Точкові оцінки параметрів розподілу випадкових величин і відхилень

Імовірнісні характеристики похибок вимірювання визначаються, як правило, на підставі експериментальних даних методами математичної статистики. Іноді для цього проводять спеціальні експерименти з метою атестації засобів вимірювання, іноді вони поєднані з вимірами контрольованого параметра. При цьому оцінюються математичне очікування і середнє квадратичне відхилення.

Оцінка ймовірнісної характеристики похибок вимірювання називається точкової, якщо вона виражена одним числом. Будь-яка точкова оцінка, обчислена на основі дослідних даних, є випадковою величиною. При цьому функція її розподілу залежить від розподілу випадкової величини і числа дослідів п.

Точкова оцінка називається незміщеної, якщо її математичне очікування збігаються з істинним значенням оцінюваного параметра.

Точкова оцінка називається спроможною, якщо при збільшенні кількості спостережень (обсягу вибірки) її відмінність від оцінюваного параметра може бути як завгодно малим.

Точкова оцінка називається ефективною, якщо її дисперсія менше дисперсії будь-який інший оцінки даного параметра.

Кожне з цих понять характеризує якість точкових оцінок. За інших рівних умов кращою буде та оцінка, яка має, наприклад, найменше змішання. Серед усіх нормально розподілених оцінок найкращою буде несмещенная ефективна оцінка.

Теоретичним обгрунтуванням можливості експериментального визначення імовірнісних характеристик є закон великих чисел, який для випадкових величин формулюється таким чином.

Нехай проведена серія і однакових незалежних експериментів зі спостереження за випадковою величиною X, що має кінцеві М (х) та /) (а).

Позначимо через X середнє арифметичне результатів спостережень

Відповідно до закону великих чисел для будь-яких скільки завгодно малих £ і а завжди знайдеться таке при якому у разі п> і, ь4

Середнє арифметичне результатів спостережень є незміщеної оцінкою математичного очікування випадкової величини, а отже, її справжнє значення збігаєтеся математичним очікуванням випадкової величини:

Так як середнє арифметичне результатів вимірювань отримано X в результаті складання випадкових величин -, то воно також є п випадковою величиною з дисперсією В (х). Значення дисперсії середнього значення можна визначити наступним чином:

З виразу (5.56) випливає, що точність результату вимірювання можна підвищити при збільшенні числа вимірів. Дисперсія середнього арифметичного з п спостережень в п разів менше дисперсії результату однократного спостереження.

Середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного визначається за формулою

При п -> зі од. прагне до нуля. Его означає, що середнє арифметичне ряду вимірювань сходиться по ймовірності до математичного сподівання і є його заможної оцінкою.

Середнє арифметичне значення є також і ефективної оцінкою математичного очікування, т. Е. Має мінімальну дисперсію, рівну £ 1 ^ 1.

Розглянемо приклад визначення середнього арифметичного на підставі мінливого числа спостережень.

На рис. 5.13 представлений графік залежності результатів спостережень (ряд I - відхилення розміру в / '- ом досвіді, ряд 2 - середнє арифметичне результатів послідовних вимірювань. Значення цього ряду виходять наступним чином. Перше значення

Залежність результатів спостережень від числа спостережень

Рис. 5.13. Залежність результатів спостережень від числа спостережень

одно першому значенню з ряду I, друге значення дорівнює сумі першого і другого значень ряду I, поділене на 2, третє значення дорівнює сумі першого, другого і третього значень першого ряду поділене на 3, і т. д. Останнє значення другого ряду одно -V х .. У даному прикладі п = 20).

Середнє з 20 спостережень А1 = 1,75 мкм служить точкової оцінкою істинного відхилення вимірюваної величини.

Результати окремих вимірювань, як це випливає з графіка, мають досить великий розкид щодо середнього арифметичного (ряд I), а розкид окремих середніх арифметичних значно менше (ряд 2). Він зменшується у міру збільшення числа вимірювань.

В якості точкової оцінки дисперсії вибирають середнє значення квадрата відхилення випадкової величини від середнього значення

Ця оцінка є спроможною, але смешенной, так як її математичне сподівання дорівнює

У зв'язку з цим точкову оцінку дисперсії прийнято визначати за формулою:

де 5; - Емпірична дисперсія.

Точкова оцінка середнього квадратичного відхилення визначається з виразу

Величина ^ характеризує розкид окремих результатів виміру відносно середнього арифметичного значення X.

У літературі величину ах називають середнім квадратичним, або стандартним відхиленням генеральної сукупності, а л - вибірковим середнім квадратичним відхиленням.

Середнє арифметичне X має дисперсію, в п разів меншу, ніж дисперсія випадкової похибки (5.57). У зв'язку з цим в якості точкової оцінки дисперсії середнього арифметичного приймається вираз

Оцінка середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного відповідно дорівнює

За допомогою отриманих оцінок Л 'і. ^ Результат вимірювання, наприклад довжини, записується таким чином:

що дозволяє зробити відповідні висновки щодо точності вимірювання: число вимірювань п характеризує надійність визначення л * "а величина л; (характеризує близькість А1 до істинного значення Л.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >