Обробка прямих багаторазових равноточних вимірювань

Перевірка гіпотези про равноточни результатів вимірювань розглянута в 7.3.

Багаторазові вимірювання проводяться, як правило, для зменшення впливу випадкових похибок. Результат кожного вимірювання при цьому дає оцінку вимірюваної величини.

Результат спостереження відрізняється від істинного значення вимірюваної величини через наявність випадкової Ді систематичної Дс складових похибки

Якщо систематична похибка результату вимірювань відома, то вводять поправки

Підставивши (7.12) в (7.13), отримаємо

Таким чином, завдання зводиться до встановлення оцінки х = / (х). Якщо результати вимірювань підкоряються нормальному закону розподілу, то, як вже зазначалося, оптимальної оцінкою розподілу ^ є середнє арифметичне результатів вимірювань:

У загальному випадку алгоритм обробки результатів вимірювань зводиться до наступного.

  • 1. Виключають з результатів спостережень відомі систематичні похибки. Якщо відомо, що всі результати спостережень мають однакову систематичну похибку, її виключають з результату вимірювань.
  • 2. Якщо є підозра про наявність грубих похибок, то їх виключають із результатів вимірювання, використовуючи критерії, наведені в 6.2.
  • 3. Обчислюють середнє арифметичне X виправлених результатів спостережень.
  • 4. Обчислюють оцінку середнього квадратичного відхилення результату вимірювань за формулою

5. Розраховують оцінку середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного значення за формулою

6. Визначають належність результатів вимірювань нормальному розподілу.

При числі результатів вимірювань п> 50 для перевірки цієї гіпотези використовують критерій від або х ~ <

Якщо 15 <п <50, то використовують складовою критерій (ГОСТ 8.207-

76).

При п <15 гіпотеза про нормальність розподілу не перевіряється. У цьому випадку передбачається, що вид закону розподілу відомий заздалегідь. Обробка результатів вимірювання при п <15 (див. П. 6.5).

  • 6.1. Перевірка гіпотези за допомогою критерію ^ 2.
  • 6.1.1. Визначають найменше ДГТ (п і найбільшу хт; С (значення результатів вимірювань.
  • 6.1.2. Визначають розмах варіювання Я

6.1.3. Визначають кількість інтервалів, на яке слід розбивати сукупність результатів вимірювань за формулою

де тг. () позначає цілу частину числа (округлення здійснюється в більшу сторону). 6.1.4. Визначається ціна поділки інтервалу з

Ціна поділки з повинна бути більше ціни поділки приладу, за допомогою якого вироблялися вимірювання. 6.1.5. Дані вимірювань групують по інтервалах й під-

7.1. Обчислення без застосування ЕОМ

Обчислення без застосування ЕОМ

зчитують частоти тг Якщо до деяких інтервали потрапляє менше п'яти спостережень, то такі інтервали об'єднують з сусідніми інтервалами. 6.1.6. Для кожного інтервалу визначається допоміжна величина /, за формулою

6.1.7. Визначається щільність нормованого розподілу за формулою

або за таблицями нормованого нормального розподілу.

6.1.8. Визначають теоретичну частоту ти в середині кожного інтервалу за формулою

6.1.9. Для кожного інтервалу визначають значення% 2 за формулою

(Якщо інтервали об'єднувалися, то т, і ТТ1 береться для об'єднаного інтервалу.) 6.1.10. Визначається значення критерію х ~ підсумовуванням значень х]

При обробці результатів вимірювань без застосувань ЕОМ розрахунки зручно вести відповідно до табл. 7.1.

  • 6.1.11. Визначається число ступенів свободи к = г - 3. Якщо інтервали об'єднувалися, то число ступенів свободи зменшується. Під г в такому випадку розуміється кількість інтервалів з урахуванням об'єднання.
  • 6.1.12. Задаються рівнем значущості а = 0,05; 0,1; 0,2 і т. Д., Визначають табличні значення у2 п і у2 ".Если виконується умова

то розподіл результатів вимірювань вважають нормальним.

6.2. Перевірка гіпотези за допомогою складеного критерію. 6.2.1. Визначається відношення с1:

  • 6.2.2. Вибирають рівень значимості критерію (зазвичай 0,02 <я, <0,1 або в% 2 <о, <10).
  • 6.2.3. Визначають теоретичні значення критерію йцу і ї ^

У 1 ~ 2 за наступними формулами:

формули справедливі для (І <п <50). 6.2.4. Гіпотеза про нормальність за критерієм ї приймається, якщо <1 я <ї <й. В іншому випадку відкидається.

6.3. Критерій 2 введений додатково для перевірки "кінців розподілу". Вважається, що результати спостережень відповідають нормальному розподілу, якщо не більше т різниць ^ -Л ^ перевершить значення 1РГДХ, де гр / 2 - квантиль розподілу нормованої функції Лапласа, відповідальний ймовірності Р / 2. Можливість Р визначається за п і як корінь рівняння

Для знаходження Р по заданих п і д складена табл. 7.2. При 10 <п <20 слід приймати т = 1, а при 20 <п <50 слід приймати т = 2.

6.3.1. Гіпотеза про нормальність приймається, якщо число різниць, великих tPnSx, не перевищує т.

Значення Р з рівняння

Тоді /,>, Д = 2,5807-0,206 - 0,5316.

При д ~ 0,02 і п ~ 16 з табл. 7.2 знаходимо т {т ~ I). Якщо жодне (ш - I) із значень | дг, - X | ряду вимірів не перевищує 0,5316, то гіпотеза про нормальність розподілу приймається.

6.4. Гіпотеза про нормальність приймається, якщо для перевіряється групи вимірювань виконуються обидва критерії.

Рівень значимості складеного критерію ц = я, + <УЕ, де Я - рівень значимості для критерію I ((/ -критерію); д2 - те ж, для критерію 2.

6.5. Перевірка гіпотези про закон розподілу при малому числі вимірів (10 <п <15).

При малому числі спостережень для оцінки нормальності користуються статистичної функцією розподілу результатів спостережень. Для її побудови отримані в ході вимірювання результати групують в варіаційний ряд, т. Е. Розпорядженні члени ряду в порядку зростання:

Статистичну функцію розподілу Дх,) визначають за формулою

Графік функції / ^ (х,) являє собою ступінчасту лінію, скачки якої відповідають значенням варіаційного ряду. Кожен стрибок дорівнює ^ -у, якщо все п членів ряду різні. Якщо ж для деякого х1 + х ^, = ... = х ^ до, то / "(х,) в точці х = х, зростає на -г, де к - число рівних між собою членів ряду.

Для перевірки нормальності розподілу результатів спостережень знаходять значення / ,, відповідні значенням / ^ (х,) статистичної функції розподілу / o "(/,), т. Е. Р (х)) = /" (/,):

Графічна перевірка гіпотези про закон розподілу

Рис. 7.1. Графічна перевірка гіпотези про закон розподілу

Але змінна / може бути визначена через результати спостережень як /,.=-*- і, якщо по точкам з координатами х, /, побудувати графік, то при нормальному розподілі точки розташовуються практично на одній прямій лінії (рис. 7.1). Якщо ж у результаті побудови графіка точки істотно відхиляються від прямої лінії, то гіпотезу про нормальність розподілу відкидають, як суперечить досвідченим даним.

  • 7. Знаходять довірчу похибка результату вимірювань і довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилень.
  • 7.1. Знаходження довірчих інтервалів при відомій точності вимірювань. Якщо заздалегідь відома середня квадратична похибка л **, то довірчий інтервал має вигляд

Значення / = / Визначається по заданій довірчій ймовірності /> з умови 2Ф (/) = Р.

7.2. Знаходження довірчого інтервалу при невідомої точності вимірювань. У цьому випадку використовують розподіл Стьюдента. Довірчий інтервал приймає вигляд

де к = п - I, а множник гр (к) залежить від довірчої ймовірності Р і числа вимірювань п. Рівень значимості а = I - Р.

Значення множника можна визначити за формулами (5.69) - (5.71).

Приклад. У результаті 10 вимірювань отримані наступні результати: X = 36,06, середнє квадратичне відхилення 5, - 0,25. Обчислити довірчі межі інтервалу, в якому знаходиться дійсне значення величини хс довірчою ймовірністю Р - 0,99.

Розв'язання. Число ступенів свободи к = п - 1 = 10- 1 = 9.

За формулою (5.71) визначимо множник гр (к). У даному випадку - / 0ЛЛ:

Значення величини д 'буде перебувати в діапазоні 36,06 - 0,2706 <л * <36,06 + 0,2706, т. Е. 35,789 <х <36,331.

7.3. Знаходження довірчих інтервалів для середньої квадратичної похибки.

Для знаходження довірчих інтервалів для середньої квадратичної похибки використовують розподіл х1 (рівняння (5.83) - (5.93)). 7.3.1. Визначають Рь і Р "за формулами:

  • 7.3.2. Визначають число ступенів свободи за формулою к = п - I.
  • 7.3.3. Для отриманих значень Рл і Рн по рівняннях
  • (5.83) - (5.93) знаходять відповідно значення ^ 3 і у
  • 7.3.4. Визначають довірчий інтервал для середньоквадратичного відхилення

Приклад.

У результаті 10 вимірювань отримано значення 5, = 1,3. Потрібно визначити довірчий інтервал для 5 ^ з імовірністю 0,90.

Розв'язання. Визначимо Р = - = '* 0,90 = 0,95 і Рі = - = - ^ 9- = 0,05.

в 2 2 "22

Число ступенів свободи к - п - 1 = 10- 1 = 9. За рівняння (5.85) знаходимо х *

а по рівнянню (5.91) знаходимо% 2

^ - ^ 10-1

тоді -.-- 1,3 << т0 <-г-Л, 3, т. е. істинне значення 5 з імовірністю 0,90 буде

VI 6,891 73,325 перебувати в інтервалі | 0,9489 <^ "<2,1388).

8. Визначають кордону в невиключену систематичної похибки. Якщо відомо, що похибка результату вимірювань визначається рядом складових невиключену систематичних похибок, кожна з яких має свої довірчі межі, то при невідомих законах розподілу їх межі сумарної похибки знаходять за формулою

де т - число невиключену систематичних складових похибок результату вимірювання; к - коефіцієнт, що дорівнює 1,1 при довірчій ймовірності Р = 0,95 і залежний від числа складових невиключену систематичних похибок.

9. Визначають співвідношення -.

Якщо - <0,8, то невиключену похибками нехтують і в якості кордону похибки результату вимірювання приймають д = ± 1 * 4 * 2 * 1.

Якщо -> 8, то нехтують випадкової похибкою і вважають, що Д = в.

Якщо 0,8 <- <8, то при визначенні похибки необхідно враховувати і випадкову і систематичну складову.

10. Визначають кордон похибки результату вимірювань за формулою

11. Представляють результат вимірювання та похибки для випадку

симетричних довірчих меж у формі X ± Д.

З метою скорочення часу на обробку результатів вимірювань використовується програма $ ТАТ_МТК.ВА5.

12. Визначення довірчих інтервалів, якщо гіпотеза про відповідність нормальному закону розподілу відкидається.

Якщо гіпотезу про нормальність розподілу відкидають або число вимірювань п <15, то проводять перевірку симетричності розподілу за критерієм Вілкоксона в наступному порядку.

12.1. Ряд спостережень впорядковують в порядку зростання

12.2. Визначають медіану ХУ1 за формулою

12.3. З кожного члена ряду (7.38) віднімають медіану і утворюють упорядкований ряд з різниць

У1 = х, -хі. (7.40)

  • 12.4. Відкидають різниці; (= 0і впорядковують залишилися т різниць у, за абсолютними значеннями з присвоєнням їм рангів. Найменше значення отримує ранг I, найбільше - т різницям, рівним за значенням, привласнюють середній для них ранг. У кожного рангу відзначають знак (позитивний або негативний ), відповідний знаку різниці у ,.
  • 12.5. Визначають суми позитивних і негативних рангів К * і К ~ перевіряють правильність їх обчислення за допомогою формули

12.6. В якості статистики Д для перевірки симетричності використовують меншу із сум рангів або Д ", т. Е.

12.7. Гіпотезу про симетричність відкидають, якщо обчислене значення Я рівне або менше критичного значення Я кр (т). Для т <25 критичні значення Я ^ (т) обчислюють за формулою

Я. (т) = - 24,8114681-0,03744255 / і + 0,206012931 / іЧ332,5142255-1568, ', 87? 2> 4 т пг

(7.43)

а для т> 25 їх обчислюють за формулою

  • 12.8. Якщо гіпотезу про симетричність розподілу приймають, то виробляють такі дії.
  • 12.8.1. З членів ряду (7.38) утворюють всі можливі напівсуми виду

де / '= I, 2, і; j = I, 2, і; k = 1, 2, / V;

12.8.2. Ряд Zk впорядковують за зростанням

12.8.3. В якості оцінки результатів вимірювання приймають медіану ряду (7.46)

12.8.4. В якості похибки результату вимірювання приймається полушіріна довірчого інтервалу для медіани ряду за формулою

де 5 і Я - порядкові номери членів з ряду (7.46). Числові значення 5 і Д визначаються за формулами (для Р = 0,95)

  • 12.9. Якщо гіпотезу про симетричність розподілу відкидають, то виробляють такі дії.
  • 12.9.1. В якості оцінки результатів вимірювання приймають медіану ряду (7.39)

12.9.2. В якості похибки результату вимірювання приймається полушіріна довірчого інтервалу для медіани ряду за формулою

де 5і Л - порядкові номери членів з ряду (7.39). Числові значення 5 і Д визначаються з табл. 7.3.

7.3. Номери членів упорядкованого ряду для визначення меж довірчого інтервалу для медіани при довірчій ймовірності (Р = 0,95)

Номери членів упорядкованого ряду для визначення меж довірчого інтервалу для медіани при довірчій ймовірності (Р = 0,95)

Приклад.

У результаті вимірів отриманий наступний ряд:

10,416; 10,482; 10,511; 10,782; 10,414; 10,498; 10,564; 10,534; 10,712; 10,401; 10,535; 10,637.

Розв'язання. Впорядкуємо ряд по зростанню значень:

10,401; 10,414; 10,416; 10,482; 10,498; 10,511; 10,534; 10,535; 10,564; 10,637; 10,712; 10,782. Визначимо медіану (п - парне)

З кожного члена упорядкованого ряду віднімемо медіану, отримаємо: -0,1215; -0,1085; -0,1065; -0,0405; -0,0245; -0,0115; 0,0115; 0; 0125; 0,0415; 0,1145; 0,1895; 0,2595.

Впорядкуємо різниці в порядку зростання за абсолютною величиною: 0,0115; 0,0115; 0,0125; 0,0245; 0,0405; 0,0415; 0,1065; 0,1085; 0,1145; 0,1215; 0,1895; 0,2595.

Привласнимо різницям ранги 0,0115 (I); 0,0115 (2); 0,0125 (3); 0,0245 (4); 0,0405 (5); 0,0415 (6); 0,1065 (7); 0,1085 (8); 0,1145 (9); 0,1215 (10); 0,1895 (II); 0,2595 (12).

Так як перше і друге значення рівні, то їм присвоюється середній ранг

  • 1 + 2 - = 1,5. З урахуванням знаків різниць ранги будуть відповідно рівні:
    • -1,5; 1,5; 3; -4; -5; 6; -7; -8; 9; -10; 11; 12.

Сума негативних рангів / Г = -1,5 - 4 - 5 - 7 - 8- 10 = -35,5. Сума позитивних рангів Л * ~ 1,5+ 3 + 6 + 9+ II + 12 - 42,5.

Критичне значення критерію

Так як Л> Л ^ .12) (45,01> 35,5), то гіпотезу про симетричність ряду вимірювань слід прийняти.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >