НЕЧІТКІ ВІДНОСИНИ

Розглянуті нечіткі множини мали в якості області визначення одномірне простір. В нечітких системах найчастіше областю визначення нечітких множин є багатовимірні простору. При цьому особливий інтерес представляють безлічі з двовимірної областю визначення. Нечіткі множини на багато мірних областях визначення задаються як нечіткі відносини. Нечітким k-арним ставленням, заданим на безлічі (універсуму) X h Х 2 , ..., Х К9 називається нечітка множина R , певне на декартовом творі

х Х 2 х ... х Х до . Іншими словами, нечітке відношення - це мно- жсство пар /? = (* ,, * ,, ..., **), Mr ((* "ДГ 2 , .. **})}, де (*" * 2 , .. х до ) - кортеж з до елементів , кожен з яких вибирається зі свого універсуму: ДГ, е X ,, лг 2 е Х ,, ..., л * € Х до , •••> **)) _ функція

приналежності нечіткого відносини, яка визначається як відображення // *: е X ,, х 2 € Х 2 , ..., x t е X * -> • [0,1]. Нагадаємо, що декартових твором кінцевого числа множин Х х х Х 2 х ... * Х до називається безліч всіх кортежів (* ,, л; 2 , ..., х до ) довжини до , складених з елементів цих множин: € X ,, х, е х 2 , ..., х до е х до .

Ставлення (чітка або нечітке), побудоване на основі двох множин, називається бінарним, на основі трьох множин - тернарного, на основі до множин - / г-арним. Ставлення може бути задано на одному универсуме. Наприклад, бінарне нечітке відношення, задане на універсумі X , має вигляд R = (* ,, *, •), / '({* ,, *,})}, при цьому -V, 6 X і Xj 6 X.

Нечіткі відносини можуть бути задані різними способами:

  • - у формі списку з явним перерахуванням всіх кортежів відносини і відповідних їм функцій приналежності. Це спосіб застосовується для відносин з невеликим числом кортежів;
  • - аналітично у формі вираження для функції приналежності;
  • - для бінарних відносин додатково можуть бути використані наступні способи:

графічно у вигляді деякої поверхні. При цьому незалежними змінними є значення універсумів Х х і Х 2 , а третя координата є відповідне значення функції приналежності;

у вигляді матриці кінцевого бінарного відносини, рядки якої відповідають першим елементам кортежів, а стовпці - другим елементів кортежів. Елементами матриці є відповідні значення функції приналежності;

у вигляді нечіткого графа, вершини якого відповідають елементам універсумів Х х і Х 2 , а дуга, що з'єднує вершини x t ох і х у . е X, показує, що кортеж (^ х п х ^ входить в відношення. Біля кожної дуги вказується функція приналежності відповідного кортежу.

Розглянемо приклад. Нехай дано два безлічі: Xj = {# ,, а 2 , ..., а 6 } - безліч користувачів Internet і

Х 2 = {/? ,,} - безліч Internet. декартово твір

X, х Х 2 в матричної формі має вигляд

Прикладом нечіткого відносини, заданого на X, х Х 2 , є ставлення «Користуватися браузером». У матричної формі кожен елемент такого ставлення функцію приналежності, в нашому прикладі - ступінь популярності у кожного користувача кожного браузера.

Так як нечітке відношення є нечітким безліччю, то зберігаються визначення над відносинами. Наприклад, [12], перетином двох нечітких відносин

, / J r ((х ,, х 2 , ..., jc *))} називається нечітке відношення S , задане на цьому ж декартовом творі універсумів X, х Х 2 х ... * Х до , функція приналежності якого визначається за формулою

Об'єднанням двох нечітких відносин Q і R називається нечітке відношення S , задане на цьому ж декартовом творі універсумів X, * Х 2 * ... х Х до , функція приналежності якого визначається за формулою

Операції над нечіткими відносинами можуть бути визначені за допомогою t-норм і s-норм.

Найчастіше потрібно виконати операції над нечіткими множинами, які ви зробили на різних універсуму ^ ", і X ,. Такі множини за допомогою операції циліндричного продовження (розширення) попередньо приводять до нечітким відносин, заданих па декартовом творі X t і Х 2 , а потім виконують операцію над відносинами, які ви зробили на одному универсуме. Циліндрове продовження визначається наступним чином [14]. Нехай Х у ІХ 2 - чіткі безлічі (функції приналежності елементів яких дорівнюють одиниці), а а - нечітка множина, задана на Х { . Ц іліндріческім продовженням А * безлічі А на область визначення X t х Х 2 називається відношення, що представляє собою декартовій твір А XX ,. Функція приналежності А * має вигляд

У матричному поданні відносини А * стовпці матриці функцій приналежності будуть однаковими і рівними значенням функції приналежності нечіткого безлічі А *.

Використовується також операція проекції, протилежна циліндричного продовження. Якщо А - нечітке відношення з областю визначення X, х Х 2 , то проекцією цього відносини на безліч Х 1 називається нечітка множина А *, функція приналежності якого має вигляд М (* ,, х 2 ) = max / л А (х ,, х 2 ).

Розглянемо також операцію композиції (комбінації) бінарних відносин. Нехай бінарне нечітке відношення Q = f (* ; > x j)> Mq ((• *, » x j )) | задано на декартовом творі Х ] х Х 2 , а нечітке відношення R = {(*,> / * R y {x J9 ^})} задано на декартовом творі Х 2 х Х у композицією бінарних відносин Q і R називається нечітке бінарне відношення , що позначається через Q®R (використовується також позначення Q®R [18]), заданий на декартовом творі X , х функція приналежності якого определяет- ся формулою H Q & R ((xj, х до }) = max jmin | // у ( {х "х ,.}), ({х ; 1 х до ))} J,

V {x i , X () eX l xXj.

Таку композицію називають ще (тах-тт) -композиції або максиминной сверткой нечітких відносин.

Замість операції в композиції можна використовувати операцію

Важливу роль в нечіткому висновку грає композиція (комбінація) нечіткої множини / 1сХі нечіткого відносини ЛсХх Y, яка позначається A® R (або A® R) і визначається як нечітка множина 5cY і функцією приналежності [18]

Замість операції min в композиції можна використовувати операцію prod. Більш детально з операціями над нечіткими відносинами можна познайомитися в [4, 12, 14, 18].

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >