ОПЕРАЦІЇ НАД НЕЧІТКИМИ МНОЖИНАМИ

Операції над нечіткими множинами мають три особливості [12]: по-перше, вага операції над нечіткими множинами є узагальненнями операцій над класичними множинами. Так як можливі різні варіанти узагальнення, це призводить до різних варіантів операцій над нечіткими множинами. По-друге, виконання операцій над нечіткими множинами можливо, коли нечіткі множини визначені на одному і тому ж универсуме. По-третє, операції над нечіткими множинами зводяться до операцій над їх функціями належності. З урахуванням цих особливостей розглянемо основні операції над нечіткими множинами. Детально ці операції висвітлені в [4, 12, 14]. Слід помститися, що не всі аксіоми теорії множин виконуються для операцій над нечіткими множинами [4, 14].

Нехай А і В нечіткі множини, задані на універсальній множині X. Нечіткі безлічі А і В вважаються рівними, якщо їх функції приналежності приймають рівні значення на всьому універсумі ц А (, y) = ju B (х) / х е X.

Рівність нечітких множин записується як А - В .

Рівність нечітких множин

Мал. 9 - Рівність нечітких множин

Нечітке безліч А називається невласних підмножиною нечіткої множини В (записується як А ^ В), якщо v - v е х.

Нечітке безліч А називається власним підмножиною нечіткої множини В (записується як AczB), якщо

/ J a ( x ) < Vb ( x ) VxeX -

Операції об'єднання і перетину нечітких множин можуть бути визначені різними способами в залежності від особливостей конкретних завдань. Ці операції зручно описувати, користуючись поняттями трикутної норми і трикутної конорми [4, 12,14].

Трикутна норма (Т-норма, t-норма) - це функція, яка діє на інтервалі [0, 1] і задовольняє таким аксіомам:

Трикутна конорма (Т-конорма, s-норма) - це функція, яка діє на інтервалі [0, 1] і задовольняє таким аксіомам:

Ці дві трикутні норми відрізняються тільки аксіомами обмеженості.

Найпростішими прикладами t-норм і s-норм є наступні [5, 25, 27]:

У нечіткому висновку використовуються також зважені t-норми і s-норми:

22

Можливо узагальнення трикутних норм на випадок декількох змінних.

У загальному вигляді перетином нечітких множин А і В, заданих на одному универсуме X, називають третьою нечітка множина С, заданий на цьому ж универсуме, функція приналежності якого визначається наступним чином

де Т t-норма.

Різні реалізації t-норми призводять до різних реалізацій операції перетину нечітких множин [22, 25].

Операція min-перетину, або л-перетину Ап 5определяется функцією приналежності (рис. 10):

Операція алгебраїчного перетину, або prod-перетину А * В визначається функцією приналежності

Результат операції перетину двох нескінченних нечітких множин зручно зобразити графічно (рис. 10).

Графічне представлення операції min-перетину трикутних і П-подібних функцій приналежності

Мал. 10 -Графічне представлення операції min-перетину трикутних і П-подібних функцій приналежності

Операція граничного перетину А ° В визначається функцією приналежності // ^ fl (jr) = rnax {// l (x) + // B (jr) -l, 0} членах.

Операція драстіческого перетину (від англ, drastic - рішучий, радикальний) Аав визначається функцією приналежності

Операція перетину Ягер (Yager R.) [4] визначається функцією приналежності

У загальному вигляді об'єднанням нечітких множин А і В, заданих на одному универсуме X, називають третьою нечітка множина С, заданий на цьому ж универсуме, функція приналежності якого визначається наступним чином Нд (д) = / i AkjB (д) = 5 '(/ / | (д), // "(д)), де S - s-норма (t-конорма).

Різні реалізації s-норми призводять до різних реалізацій операції перетину нечітких множин [12, 14].

Операція max-об'єднання, або v-об'єднання AvjВ визначається функцією приналежності

Операція алгебраїчного об'єднання А + В визначається функцією приналежності

Результат операції об'єднання двох нескінченних нечітких множин зручно зобразити графічно (рис. 11).

Графічне представлення операції max-об'єднання для трикутних і П-подібних функцій приналежності

Мал. 11 - Графічне представлення операції max-об'єднання для трикутних і П-подібних функцій приналежності

Операція граничного об'єднання А © В визначається функцією приналежності: / г / | 0в (т) = т1п | // /) (.т) - // й (д :), 1} V, ygX.

Операція драстіческого об'єднання / IV В визначається функцією приналежності.

Операція об'єднання Ягер визначається функцією приналежності

Різницею нечітких множин А і В, заданих на одному универсуме X, називають третьою нечітка множина С = А В, задане па цьому ж универсуме, функція приналежності якого визначається наступним чином

Операція різниці не є комутативність, тобто А В * В А. За аналогією зі звичайними множинами іноді застосовують операцію симетричною різниці С = А - В, функція приналежності якого визначається наступним чином

Нд (*) = в, -в М = в А (*) - У в (*) | %? Х.

Результат операції різниці двох нескінченних нечітких множин зручно зобразити графічно (рис. 12).

Графічне представлення операції різниці і симетричною різниці для трикутних функцій належності

Мал. 12 - Графічне представлення операції різниці і симетричною різниці для трикутних функцій належності

Операція доповнення (інверсії) нечіткої множини А (позначається через А ) визначається функцією приналежності Нд (х) = ВА х ) = 1 -Вл (х) Vx € X.

Наведену операцію називають ще інверсією Заде.

Графічне представлення операції доповнення для П-образних функцій приналежності

Мал. 13 - Графічне представлення операції доповнення для П-образних функцій приналежності

Відомі також інверсія Ягер р з (*) = (1 " хР ) р * Р > 0 і

1 - X

інверсія Сугено р> - 1.

Якщо Я - довільне нечітка множина, задана на універсумі X, а - позитивне число, причому ah A < 1, де 4 - висота безлічі, то результат множення нечіткої множини А на число а визначається як нечітка множина С = а А, заданий на цьому ж универсуме X , функція приналежності кото рого дорівнює Іс { х ) = . (*) = а І, (*) Vxе X.

Результатом операції зведення нечіткої множини А , заданого на універсумі X , в ступінь до , де до - позитивне дійсне число, є нечітка множина С, функція приналежності якого визначається за формулою: Іс { х ) - {РЛ { х )) V * eX. Операцію зведення в ступінь позначають як А до .

Для створення нечітких множин, які є похідними від деяких раніше заданих, використовуються лінгвістичні модифікатори. Наприклад, якщо є нечітка множина «холодний», то на його основі за допомогою лінгвістичних модифікаторів можна отримати безлічі «дуже холодний» або «більш-менш холодний».

Існують три основних лінгвістичних модифікатора (оператора):

  • - оператор концентрування;
  • - оператор розтягування;
  • - оператор підвищення / пониження контрастності.

Операція концентрування, застосована до нечіткій множині Л, дасть нове нечітка множина С, функція приналежності якого визначається формулою:

Операція концентрування позначається через С = соп (Л) - від англ, concentration - концентрування.

Операція розтягування, що позначається через СШ (Л) (від англ.

dilatation - розтягнення), дає в результаті нечітка множина С, функція приналежності якого визначається формулою

Ас (*) = A d , M) М = (А, (*) Г s х

Операція концентрування призводить до зменшення ступеня приналежності нечіткої множини, а операція розтягування - до збільшення ступеня приналежності.

Результат дії операторів концентрування і розтягування на трикутну функцію належності представлений на рис. 14.

Графічне представлення дії операції концентрування (а) і розтягування (б) для трикутної функції приналежності

Мал. 14 - Графічне представлення дії операції концентрування (а) і розтягування (б) для трикутної функції приналежності

Межі між нечіткими множинами є розмитими. Оператор підвищення контрастності (int - від англ, intensification - посилення, підвищення) призводить нечіткі множини до більш чіткому увазі. Змінюючи кути нахилу гілок функції приналежності, він дозволяє більш чітко виділяти кордону переходу від одного нечіткої множини до іншого. Операція підвищення контрастності, застосована до нечіткій множині А, дає в результаті нечітка множина С, функція приналежності якого визначається формулою

де п - ціле число, зазвичай п = 2.

При прагненні п до нескінченності функція приналежності бере прямокутну форму, а нечітка множина перетворюється на звичайне чітке безліч з чіткими кордонами.

Операція зниження контрастності (позначається иг - від англ, blurring - розмивання), застосована до нечіткій множині А , дає в результаті нечітка множина С, функція приналежності якого визначається формулою

де п - ціле число, зазвичай п = 2.

При прагненні п до нескінченності нечітка множина перетворюється в точку, яка збігається із середнім значенням ядра нечіткої множини (з модальним значенням нечіткого безлічі).

Графічне представлення дії операторів підвищення і зниження контрастності на функцію приналежності представлений на рис. 15.

Графічне представлення дії операції підвищення (а) і зниження (б) контрастності для т = 2

Мал. 15 Графічне представлення дії операції підвищення (а) і зниження (б) контрастності для т = 2

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >