Числові характеристики випадкових величин

Для вивчення розподілу випадкових величин користуються рядом числових характеристик: заходів положенні і заходів розсіювання.

До характеристик положення відносяться: математичне очікування, мода, медіана. Математичне сподівання випадкової величини називають також середнім значенням випадкової величини.

Математичним очікуванням М (х) дискретної випадкової величини X називається сума добутків можливих значень її на відповідні ймовірності:

де п - число можливих значень випадкової величини.

Математичним очікуванням М (х) неперервної випадкової величини Л 'називається визначений інтеграл від твору щільності ймовірності зі {х) на дійсне змінне х, узятий в межах від -со ДО + со:

Модою Мо (х) називають значення випадкової величини, що має у дискретної величини найбільшу ймовірність, а у безперервній - найбільшу щільність ймовірності. Якщо крива розподілу має один максимум, то мода дорівнює значенню випадкової величини, відповідної цьому максимуму. Така крива називається унімодальної (одномодальних) (рис. 5.3, а). Якщо крива розподілу має два або кілька випадкової величини однакових максимумів, то вона відповідно називається двухмодульной, або многомодальним (рис. 5.3, б).

Медианой випадкової величини Л 'називають таке її значення Ме {х), для якого функція розподілу дорівнює 0,5. Це означає, що ймовірність випадкової величини прийняти значення менше медіани в точності дорівнює ймовірності цієї величини прийняти значення, більше медіани.

Для неперервної випадкової величини медіана визначається зі співвідношення

Геометрично медіана являє собою абсциссу точки, яка ділить площу, обмежену кривою розподілу, навпіл (рис. 5.3, б).

Для дискретної випадкової величини х необхідно розташувати її значення в порядку зростання і в якості медіани прийняти таке серединне значення х між хт_ {і хт, щоб задовольнити умову

Поряд з характеристиками положення використовуються числові характеристики, за якими судять про розсіюванні випадкової величини. До них, зокрема, відносять дисперсію і середньоквадратичне відхилення.

Дисперсією 0 (х) дискретної випадкової величини Л 'називається сума квадратів відхилень випадкової величини хот її математичного очікування, помножена на відповідні ймовірності:

Для неперервної випадкової величини дисперсія визначається за формулою

Среднеквадратическим відхиленням випадкової величини називають позитивне значення квадратного кореня з дисперсії:

Середньоквадратичне відхилення вимірюється в тих же одиницях, що і сама величина Хі її середнє значення, тоді як дисперсія виражається в квадратах відповідної одиниці виміру.

Моменти випадкових величин

Для дослідження розподілів випадкових величин в математичній статистиці користуються моментами. Моменти являють собою систему численних характеристик розподілу, що включає середню арифметичну і дисперсію.

Моментом ряду розподілу (або просто моментом) відносно початкового значення х = а називається сума добутків відхилень значень х ^ від а в ступені г на відповідну частоту:

Даючи показнику степеня г різні значення (г = 0, I, 2, 3 і т. Д.), Отримаємо моменти нульового, першого, другого і т. Д. Порядку щодо початку а.

Розрізняють початкові і центральні моменти г-го порядку. Якщо а = 0, то момент називається початковим. Позначимо початковий момент г-го порядку через тоді

Якщо а = X, то момент називається центральним. Позначимо його через //, тоді центральний момент г-го порядку

Зазвичай для практичних цілей обмежуються обчисленням моментів не вище четвертого порядку.

Середнє арифметичне значення випадкової величини являє собою початковий момент першого порядку:

Центральні моменти виражаються через початкові моменти наступним чином:

Центральний момент другого порядку являє собою дисперсію випадкової величини X:

Для розподілів дискретних випадкових величин:

Для розподілу неперервних випадкових величин:

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >