Обробка результатів неравноточних вимірювань

Якщо обробці підлягають ряди вимірів, виконані в різних умовах або різними операторами або в різний час, то для оцінки дійсного значення вимірюваної величини необхідно перевірити їх на равноточни.

Для перевірки гіпотези равноточни двох рядів, що складаються з і, і я, результатів вимірювань, обчислюють емпіричні дисперсійним

Потім знаходять дисперсійне відношення / * = Я ^ / Я1 !, яке складається так, щоб 5,>

Вимірювання вважаються неравноточних, якщо Т7 потрапляє в критичну область, т. Е. / *> ^.

Значення Ря для різних рівнів значимості ц і ступенів свободи ку = п1 - 1 і = п2 - 1 беруться з таблиці критерію Фішера або визначаються за апроксимується рівнянням.

Для перевірки равноточни результатів вимірювань застосовується також критерій Романовського Я Для цього визначають ставлення

Результати спостережень вважаються равноточнимі, якщо Д <3.

Обробка нерівноточних вимірювань зводиться до визначення достовірного значення вимірюваної величини та оцінці відтворюваності вимірювань.

Нехай деяка величина X була виміряна багаторазово різними операторами і в різних умовах. У процесі вимірювань отримані наступні результати ХХУ х ,, хп із середніми квадратичними відхиленнями 52, л ", то найбільш ймовірне значення ^ може бути знайдено за формулою

и1

Для зручності обчислень за цією формулою вводять ваги />, = -,

де / г - деякий коефіцієнт, вибраний таким чином, щоб ставлення ^ - було близьким до одиниці.

З урахуванням цього формулу (7.51) можна переписати наступним чином:

Середнє квадратичне відхилення результатів вимірювань обчислюється за формулою

а для оцінки середнього квадратичного відхилення 5 ^ вагового середнього Хр використовується формула

Якщо значення не обчислювалися, а відомі лише середні значення вимірюваної величини в кожній / -Й серії (ДГ,) і кількість спостережень пп то вагове середнє обчислюється за формулою

Приклад.

Виконано шість серій вимірювань значення розміру і отримані наступні результати: значення розміру в серії 20,617; 20,666; 20,643; 20,635; 20,629 і 20,654; середнє квадратичне відхилення розміру в / -й серії 32; 24; 18; 20; 16; 16.

Рішення.

  • 1. Виберемо значення // 'рівним, наприклад, 24 (значення середнього квадратичного відхилення в другій серії - 2 і
  • 2. Обчислимо ваги р, за формулою р, = - ^ -. Отримаємо відповідно: 0,5625; 1;
  • 1,778; 1,44; 2,25 і 2,25.
  • 3. Обчислимо вагове середнє

4. Обчислимо середнє квадратичне результатів вимірювань 5

5. Обчислимо середнє квадратичне відхилення * ^ вагового середнього за формулою

6. Результат представимо у вигляді

Обробка результатів непрямих вимірювань

При непрямих вимірах значення шуканої величини знаходять на підставі відомої залежності, що зв'язує її з іншими величинами, отриманими прямими вимірами.

Розглянемо найпростіший випадок, коли побічно вимірювана величина є сумою або різницею величин, що визначаються прямими вимірами, т. Е.

Так як результати прямих вимірювань величин X і У (після виключення систематичних похибок) включають в себе деякі випадкові похибки, то формулу непрямого виміру суми можна переписати у вигляді

гдеЛ У - середні арифметичні (або середні зважені), отримані при обробці результатів прямих вимірювань величин X і У; АХ, АУ - випадкові похибки середніх значень величин X

і У2 і А2 - оцінка істинного значення побічно вимірюваної величини і його випадкова похибка.

Таким чином, з рівняння (7.57) виходить, що Z буде дорівнює

сумі оцінок X ИУУ а випадкові похибки АХ і АУ в сумі дадуть випадкову похибку АЖ

Математичне сподівання oцeнкі Z одно, очевидно, істинного значення шуканої величини:

і її дисперсія відповідно дорівнює:

З (7.60) випливає, що дисперсія суми двох доданків величин крім суми дисперсій цих величин включає ще подвоєне математичне очікування твори похибок, яке називають кореляційним моментом. Кореляційний момент визначає ступінь тісноти "лінійної" зв'язку між похибками. Через кореляційний момент виражається безрозмірна величина, що отримала назву коефіцієнта кореляції гху

З урахуванням формули (7.61) рівняння (7.60) набуде вигляду

Якщо побічно вимірювана величина є різницею величин, що визначаються прямими вимірами, т. Е. Z = Х - У, то

Якщо похибки вимірювання величин Хі кне корельовані, то

Теоретичні дисперсії розподілу прямих результатів вимірювань випадкових величин Хі У, як правило, невідомі. У цьому випадку оцінка дисперсії результату непрямих вимірювань визначається через оцінки дисперсій

У формулі (7.65) знак плюс відповідає умові Z = X + К, а знак мінус умові Z = X - У

Оцінки коефіцієнта кореляції обчислюють на підставі результатів спостережень вихідних величин:

Значення коефіцієнта кореляції лежать в інтервалі - 1 <г "£ 1. Чим ближче значення коефіцієнта кореляції до одиниці, тим тісніше зв'язок між величинами Хі У.

Якщо Гю> 0, то має місце позитивна кореляція, т. Е. Величини Хі До змінюються узгоджено в одному напрямку - збільшення однієї величини тягне за собою збільшення інший.

Якщо гху <О, то має місце негативна кореляція - збільшення однієї величини супроводжується зменшенням інший. Якщо гху = О, то величини Хі кне корельовані. Якщо потрібно оцінити справжнє значення величини г, яка пов'язана з багатьма величинами х, (/ '= I, 2, т), вимірюваними прямим способом

(у загальному випадку - нелінійним), то поступають таким чином.

Розглядаючи / як функцію т змінних л ;, запишемо її повний диференціал

Кожна з величин х виміряна з деякою погрішністю Дх ,. Вважаючи, що похибки Дх, малі, можемо замінити АХ1 на Ах ;.

У виразі (7.69) кожний доданок - ^ - Ах. являє собою дх, приватну похибка результату непрямого вимірювання, викликану похибкою Дх, визначення величини х ,. Приватні похідні носять назви коефіцієнтів впливу відповідних похибок.

Формула (7.69) є наближеною, оскільки враховує тільки лінійну частину приросту функції, однак у більшості практичних випадків вона забезпечує задовільну точність оцінки похибок результатів непрямих вимірювань.

Систематичні похибки Д "х ,, якщо вони визначені або відомі, використовуються для визначення систематичної похибки Ді ^ з урахуванням їх знаків підстановкою в (7.69).

Ця ж формула використовується і для визначення граничної похибки побічно вимірюваної величини за граничними погрішностей аргументів.

Розглянемо оцінки випадкових похибок результатів непрямих вимірювань. Припустимо, що величини х, виміряні з випадковими похибками ДХМ мають нульові математичні очікування М (Ах) = 0 і дисперсії <Т2Х ■ Знайдемо вирази для математичного очікування М (Аг) і дисперсії <г (Аг) похибки Д ^, беручи до уваги ( 7.69):

де ги - коефіцієнти кореляції похибок всіх випробувань у та /, крім / '= /

Якщо похибки ДДГ, некорреліровани, то

В якості оцінки побічно вимірюваної величини приймається величина / Г, значення якої визначається за наступною формулою:

Дисперсія цієї оцінки визначається за формулою (7.71).

Коефіцієнти впливу, наведені у формулах, у разі нелінійної функції / залежать від значень величин хг Коефіцієнти впливу визначаються підстановкою у вираз приватних похідних оцінок відповідних параметрів, що є додатковим джерелом похибки. При експериментальному визначенні коефіцієнтів впливу також виникає похибка їх визначення.

Приклад.

Визначити момент інерції круглої платформи, пов'язаний формулою

з наступними величинами, вимірюваними прямими способами: Я = (I1,50 ± 0,05) 10 "! м - радіус платформи; г = (10,00 ± 0,05) Ю" г м - радіус верхнього диска підвісу; / = (233,0 ± 0,2) 10 "! М - довжина ниток підвісу; т - (125,7 ± 0,1) 10" * 'кг - маса платформи; Т ~ (2,81 ± 0,01) с - період малих коливань платформи; g ~ 9,81 м-с "! - прискорення вільного падіння; я = 3,14.

Результати наведені з середніми квадратичними відхиленнями.

Рішення. Підставляючи в вихідну формулу середні арифметичні значення вимірюваних прямими способами величин і заокруглені значення постійних, отримаємо оцінку істинного значення моментів інерції платформи:

так як результат повинен бути заокруглений до трьох значущих цифр.

Для оцінки точності отриманого результату обчислимо приватні похідні і приватні похибки непрямих вимірювань:

Таким чином, середнє квадратичне відхилення непрямого вимірювання моменту інерції платформи складе

Остаточно результат непрямого вимірювання записується у вигляді

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >