Навігація
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Головна arrow Природознавство arrow ТЕХНІЧНА ТЕРМОДИНАМІКА ТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Переглянути оригінал

ТЕПЛОВИЙ ПОТІК. ВЕКТОРНА І СКАЛЯРНА ФОРМИ ЗАКОНУ ФУР'Є

У тілі, що не знаходиться в повному тепловому рівновазі (тобто володіє нерівномірним розподілом температури), завжди відбувається перенос теплоти. Звідси випливає, що для передачі теплоти теплопровідністю необхідно нерівність нулю температурного градієнта. У цьому сенсі температурний градієнт є основним фізичним параметром, що визначає умова виникнення теплового процесу. Отже, співвідношення grad Т^ Про є необхідною умовою виникнення всередині тіла теплового потоку. Тепловий потік на відміну від температури (величини скалярної) має цілком певний напрям, а саме: від точок тіла з більш високою температурою до точок з більш низькою температурою. Таким чином, тепловий потік можна розглядати як вектор, спрямований у бік зменшення температури, а поле теплових потоків - векторним. Для математичного опису поля теплових потоків вводиться вектор q , званий вектором щільності теплового потоку. Під вектором щільності теплового потоку в точці Мтемпературного поля розуміється вектор, напрям якого збігається з напрямком переносу теплоти. Абсолютна величина цього вектора висловлює тепловий потік, вимірюваний кількістю теплоти, що проходить в одиницю часу через одиницю площі поверхні, перпендикулярної напрямку потоку в даній точці. Позначимо через dQ кількість теплоти, що проходить через ізотермічну поверхню площі do за час dt. Тоді абсолютне значення вектора щільності теплового потоку можна записати у вигляді рівності

Формула (1.10) характеризує щільність теплового потоку одиничного елемента ізотермічної поверхні. Поняття щільності теплового потокать як буде показано нижче, може бути застосовано до будь-якої, а не тільки до ізотермічної поверхні.

Досвід показує, що передача теплоти теплопровідністю відбувається по нормалі до ізотермічної поверхні від ділянок тіла з більшою температурою до ділянок з меншою температурою. Отже, вектор щільності теплового потоку спрямований по нормалі до ізотермічної поверхні в напрямку зменшення температури. Можна говорити про щільність теплового потоку і уздовж будь-якого іншого напряму /, відмінного від напрямку нормалі п. У цьому випадку щільність теплового потоку в напрямку / є проекція вектора q на цей напрямок, тобто величина gcos (w, /).

Ідея про існування органічного зв'язку між вектором щільності теплового потоку і температурним градієнтом лягла в основу вчення, створеного Ж. Фур'є. Суть його гіпотези полягає в тому, що тепловий потік через елемент ізотермічної поверхні цілком визначається значенням температурного градієнта в даній точці М. Дійсний сенс зв'язку з цим полягає в тому, що теплові потоки в середовищі завжди виразно спрямовані. Виникнення теплових потоків уздовж ізотермічних поверхонь неможливо, так як по всій ізотермічної поверхні складова градієнта температури дорівнює нулю. Отже, вектори щільності теплового потоку q і grad Т спрямовані по нормалі до ізотермічної поверхні, але в протилежні сторони (рис. 1.5).

Зі збільшенням перепаду температур, тобто зі зростанням температурного градієнта, збільшується і щільність теплового потоку. Досліди показали, що щільність теплового потоку можна вважати пропорційною пров Напрями векторів щільності теплового потоку і градієнта температури

Мал. 1.5. Напрями векторів щільності теплового потоку і градієнта температури

го ступеня питомої перепаду температури. Це і стало основою гіпотези Фур'є про наявність найпростішої кількісної залежності між абсолютними значеннями векторів щільності теплового потоку і температурного градієнта. На основі цих даних, а також міркувань про протилежному напрямку цих векторів закон Фур'є в векторному вигляді записується у вигляді рівняння

Цей закон, сформульований у вигляді гіпотези, був підтверджений численними дослідами. Вираз (1.11) використовується при виведенні рівнянь, що описують механізм процесу теплопровідності.

Наочне уявлення про миттєве розподілі потоків теплоти можуть дати лінії, дотичні до яких в кожній точці температурного поля збігаються з відповідними нормалями до ізотермічних поверхонь. Такі лінії називаються лініями теплового потоку (див. Рис. 1.5).

Коефіцієнт пропорційності А називається теплопровідністю і є фізичною константою, що характеризує теплопровідні властивості матеріалу даного тіла. Підставляючи в рівняння (1.11) одиниці q і температурного градієнта, знайдемо одиницю виміру для X: Вт / (мК).

Числове значення теплопровідності визначає кількість теплоти, що проходить через одиницю площі ізотермічної поверхні за одиницю часу при градієнті температури, що дорівнює одиниці. Подібно до інших величинам цього ряду (питома теплоємність, електричний опір, модуль пружності і т.п.), значення теплопровідності в загальному випадку залежить від природи речовини, його структури, вологості, тиску, температури і інших чинників. У більшості випадків теплопровідність X для різних матеріалів визначається дослідним шляхом. З підвищенням температури А, зростає, а від тиску вона практично не залежить.

Залежність теплопровідності від температури в загальному випадку досить складна, проте для більшості твердих тіл, рідин і газів при помірних температурах вона виявляється майже лінійної:

де Ао - теплопровідність при температурі 7 ' 0 ; b - постійна, що визначається досвідченим шляхом.

У класичній аналітичної теорії теплопровідності величина X для спрощення висновків вважається постійною (тобто ДХ / дт = 0).

Співвідношення (1.10) запишемо у вигляді

Як зазначалося вище, нормаль п до елементу da ізотермічної поверхні може мати два напрямки (напрямні косинуси цих напрямків відрізняються тільки знаками). Домовимося вважати тепловий потік позитивним, якщо його напрямок збігається з вибраним напрямком нормалі, і негативним, якщо воно йому протилежно. Для абсолютних значень векторів, що входять в рівність (1.11), випливає, що q = A] grad Т |. Тепер в рівність (1.8) необхідно поставити знак «мінус», тобто | grad Т = -дТ / дп і

Дійсно, для нормалі, що збігається з напрямком градієнта, маємо дт / дп> 0; перенос ж теплоти відбувається завжди в напрямку зменшення температури, тобто в протилежну сторону, і, отже, має бути AQ <0, або, що те ж саме, q <0, що і пояснює знак «мінус» у формулі (1.13). Змінивши напрямок нормалі на протилежне, маємо дт / дп <0, але тоді AQ> 0 і, отже, знак «мінус» зберігається. Підставляючи тепер в (1.12) замість q праву частину рівності (1.13), можна записати закон Фур'є в скалярною формі:

Вираз (1.14) визначає кількість теплоти, що проходить через елементарний ділянку da ізотермічної поверхні за час dt у напрямку нормалі до площадки (рис. 1.6). Кількість теплоти, що минув за час t через ізотермічну поверхню кінцевих розмірів площею а, буде визначатися по співвідношенню

Тепловий потік може бути визначений уздовж будь-якого напрямку через площу, перпендикулярну цьому напрямку. Однак на практиці часто зустрічаються випадки, коли майданчик орієнтована в поле довільним

неї. 1.6. изотермическая поверхню

Схема до визначення теплового потоку

Мал. 1.7. Схема до визначення теплового потоку

ним чином. Покажемо, що рівність (1.14) справедливо для будь-яких поверхонь, а не тільки для ізотермічних.

Виберемо довільну елементарну площадку (IF так, щоб кут між нормаллю / до неї і вектором щільності теплового потоку q " в даній точці дорівнював (р (рис. 1.7). Потік теплоти по нормалі п в напрямку I можна обчислити, використовуючи співвідношення (1.10 ) і (1.14)

так як і = / cos пор.

Звідси знаходимо, що

Загальна кількість теплоти, що протікає за час t через кінцеву площу поверхні F,

В окремому випадку, коли тепловий режим стаціонарний і температурний градієнт однаковий по всій площі поверхні F, можна записати

Таким чином, для визначення кількості теплоти, що проходить через будь-яку площу поверхні твердого тіла, потрібно знати температурне поле всередині даного тіла, що становить головне завдання аналітичної теорії теплопровідності.

Так як qi є складовою вектора щільності теплового потоку q n , тобто qi = q "cos <р, то з цього рівняння випливає, що найбільшим тепловим потоком, віднесених до одиниці площі поверхні, буде той, який розрахований уздовж нормалі п до ізотермічної поверхні [c7acos (cp = 0) = 1].

У цьому параграфі не розглядаються випадки теплопровідності, ускладнені анізотропією. Для таких речовин, як деревина, слюда і т.зв., теплопровідність X залежить від напрямку, тому просте правило косинусів для отримання складової # / несправедливо.

Якщо спроектувати вектор щільності теплового потоку на координатні осі, то відповідно до його визначенням (1.11) можна записати

Теплові потоки, виражені співвідношеннями (1.18), є складовими вектора щільності теплового потоку.

 
Переглянути оригінал
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук