Навігація
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Головна arrow Природознавство arrow ТЕХНІЧНА ТЕРМОДИНАМІКА ТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Переглянути оригінал

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ КООРДИНАТНІ ФУНКЦІЇ

Знайдемо рішення задачі (7.1) - (7.4) з використанням тригонометричних координатних функцій. В даному випадку, як і вище, виконуємо поділ змінних в рівнянні (7.1) з отриманням рівнянь (7.6), (7.9). Основні граничні умови для рівняння (7.9) мають вигляд (7.10), (7.11).

Рішення завдання (7.9) - (7.11) розшукується у вигляді

де С, (г = 1, п) - невідомі коефіцієнти; Щ р) = cos (ГКР / 2) (г = 2г - 1) - координатні функції.

Для отримання рішення в першому наближенні, виходячи з (7.10), введемо додаткове гранична умова

Співвідношення (7.24) завдяки вжитим координатним функцій точно відповідає основним граничним умовам (7.10), (7.11) при будь-якому числі наближень.

Обмежуючись одним членом ряду в співвідношенні (7.24), для знаходження коефіцієнта С підставимо (7.24) в (7.25):

Звідси при р = 0 С = 1.

Співвідношення (7.24) в першому наближенні набуде вигляду

I

Складаючи невязку рівняння (7.9) і інтегруючи її в межах від р = 0 до р = 1, отримуємо співвідношення

Обчислюючи інтеграли, знаходимо значення ц ( = п 2 / А = 2,4674011.

В даному випадку перше власне число повністю збігається з першим власним числом крайової задачі Штурма -Ліувілля [49]. Власна функція знаходиться з (7.24).

Для отримання рішення в другому наближенні введемо ще одне додаткове гранична умова, що отримується з рівняння (7.9) при р = 0,

Для коефіцієнтів С "визначаються з граничних умов (7.25), (7.28), обмежуючись двома членами ряду (7.24), отримуємо формули

Складаючи інтеграл зваженої невязки рівняння (7.9), матимемо співвідношення

Визначаючи інтеграли, для знаходження власних чисел р отримуємо характеристичне рівняння виду

Його коріння: і, = +2,4674011003; ц 2 = +22,206609902. Отримані власні числа з точністю до сьомого знака збігаються з їх точними значеннями. Характеристичне рівняння (7.29) можна представити у вигляді

Рівняння (7.29 а) в матричної формі можна записати у вигляді det (/ 4 - ц?) = 2 'Yl 7 i 4 i ° 8622 ^ Г-ц = й 2 - 24,674016ц + 54,792638 = 0, л ( 23,674016 -О й

ГДСЛ = - матриця власних значенні характерістіче-

31,118622 1 / ч

V 2 (1 0

ського рівняння (7.29а); Е = - одинична матриця.

Ч і 1 )

Координати власних векторів матриці А, що відповідають власному значенню ц, задовольняють однорідної системи рівнянь (А - ЦХ) = 0, яка в даному випадку буде мати вигляд

Рішенням цієї системи рівнянь є характеристичне рівняння виду (7.29я), з якого знаходяться власні числа Ц! і ц 2 . Отже, метод вирішення з використанням додаткових граничних умов призводить до характеристичним рівнянням, рішеннями яких є власні числа крайової задачі Штурма -Ліувілля.

Співвідношення (7.5) з урахуванням (7.8), (7.24) для кожного власного числа матиме вигляд

Кожне приватне рішення виду (7.30) точно відповідає основним граничним умовам (7.3), (7.4) і наближено (в залежності від числа членів ряду (7.24)) задовольняє рівняння (7.1). Однак жодне з цих приватних рішень, в тому числі і їх сума

не задовольняють початковій умові (7.2). Для того щоб співвідношення (7.31) задовольняло початковій умові (7.2), складається його невязка і потрібно ортогональность невязки до всіх координатних функцій:

Визначаючи інтеграли в (7.32), для знаходження коефіцієнтів Д отримаємо систему алгебраїчних лінійних рівнянь, число яких дорівнює п, тобто кількості наближень (кількості власних чисел).

Співвідношення (7.32) для двох наближень набуде вигляду

Підставляючи відповідні кожному власному числу власні функції в співвідношення (7.33), з рішення системи двох алгебраїчних лінійних рівнянь отримуємо значення А = 1,274365753; А 2 = = -0,42712842401.

Для отримання рішення, наприклад, в шостому наближенні (п = 6) до граничних умов (7.10), (7.11), (7.25), (7.28) вводяться додаткові граничні умови

Додаткові граничні умови (7.28), (7.34) виходять з рівняння (7.9) шляхом його диференціювання в точці р = 0. Відзначимо, що співвідношення (7.24) задовольняє додатковим граничним умовам, отриманим з рівняння (7.9) з непарними похідними, тобто . умовами * P in (0) = 0; ЧГ (0) = 0; ^ "(О) = 0; * F IX (0) = 0, а також умовам (7.10), (7.11).

Для визначення коефіцієнтів С, (/ = 1, 6) використовуються п'ять додаткових граничних умов, отриманих з диференціального рівняння (7.9) з парними похідними, тобто використовуються умови Ч / П (0) = = -р; * F IV (0) = р 2 ; Ч ^ ДО) = -р 3 ; v F VIII (0) = р 4 ; * F X (0) = -р 5 , а також умова (7.25). Після підстановки (7.24) в усі ці граничні умови виходить система з шести алгебраїчних лінійних рівнянь з шістьма невідомими Cj.

Після підстановки знайдених значень Cj (i = 1, 6) в (7.24) складається інтеграл зваженої невязки рівняння (7.9), тобто

Визначаючи інтеграли (7.35), щодо власних чисел р отримуємо характеристичне рівняння шостого ступеня. Коріння цього рівняння pj = +2,4674011004; р 2 = +22,206609900; р 3 = -61,685027529; р 4 = = +120,90265386; р 5 = +199,85948911; р б = +298,55553320.

Точні значення перших п'яти власних чисел наведені в табл. 7.1. Точне значення шостого власного числа pj = +298,555533132953 [49].

Відповідні кожному власному числу власні функції знаходяться з (7.24). Підставляючи власні функції в (7.5), отримуємо співвідношення

Для знаходження невідомих коефіцієнтів А х (i = 1, п) складається невязка початкового умови (7.2) і потрібно ортогональность невязки до кожної координатної функції, тобто

Для даного конкретного випадку при таких простих початкових умовах (що не залежать від координати р) процес визначення коефіцієнтів Aj може бути істотно спрощений (у порівнянні з випадком їх знаходження для двох наближень, см. Систему рівнянь (7.33)).

З огляду на ортогональности косинусів система рівнянь (7.37) приводиться до вигляду

Звідси отримуємо формулу

де знак «плюс» - для г = 1, 5, 9, 13, ...; знак «мінус» - для г = 3, 7,11,15, ...

За формулою (7.38) при відомих коефіцієнтах С, (р,) коефіцієнти А х можуть бути знайдені для будь-якого числа наближень.

Результати розрахунків безрозмірних температур але формулою (7.36) для шести наближень (п = 6) в порівнянні з точним рішенням завдання (7.1) - (7.4) [49] представлені на графіках рис. 7.6. Їх аналіз дозволяє зробити висновок, що в діапазоні чисел Фур'є 0,005 < Fo <°° отримане тут рішення практично збігається з точним.

Використовуючи викладений метод, для завдання (7.1) - (4.4) можна також отримати і точний аналітичний розв'язок. При цьому додаткові граничні умови не вводяться. Рішення завдання (7.9) - (7.11) розшукується у вигляді (7.24), де всі коефіцієнти С, приймаються рівними одиниці.

Зміна температури в пластині

Мал. 7.6. Зміна температури в пластині:

--точное рішення [49]; д - по формулі (7.36) при п = 6;

про - за формулою (7.44) при п = 20

Співвідношення (7.24) при С, = 1 = 1, п) точно задовольняє граничним умовам (7.10), (7.11). Для визначення власних чисел складається невязка рівняння (7.9) і потрібно ортогональность невязки до всіх координатних функцій cosr-p (r = 2 / - 1), тобто

З огляду на ортогональности косинусів співвідношення (7.39) набуде вигляду

Визначаючи інтеграли в (7.40), отримуємо формулу

Власні числа, знайдені за формулою (7.41), повністю збігаються з їх точними значеннями [49].

Для знаходження коефіцієнтів Л, (i = 1 > п) використовується початкова умова (7.2). Для цього складається його невязка і потрібно ортогональность невязки до всіх координатних функцій:

З огляду на ортогональности косинусів невідомі Л / в системі рівнянь (7.42) поділяються (в кожне рівняння входить лише одне невідоме). Будь-яке з цих рівнянь буде мати вигляд

351

Визначаючи інтеграли, отримуємо формулу

де знак «плюс» при г = 1, 5, 9, 13, знак «мінус» при г = 3, 7, 11, 15, ... Співвідношення (7.36) в даному випадку приймає вид

На графіках рис. 7.6 наведені результати розрахунків безрозмірною температури але формулою (7.44) для 20 наближень в разі, коли власні числа р, і коефіцієнти Д визначаються відповідно за формулами (7.41), (7.43). Для порівняння на цих же графіках наведені точні значення температур [49]. Аналіз результатів показує, що в діапазоні чисел Фур'є 0,001 < Fo отримане тут рішення при п = 20 практично збігається з точним.

Аналіз зміни невязки рівняння (7.1) показує, що при будь-якому числі Фур'є (Fo ^ 0) у всьому діапазоні зміни координати 0 <р <1 вона практично дорівнює нулю. Максимальна невязка початкового умови r = -1 спостерігається при р = 1 (рис. 7.7).

Зміна невязки е початкового умови по координаті р

Мал. 7.7. Зміна невязки е початкового умови по координаті р:

- п = 6; ------ при п = 20

 
Переглянути оригінал
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук