Навігація
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Головна arrow Природознавство arrow ТЕХНІЧНА ТЕРМОДИНАМІКА ТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Переглянути оригінал

КРАЙОВІ УМОВИ

Перейдемо до формулювання початкового і граничного умов, яким повинна задовольняти функція Т (х, у, z, t ) = Т {М, t), що описує розподіл температури в деякому тілі.

Початкова умова для рівняння теплопровідності полягає в завданні температури у всіх точках області в момент t = 0, від якого ведеться відлік часу:

де функція Ф 0 (М) неперервна в усіх точках області. У разі рівномірного розподілу температури в тілі початкова умова спрощується:

Умова (2.1) означає, що слід знайти таке рішення Т (М, ^ теплової задачі, що у міру наближення часу до початкового значення прагнуло б у всіх точках області до заданій величині Ф 0 (Л "/):

Розуміння початкового умови (2.1) в граничному значенні (2.3) пояснюється виключно тими класами конкретних функцій, якими описуються рішення крайових задач рівняння теплопровідності. Ці функції в багатьох випадках не мають сенсу при t = О, проте допускають граничний перехід при t - *? Наприклад, функція

є рішенням рівняння теплопровідності дт / dt = а (д 2 ТДХ 2 ) з початковою умовою Т (х, 0) = Ф 0 (ж), х > 0. Співвідношення (2.4) не визначене при t = 0, однак якщо Фо ( .р) - безперервна функція, то можна показати, що

Граничні умови (умови теплового взаємодії тіла з навколишнім середовищем) можуть бути задані в різній формі в залежності від характеру процесу. У тих випадках, коли на кордоні тіла не відбувається ніяких процесів з поглинанням або виділенням теплоти і відсутній теплообмін випромінюванням, завдання граничної умови на поверхні зіткнення двох середовищ в найзагальнішому вигляді полягає у виконанні рівності температур і теплових потоків:

де Т т , Т з - температури тіла і середовища; Х г , Х з - теплопровідності тіла і середовища; п - нормаль до граничної поверхні.

Однак в практичних завданнях така форма граничних умов незручна, тому що для розрахунку температури твердого тіла необхідно вирішувати пов'язану завдання, тобто відшукувати температурне поле і в навколишньому середовищі. Тому в ряді практично важливих задач бажано перейти до більш простим граничним умовам. У математичної теорії теплопровідності в більшості випадків використовуються чотири основних граничних умови, що представляють собою ідеалізацію дійсних фізичних процесів.

Гранична умова першого роду полягає в завданні поверхневого розподілу температури для будь-якого моменту часу:

де М - точка, яка перебуває на поверхні тіла; Ф (М, ?) - задана безперервна функція (по просторовим змінним і часу t ) у всіх точках поверхні тіла.

В окремому випадку може виявитися, що температура на поверхні однакова протягом усього процесу теплообміну, тобто Т (М, t) = Т ст = const. У загальному випадку гранична умова першого роду є ідеалізацією, і на практиці до його виконання можна наблизитися лише при особливих умовах теплообміну між поверхнею тіла і навколишнім середовищем, наприклад, в таких інтенсивних процесах, як кипіння, конденсація, вимушене рух рідких металів та ін "коли температура поверхні тіла близька до температури навколишнього середовища.

Гранична умова другого роду полягає в завданні щільності теплового потоку для кожної точки поверхні тіла як функції координат і часу:

де Ф (М, L) - безперервна функція точки М і часу t, задана на поверхні тіла; п - нормаль до поверхні тіла в точці М.

Слід розрізняти процеси охолодження і нагрівання. Для процесу охолодження ( дт / дп < 0) тепловий потік вважається позитивним. Для процесу нагрівання ( дт / дп > 0) тепловий потік негативний і співвідношення (2.6) набуває вигляду

У найпростішому випадку щільність теплового потоку через поверхню може бути постійною по поверхні і в часі:

Вираз (2.6), коли Ф (М, f) = 0, представляє умова теплової ізоляції граничної поверхні тіла. Теплоизолированной називається така поверхня, через яку не проходить потік теплоти. У цьому випадку (2.6) має вигляд

У разі граничних умов третього роду задаються температура навколишнього середовища Т з р і закон конвективного теплообміну між поверхнею тіла і навколишнім середовищем. Для опису процесу теплообміну використовується закон Ньютона-Рихмана. Згідно з цим законом, кількість теплоти, що віддається одиницею площі поверхні тіла з температурою Т СТ в одиницю часу в навколишнє середовище з температурою Т ср в процесі охолодження (Г ст > Г ср ), пропорційно різниці температур поверхні тіла Т ст і навколишнього середовища:

де а - коефіцієнт пропорційності, званий коефіцієнтом тепловіддачі.

Для процесу нагріву тіла можна написати аналогічне співвідношення, помінявши в (2.9) місцями Г ст і Т ср .

Коефіцієнт тепловіддачі а характеризує інтенсивність теплообміну між поверхнею тіла і навколишнім середовищем. Чисельно він дорівнює кількості теплоти, що віддається (або сприймається) одиницею площі поверхні в одиницю часу при різниці температур між поверхнею тіла і навколишнім середовищем в один градус. На відміну від коефіцієнта теплопровідності X, коефіцієнт тепловіддачі а не є фізичною константою, характерною для того чи іншого речовини. У загальному випадку він відображає спільну дію конвекції і випромінювання і тому залежить від багатьох факторів: геометричної форми і розмірів тіла, фізичних властивостей середовища, теплоємності, щільності, в'язкості середовища, температури поверхні нагріву Т ст і ін. В загальному випадку а може змінюватися заданим чином за координатами і часу. Для спрощення завдання в розрахункових схемах в якості першого наближення приймають а постійним.

Відповідно до закону збереження енергії, теплота, яка відводиться з одиниці площі поверхні тіла в одиницю часу внаслідок тепловіддачі (див. Рівняння (2.9)), дорівнює теплоті, що підводиться до одиниці площі поверхні в одиницю часу внаслідок теплопровідності з внутрішніх обсягів тіла, і дорівнює, згідно закону Фур'є, q =}. (дт / дп). Прирівнюючи ці вирази, отримаємо граничне умова третього роду при охолодженні тіла

де Ф (М, t) - задана безперервна функція точки М і часу I на поверхні тіла.

У конкретних задачах при запису граничних умов третього (або другого) роду доводиться обчислювати похідну але нормалі дт / дп, що в деяких випадках викликає певні труднощі (особливо в циліндричної і сферичної системах координат). Пояснимо ці обчислення на прикладах. Розглянемо охолодження стрижня (рис. 2.2) і обчислимо похідну але напрямку нормалі до його торцях в граничному умови (2.10).

Так як температура Т стрижня залежить тільки від однієї просторової змінної х (температурне поле одномірне), то формула похідної функції Т по нормалі в даному випадку має вигляд дт / дп = (dT / dx) cos а, де а - кут, утворений нормаллю п з позитивним напрямком осі х. На лівому кінці стержня напрямок вектора нормалі і протилежно позитивного напрямку осі х і

На правому кінці стрижня ці напрямки збігаються і

охолодження стрижня

Мал. 2.2. охолодження стрижня

Таким чином, граничні умови третього роду для стержня при його охолодженні і нагріванні відповідно мають вигляд

Рівняння (2.10), що виражає в аналітичній формі гранична умова третього роду, називається диференціальним рівнянням теплообміну і по суті є приватним вираженням закону збереження енергії для поверхні тіла. Це рівняння справедливо в умовах стаціонарного та нестаціонарного режимів, так як випливає з міркувань, що тонкий поверхневий шар, для якого складається баланс підведення і відведення теплоти, не може акумулювати або виділяти теплоту.

З граничної умови третього роду як окремий випадок можна отримати гранична умова першого роду. Запишемо цю умову у вигляді

Якщо коефіцієнт теплообміну а має дуже велике значення (а - * °°) або коефіцієнт теплопровідності А малий (А -? 0), то

Звідси T (M, t) = Р ср , т.с. температура поверхні тіла дорівнює температурі навколишнього середовища. Якщо коефіцієнт теплообміну а дуже малий (а - * • 0), то з (3.10) отримаємо умову теплової ізоляції граничної поверхні - рівність нулю потоку теплоти через поверхню тіла дт (М, t) / dn = 0.

Граничні умови четвертого роду (умови сполучення) застосовуються в разі контакту двох твердих тіл. Якщо між граничними поверхнями тел є ідеальний тепловий контакт, то їх температури на поверхні контакту повинні бути однаковими. Крім того, тепловий потік, що виходить з одного тіла через контактну поверхню, має дорівнювати тепловому потоку, що входить в інше тіло. Таким чином, якщо Т і Г 2 - температури тіл, що знаходяться в умовах ідеального теплового контакту, то для точки М контактної поверхні граничні умови четвертого роду мають вигляд

де і - загальна нормаль до контактної поверхні в точці М.

 
Переглянути оригінал
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук