Інтервальні оцінки числових характеристик

Інтервал значень випадкової величини, усередині якого із заданою вірогідністю знаходиться істинне значення похибки результату вимірювання, називається довірчим інтервалом похибки результату вимірювання, а відповідну йому ймовірність - довірчою ймовірністю Р.

Нижню і верхню межі довірчого інтервалу називають довірчими межами.

Довірчий інтервал характеризує ступінь відтворюваності результатів вимірювання.

Як випливає з визначення, для характеристики випадкової похибки необхідно мати дві характеризують її величини - довірчий інтервал і довірчу ймовірність.

Оцінка точності обчислення генеральної середньої Хо

Позначимо через £ точність наближеного рівності Х0 "Х. Тоді визначення точності обчислення генеральної середньої за даними вибірки зведеться до визначення ймовірності того, що істинне значення Х0 знаходиться в межах Х ± £ у де е> О, т. Е.

Для визначення ймовірності о- можна скористатися розбраті-

розподілом величини

Зі статистики відомо, що якщо генеральна сукупність має нормальний розподіл, то величина / при будь-якому п слідує закону Стьюдента, який має такий вираз:

де к = п - I - число ступенів свободи; Г (к) - гамма-функція

Як випливає з (5.66), значення 54 (/) залежить тільки від змінної / і числа ступенів свободи к. Тому якщо задана ймовірність а, то з (5.67) можна знайти таке позитивне число / ", яке буде залежати тільки від а і п :

ІХ-Х I

Так як і = і - І, то вираз (5.67) можна переписати в наступному вигляді:

Значення / "наводяться в довідковій літературі по статистиці. З достатньою для практичних цілей точністю значення /" можна визначити за такими рівнянням, отриманим в результаті апроксимації табличних значень для найбільш уживаних значень а = 0,9; 0,95; 0,99:

Приклад.

За вибіркою з п - 20 знайдено ЛТ = 19,235 і л = 0,08. Визначити значення генеральної середньої хй.

Розв'язання. Генеральна середня визначається довірчим інтервалом

Переймаючись ймовірністю а, наприклад, рівний 0,95, з рівняння (5.70) визначимо 7ода5л. Число ступенів свободи к = 20 - I = 19.

(Точне табличне значення одно 2,09.)

Враховуючи, що (тх = - ^ =, матимемо

Отже, з імовірністю 95% генеральна середня буде перебувати в інтервалі 19,198 <Х0 <19,272.

Оцінка точності обчислення середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності за даними вибірки

Завдання зводиться до визначення ймовірності а наближеної рівності <т0 = * л-, точність якого дорівнює е. Тут л * - середнє квадратичне відхилення вибірки з обсягу п.

Якщо відомо, що випадкова величина х у генеральній сукупності підпорядкована нормальному закону, то величина

має розподіл х ~ * диференціальна функція якого має вигляд

Визначимо ймовірність о- наближеної рівності сг0-л-

Перетворимо нерівність у дужках наступним чином, вважаючи, що л * - е> 0:

Помножимо всі члени нерівності на позитивне число з * 1к, отримаємо

Імовірність цього нерівності дорівнює інтегралу

Ліва частина цього рівняння є перетворене вираз ймовірності а = P (s - е <а0 <s + £). З урахуванням цього остаточно можна записати

Значення інтеграла Цдлк) наведено в табл. 5.1.

При числі ступенів свободи до> 30 оцінка може бути упрошу, так як величина / = ^. Де о- = -% ± = - ^ підпорядковується нормальному закону розподілу і, отже,

Вважаючи taas = е, отримаємо P (s - е <а0 <s + e) = а. Отже,

Приклад.

За вибіркою з п - 20 знайдено ^ - 0,8. Визначити ймовірність а наближеної рівності <7, = е при е ~ 0,2.

За табл. 5.1 знаходимо значення а. При до ~ 18 і q ~ 0,25 а ~ 0,849, а при до ~ 20 і q = 0,25 а = 0,868. Значення а для до ~ 19 знаходимо як середнє значення

  • 0,849 +0,868 = Q 8585i т е /> (0,8 -0,2 <<70 <0,8 + 0,2) = 0,8585 або, остаточно, Р (0,6 <<7 "
  • 5.1. Таблиця ймовірностей

Таблиця ймовірностей

Довірчі інтервали для оцінки генеральної середньої

Статистична оцінка параметра, обчислена за даними вибірки, є наближеною. Така оцінка буде мати сенс, якщо заїздив інтервал, усередині якого буде знаходитися справжнє значення параметра із заданою вірогідністю Р

Значення / можна визначити за таблицями або можна скористатися наступною апроксимацією:

де а = -6,163127-Ю-5, Ь = 1,255452, с = -2,3107156, </ = 1,0572091, е = -1,833726, / = 0,56556408, 0,4592514, до = -0,19052311.

Наприклад, для а ~ 0,95 і п- 100 значення / визначимо з рівняння

(Табличне значення / при а ~ 0,95 одно 1,96).

Отже, довірчий інтервал для генеральної середньої буде

Усередині цього інтервалу буде знаходитися невідоме середнє з імовірністю 0,95.

Значення X ± 0,196 ^ є довірчими межами для середнього значення при рівні значущості д = 1 - а = 1 - 0,95 ~~ 0,05 (5% -й рівень значимості).

Для вибірок, обсяг яких менше 25-30, величина / має розподіл Стьюдента. У цьому випадку величина / визначається з таблиць розподілу Стьюдента або обчислюється за формулами (5.69) - (5.71) для прийнятої ймовірності а і заданого числа п.

Наприклад, для а = 0,95 ип = 10 (к = п- 1 = 10-1 - 9) значення / визначимо з рівняння

(Табличне значення / при а ~ 0,95 одно 2,26).

Отже, довірчий інтервал для генеральної середньої буде

Значення ^ ± 0,71565 є довірчими межами для середнього значення при рівні значущості д = 1 - а- 1- 0,95 = 0,05 (5% -й рівень значимості).

Довірчі границі для оцінки σ0

Якщо генеральна сукупність має нормальний розподіл, то величина має ^ -розподіл з числом ступенів свободи к = п - 1.

Задавшись ймовірністю а, визначають рівень значимості а = - а, а потім два значення% г; одне для ймовірності Р = - ^, а інше для ймовірності ^ = ^ - Перше з цих значень позначимо через

у.2, а інше - у}. Тоді ймовірність того, що величина ^ - буде перебувати в межах від ^, г до х * дорівнюватиме

З вірогідністю "буде виконуватися така нерівність:

Значення х 'ДЛЯ різних значень "можна визначити за такими залежностями:

Приклад.

Визначити довірчі межі для "г, 2 при а ~ 0,96, п ~ 20.

Розв'язання. Число ступенів свободи (к = п - 1 = 20- 1 = 19), значення д = 1 - а = 1 - 0,96 = 0,04. Імовірність Р1 = 1 - = 0,98. Значення ^)

визначимо з виразу (5.84), підставляючи значення к = 19:

Імовірність = ~ = 0,02, а значення ^ 3 (ХйКЛА) визначимо з виразу (5.92)

Довірчі кордону відповідно з виразом (5.83) будуть рівні

Довірчий інтервал для Ст0 з тією ж довірчою ймовірністю

Для великих вибірок (п> 30) можна використовувати нерівність

яке після заміни £ = - ^ прийме вигляд

и2п

З рівняння (5.80) визначимо значення /.

Наприклад, для а = 95 і п = 100 значення / визначимо з рівняння

(Табличне значення / при а ~ 0,95 одно 1,96). Підставляючи значення / в рівняння (5.91), одержимо

Довірчі границі з імовірністю а ~ 0,95 будуть наступними:

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >