових операцій в умовах невизначеності

З розглянутого вище випливає, що кожне рішення (фінансова операція) має дві характеристики, які потребують оптимізації: середній очікуваний дохід і середній очікуваний ризик. Таким чином, вибір найкращого рішення є оптимізаційної двухкрітеріальной завданням. В задачах багатокритеріальної оптимізації основним поняттям є поняття оптимальності по Парето1. Розглянемо це поняття для фінансових операцій з двома зазначеними характеристиками.

Нехай кожна операція а має дві числові характеристики Е (а), г (а) (наприклад, ефективність і ризик); при оптимізації Е прагнуть збільшити, г - зменшити.

Існує кілька способів постановки таких оптимізаційних завдань. Розглянемо таку задачу в загальному вигляді. Нехай А - деяке безліч операцій, і різні операції обов'язково розрізняються хоча б однією характеристикою. При виборі найкращої операції бажано, щоб Е було більше, а г менше.

Будемо говорити, що операція а домінує операцію Ь, і позначати а> Ь, якщо Е (а)> Е (Ь) і г (а) <г (Ь) і хоча б одне з цих нерівностей суворе. При цьому операція а називається домінуючою, а операція Ь - домінованих. Очевидно, що жодна домінованих операція не може бути визнана найкращою. Отже, найкращу операцію слід шукати серед недомініруемих операцій. Безліч недомініруемих операцій називається безліччю (областю) Парето, або безліччю оптимальності по Парето1.

Для безлічі Парето справедливо твердження: кожна з характеристик Е, г є однозначною функцією інший, тобто на множині Парето але одній характеристиці операції можна однозначно визначити іншу.

Повернемося до аналізу фінансових рішень в умовах часткової невизначеності. Як показано в підпункті 9.4.3, кожна операція характеризується середнім очікуваним ризиком й і середнім очікуваним доходом 0_. Якщо ввести прямокутну систему координат, на осі абсцис якої відкладати значення / ?, а на осі ординат - значення (), то кожної операції буде відповідати точка (Д, О) на координатній площині. Чим вище ця точка на площині, тим прибутковіше операція; чим правіше точка, тим більше ризикована операція. Отже, при пошуку недомініруемих операцій (множини Парето) доцільно вибирати точки вище і лівіше. Таким чином, безліч Парето для вихідних даних прикладів 9.6 і 9.7 складається тільки з однієї третьої операції.

Для визначення кращої операції в ряді випадків можна застосовувати деяку зважувати формулу, в яку характеристики Я 0, входять з певними вагами, і яка дає одне число, що задає кращу операцію. Нехай, наприклад, для операції г з характеристиками (/? ,, (¿1) взвешивающая формула має вигляд / (г) = 3 (2, - 2я "і найкраща операція вибирається по максимуму величини / (/). Ця взвешивающая формула означає , що ЛПР згоден на збільшення ризику на три одиниці, якщо дохід операції збільшиться при цьому не менш, ніж на дві одиниці. Таким чином, взвешивающая формула виражає відношення ЛПР до показників прибутку і ризику.

Приклад 9.9. Нехай вихідні дані ті ж, що і ті прикладах 9.6 і 9.7, тобто для матриць наслідків і ризику прикладу 9.1 відомі ймовірності варіантів розвитку реальної ситуації: Р [= 1/2, р2 = 1/6, рз = 1/6, р4 = 1/6. У цих умовах ЛПР згоден на збільшення ризику на дві одиниці, якщо при цьому дохід операції збільшиться не менш, ніж на одну одиницю. Визначте для цього випадку найкращу операцію.

Рішення. Зважувати формула має вигляд / (; ') - 2 (^ Використовуючи результати розрахунків у прикладах 2.6 і 2.7, знаходимо

/ (1) = 2-29: 6 20: 6 = 6,33; / (2) = 2-25: 6 - 4 = 4,33;

/ (3) = 2-7-7: 6 = 12,83; / (4) = 2-17: 6 - 32: 6 = 0,33.

Отже, кращою визнається третьою операція, а гіршої - четверта.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >