Навігація
Головна
 
Головна arrow Товарознавство arrow Метрологія, стандартизація і сертифікація
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Асиметрія і ексцес

Крім розглянутих числових характеристик застосовується і ряд інших імовірнісних характеристик, кожна з яких описує певну властивість розподілу.

Так, третій центральний момент // 3 характеризує ступінь асиметрії кривої розподілу щодо математичного очікування, але для зручності за характеристику асиметрії приймають безрозмірну величину, звану коефіцієнтом асиметрії а:

При одномодальних розподілі асиметрія позитивна (а> 0), якщо мода Мо (х) знаходиться ліворуч від середнього значення М (х), і негативна (а <0), якщо мода Мо (х) знаходиться вправо від середнього значення М (х) (рис. 5.4). При симетричному розподілі а = 0.

Розподіл щільності ймовірності при різних значеннях коефіцієнта асиметрії

Рис . 5.4. Розподіл щільності ймовірності при різних значеннях коефіцієнта асиметрії

Четвертий центральний момент // 4 визначає властивість гостровершинності кривої розподілу. За характеристику цієї властивості приймають безрозмірну величину г, звану коефіцієнтом ексцесу:

При симетричному одномодальних розподілі ексцес зазвичай позитивний (г> 0), якщо крива розподілу гостровершинності, і негативний (г <0), якщо крива розподілу плосковершіннимі.

За величиною коефіцієнтів асиметрії і ексцесу можна зробити припущення, наприклад, про нормальність розподілу досліджуваної випадкової величини, хоча це вимагає більш суворої перевірки. Для нормального розподілу коефіцієнти асиметрії і ексцесу дорівнюють нулю (рис. 5.5).

Розподіл щільності ймовірності з різними коефіцієнтами ексцесу

Рис. 5.5. Розподіл щільності ймовірності з різними коефіцієнтами ексцесу

Приклади законів розподілу випадкових величин

Закон нормального розподілу

Закон нормального розподілу знаходить велике застосування в різних галузях техніки. Цьому закону підкоряються багато неперервні випадкові величини, що зустрічаються в техніці, наприклад помилки виміру, висота мікронерівностей обробленої поверхні і багато інших. Широке застосування закону нормального розподілу пояснюється центральною граничною теоремою. З цієї теореми випливає, що якщо випадкова величина X являє суму дуже великого числа взаємно незалежних випадкових величин х ,, х ,, х ", вплив кожної з яких на всю суму незначно, то незалежно від того, яким законам розподілу підкоряються доданки х ,, х ,, х ", сама величина X матиме розподіл ймовірностей, близьке до нормального, і тим точніше, чим більше число доданків.

Цей висновок має велике практичне значення.

Теорема Ляпунова дає теоретичне пояснення і тому факту, що при стійкому процесі обробки деталей на настроєних верстатах і при відсутності змінюються в часі систематичних похибок дійсні розміри деталей часто підкоряються закону нормального розподілу, так як результуючу похибку обробки можна представити як суму великого числа похибок, що залежать від верстата, пристосування, інструмента і заготовки.

Щільність ймовірності або диференціальна функція розподілу випадкової величини безперервного типу, що підкоряється закону нормального розподілу, має наступний вигляд:

де х - змінна випадкова величина; (р (х) - щільність ймовірності; про - середнє квадратичне відхилення випадкової величини

х від X; X - середнє значення (математичне очікування) величин х; е - основа натуральних логарифмів, е = 2,71828.

Диференціальна функція нормального розподілу графічно виражається у вигляді кривої колоколообразного типу (рис. 5.6). З вигляду кривої нормального розподілу випливає, що вона симетрична відносно ординати точки х = X. Менші відхилення

Теоретична крива нормального розподілу

Рис. 5.6. Теоретична крива нормального розподілу

Вплив середнього арифметичного X та середнього квадратичного ơ значень на положення і форму кривої нормального розподілу

Рис. 5.7. Вплив середнього арифметичного X та середнього квадратичного ơ значень на положення і форму кривої нормального розподілу

ня від X більш вірогідні, ніж великі. Великі відхилення від центру групування малоймовірні.

Положення кривої відносно початку координат і її форма визначаються двома параметрами А1 і ст. Зі зміною А1 форма кривої не змінюється, але змінюється її положення щодо початку координат (рис. 5.7, а). Зі зміною про положення кривої не змінюється, але змінюється її форма. Зі зменшенням про крива стає більш витягнутою, а віття її зближуються; зі збільшенням про; навпаки, крива стає більш плескатої, а віття її розсуваються ширше (рис. 5.7, б).

Інтегральний закон нормального розподілу виражається наступним рівнянням:

Вид інтегральної кривої нормального розподілу представлений на рис. 5.8.

Якщо випадкова величина слід нормальному закону і може приймати будь чисельні значення в межах (-со, + зі), то

Таким чином, імовірність появи випадкової величини поза вказаного інтервалу не перевищує ц = 1 - Р = - 0,9973 = 0,0027, т. Е. Дуже мала. Отже, в якості практично граничного поля розсіювання зі для закону нормального розподілу можна прийняти інтервал у 6а, т. Е. Зі = 6а.

Якщо X = 0, т. Е. Збігається з початком координат, то рівняння (5.31) набуде вигляду

Закон нормального розподілу є симетричним щодо ординати точки х = X.

Як уже зазначалося, для оцінки відхилень емпіричного розподілу від нормального використовуються безрозмірні характеристики: коефіцієнт асиметрії а і коефіцієнт ексцесу р

Міра асиметрії обчислюється за формулою (5.29) або за формулою

де п - обсяг сукупності.

Міра ексцесу розподілу обчислюється за формулою (5.30) або за формулою

Крива інтегральної функції нормального розподілу

Рис. 5.8. Крива інтегральної функції нормального розподілу

Імовірність Р (-оо <х <+ ".) = I являє собою площу під диференціальної кривої нормального розподілу.

Імовірність значень х в будь-якому іншому інтервалі (* ,, х2) (див. Рис. 5.6) менше одиниці і буде дорівнює

Зробимо заміну змінної х на / шляхом підстановки

х - X х - X Нові межі інтегрування /, = -! - і /, = -2- замінили межі х, і х2. Праву частину рівняння (5.35) можна представити у вигляді суми двох інтегралів:

Знак плюс в рівнянні (5.36) змінився на мінус внаслідок зміни меж інтегрування с /, - 0 на 0 - / ,.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук