Навігація
Головна
 
Головна arrow Товарознавство arrow Метрологія, стандартизація і сертифікація
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Інтервальні оцінки числових характеристик

Інтервал значень випадкової величини, усередині якого із заданою вірогідністю знаходиться істинне значення похибки результату вимірювання, називається довірчим інтервалом похибки результату вимірювання, а відповідну йому ймовірність - довірчою ймовірністю Р.

Нижню і верхню межі довірчого інтервалу називають довірчими межами.

Довірчий інтервал характеризує ступінь відтворюваності результатів вимірювання.

Як випливає з визначення, для характеристики випадкової похибки необхідно мати дві характеризують її величини - довірчий інтервал і довірчу ймовірність.

Оцінка точності обчислення генеральної середньої Хо

Позначимо через £ точність наближеного рівності Х0 "Х. Тоді визначення точності обчислення генеральної середньої за даними вибірки зведеться до визначення ймовірності того, що істинне значення Х0 знаходиться в межах Х ± £ у де е> О, т. Е.

Для визначення ймовірності о- можна скористатися розбраті-

розподілом величини

Зі статистики відомо, що якщо генеральна сукупність має нормальний розподіл, то величина / при будь-якому п слідує закону Стьюдента, який має такий вираз:

де к = п - I - число ступенів свободи; Г (к) - гамма-функція

Як випливає з (5.66), значення 54 (/) залежить тільки від змінної / і числа ступенів свободи к. Тому якщо задана ймовірність а, то з (5.67) можна знайти таке позитивне число / ", яке буде залежати тільки від а і п :

ІХ-Х I

Так як і = і - І, то вираз (5.67) можна переписати в наступному вигляді:

Значення / "наводяться в довідковій літературі по статистиці. З достатньою для практичних цілей точністю значення /" можна визначити за такими рівнянням, отриманим в результаті апроксимації табличних значень для найбільш уживаних значень а = 0,9; 0,95; 0,99:

Приклад.

За вибіркою з п - 20 знайдено ЛТ = 19,235 і л = 0,08. Визначити значення генеральної середньої хй.

Розв'язання. Генеральна середня визначається довірчим інтервалом

Переймаючись ймовірністю а, наприклад, рівний 0,95, з рівняння (5.70) визначимо 7ода5л. Число ступенів свободи к = 20 - I = 19.

(Точне табличне значення одно 2,09.)

Враховуючи, що (тх = - ^ =, матимемо

Отже, з імовірністю 95% генеральна середня буде перебувати в інтервалі 19,198 <Х0 <19,272.

Оцінка точності обчислення середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності за даними вибірки

Завдання зводиться до визначення ймовірності а наближеної рівності <т0 = * л-, точність якого дорівнює е. Тут л * - середнє квадратичне відхилення вибірки з обсягу п.

Якщо відомо, що випадкова величина х у генеральній сукупності підпорядкована нормальному закону, то величина

має розподіл х ~ * диференціальна функція якого має вигляд

Визначимо ймовірність о- наближеної рівності сг0-л-

Перетворимо нерівність у дужках наступним чином, вважаючи, що л * - е> 0:

Помножимо всі члени нерівності на позитивне число з * 1к, отримаємо

Імовірність цього нерівності дорівнює інтегралу

Ліва частина цього рівняння є перетворене вираз ймовірності а = P (s - е <а0 <s + £). З урахуванням цього остаточно можна записати

Значення інтеграла Цдлк) наведено в табл. 5.1.

При числі ступенів свободи до> 30 оцінка може бути упрошу, так як величина / = ^. Де о- = -% ± = - ^ підпорядковується нормальному закону розподілу і, отже,

Вважаючи taas = е, отримаємо P (s - е <а0 <s + e) = а. Отже,

Приклад.

За вибіркою з п - 20 знайдено ^ - 0,8. Визначити ймовірність а наближеної рівності <7, = е при е ~ 0,2.

За табл. 5.1 знаходимо значення а. При до ~ 18 і q ~ 0,25 а ~ 0,849, а при до ~ 20 і q = 0,25 а = 0,868. Значення а для до ~ 19 знаходимо як середнє значення

  • 0,849 +0,868 = Q 8585i т е /> (0,8 -0,2 <<70 <0,8 + 0,2) = 0,8585 або, остаточно, Р (0,6 <<7 "
  • 5.1. Таблиця ймовірностей

Таблиця ймовірностей

Довірчі інтервали для оцінки генеральної середньої

Статистична оцінка параметра, обчислена за даними вибірки, є наближеною. Така оцінка буде мати сенс, якщо заїздив інтервал, усередині якого буде знаходитися справжнє значення параметра із заданою вірогідністю Р

Значення / можна визначити за таблицями або можна скористатися наступною апроксимацією:

де а = -6,163127-Ю-5, Ь = 1,255452, с = -2,3107156, </ = 1,0572091, е = -1,833726, / = 0,56556408, 0,4592514, до = -0,19052311.

Наприклад, для а ~ 0,95 і п- 100 значення / визначимо з рівняння

(Табличне значення / при а ~ 0,95 одно 1,96).

Отже, довірчий інтервал для генеральної середньої буде

Усередині цього інтервалу буде знаходитися невідоме середнє з імовірністю 0,95.

Значення X ± 0,196 ^ є довірчими межами для середнього значення при рівні значущості д = 1 - а = 1 - 0,95 ~~ 0,05 (5% -й рівень значимості).

Для вибірок, обсяг яких менше 25-30, величина / має розподіл Стьюдента. У цьому випадку величина / визначається з таблиць розподілу Стьюдента або обчислюється за формулами (5.69) - (5.71) для прийнятої ймовірності а і заданого числа п.

Наприклад, для а = 0,95 ип = 10 (к = п- 1 = 10-1 - 9) значення / визначимо з рівняння

(Табличне значення / при а ~ 0,95 одно 2,26).

Отже, довірчий інтервал для генеральної середньої буде

Значення ^ ± 0,71565 є довірчими межами для середнього значення при рівні значущості д = 1 - а- 1- 0,95 = 0,05 (5% -й рівень значимості).

Довірчі границі для оцінки σ0

Якщо генеральна сукупність має нормальний розподіл, то величина має ^ -розподіл з числом ступенів свободи к = п - 1.

Задавшись ймовірністю а, визначають рівень значимості а = - а, а потім два значення% г; одне для ймовірності Р = - ^, а інше для ймовірності ^ = ^ - Перше з цих значень позначимо через

у.2, а інше - у}. Тоді ймовірність того, що величина ^ - буде перебувати в межах від ^, г до х * дорівнюватиме

З вірогідністю "буде виконуватися така нерівність:

Значення х 'ДЛЯ різних значень "можна визначити за такими залежностями:

Приклад.

Визначити довірчі межі для "г, 2 при а ~ 0,96, п ~ 20.

Розв'язання. Число ступенів свободи (к = п - 1 = 20- 1 = 19), значення д = 1 - а = 1 - 0,96 = 0,04. Імовірність Р1 = 1 - = 0,98. Значення ^)

визначимо з виразу (5.84), підставляючи значення к = 19:

Імовірність = ~ = 0,02, а значення ^ 3 (ХйКЛА) визначимо з виразу (5.92)

Довірчі кордону відповідно з виразом (5.83) будуть рівні

Довірчий інтервал для Ст0 з тією ж довірчою ймовірністю

Для великих вибірок (п> 30) можна використовувати нерівність

яке після заміни £ = - ^ прийме вигляд

и2п

З рівняння (5.80) визначимо значення /.

Наприклад, для а = 95 і п = 100 значення / визначимо з рівняння

(Табличне значення / при а ~ 0,95 одно 1,96). Підставляючи значення / в рівняння (5.91), одержимо

Довірчі границі з імовірністю а ~ 0,95 будуть наступними:

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук