Пряма і зворотна задачі

При розрахунку розмірних ланцюгів зустрічаються два завдання - пряма і зворотна.

При вирішенні прямої задачі визначають параметри складових ланок: номінальні розміри Д, допуски / 7Д, розташування поля допуску кожного становить ланки щодо номіналу (координати середин полів допусків Д (Д) і граничні відхилення (ЕЯА ^ ЕІА) всіх складових ланок розмірного ланцюга, виходячи з вимог до замикаючому ланці.

При рішенні зворотної (перевірочної) завдання визначають характеристики змикає ланки (/ 7 "Д, Ау4д, еза & 9 Е1АА), виходячи з значень номінальних розмірів Д, допусків / ГД, координат середин полів допусків Д, у4" граничних відхилень складових ланок еза "£ УД .

Основні рівняння розмірних ланцюгів з паралельними ланками

Метод максимуму-мінімуму

Рівняння номіналів

Лінійна розмірна ланцюг з паралельними ланками

Рис. 5.149. Лінійна розмірна ланцюг з паралельними ланками

На рис. 5.149 представлена схема лінійної розмірної ланцюга з паралельними ланками.

Значення номінального розміру Лд змикає ланки залежить від номінальних розмірів складових ланок. Цю залежність в загальному випадку можна представити в наступному вигляді:

Виходячи з умови замкнутості, для розмірної ланцюга, представленої на рис. 5.149, цю залежність можна представити таким чином:

Перепишемо рівняння (5.121):

При номінальних розмірах ланок у рівнянні (5.122) коштують коефіцієнти (-1) (ланки I і 2) і (+1) (ланки 3-5). Ланки 1 і 2 є уменьшающими, а ланки 3-5 - увеличивающими. '$ ги коефіцієнти показують, як впливає зміна розмірів кожного з ланок на величину замикаючого ланки, і називаються передавальними відносинами. Позначимо передавальне відношення / '- го ланки буквою & Тоді рівняння (5.122) можна представити таким чином:

де т - загальна кількість ланок у розмірної ланцюга, включаючи замикаючу.

У рівняннях з непаралельними ланками коефіцієнт £ може приймати значення, відмінні від (-1) і (+1). У загальному випадку передавальне відношення є приватна похідна від функції ЛЛ по аргументу А {при середніх значеннях всіх аргументів функції, т. Е.

де / '= 1, 2, 3, ...; т - I - порядковий номер ланки.

Відзначимо, що для збільшують ланок 0, а для зменшують ^ <0. У складних розмірних ланцюгах, особливо з непаралельними ланками, характер ланки не завжди ясний, т. Е. Важко відразу визначити, відноситься ланку до збільшуватися або зменшуватися. У таких випадках характер ланки можна визначити по знаку передавального відношення.

Рівняння (5.124) будемо називати рівнянням номіналів.

Рівняння допусків (точності)

Допуск будь-якого параметра визначається як різниця між найбільшим і найменшим граничними його значеннями. Визначимо найбільше і найменше значення розміру замикаючої ланки А &.

Замикаючу ланка прийме найбільшу граничне значення, коли збільшують ланки будуть найбільшими, а зменшують - найменшими, т. Е.

Замикаючу ланка прийме найменше граничне значення, коли збільшують ланки будуть найменшими, а зменшують - найбільшими:

де п - кількість збільшують ланок в розмірної ланцюга; т - п - I - кількість зменшують ланок в розмірної ланцюга.

Віднімаючи почленно з виразу (5.125) вираз (5.126), одержимо

Враховуючи, що А? "- А ^" = / ТА ,, а для зменшують ланок £ <0, остаточно матимемо

Вираз (5.128) будемо називати рівнянням допусків.

З виразу (5.128) видно, що на точність замикаючої ланки впливають як допуски складових ланок, так і число цих ланок. Підвищити точність змикає ланки можна за рахунок зменшення допусків на обробку, що економічно може бути невиправданим (зменшення допусків веде до збільшення вартості), або за рахунок скорочення кількості ланок у розмірної ланцюга, т. Е. При конструюванні необхідно прагнути дотримуватися принцип найкоротшого шляху.

Рівняння координат середин полів допусків

Координата середини поля допуску / '- го ланки (ДД) однозначно визначає його розташування щодо номіналу. Через параметри, що характеризують розмір становить ланки, координату середини поля допуску можна виразити таким чином (рис. 5.150):

Визначення параметрів становить ланки

Рис. 5.150. Визначення параметрів становить ланки

Граничні відхилення розміру через координату середини поля допуску і допуск розміру визначаються за формулами

Висловимо середнє значення / '- го становить ланки через номінальний розмір А (і координату середини поля допуску Д ^ Л;

Для середніх розмірів повинна виконуватися умова (5.123) (умова замкнутості). Напишемо умова (5.123) для середніх розмірів

З урахуванням (5.133) отримаємо

Віднімемо почленно з виразу (5.134) вираз (5.123), одержимо рівняння, яке пов'язує координату середини поля допуску замикаючого ланки з координатами середин полів допусків складових ланок

Вираз (5.135) називають рівнянням координат.

Імовірнісний метод

При розрахунку допусків методом максимуму-мінімуму враховувалися тільки граничні значення розмірів - найбільші і найменші. Проте в реальності поєднання граничних значень (тільки найбільших або тільки найменших) зустрічається вкрай рідко. Професор HA Бородачев показав, що при складанні виробу з 10 розмірами найгірше поєднання при випуску виробів за 1000 штук щодня може повторюватися один раз в 3000 років. Настільки мала ймовірність поєднання крайніх граничних розмірів складових ланок послужила підставою для розробки Н.А. БОРОДАЧОВА і Б.С. Балакшиної методу розрахунку розмірних ланцюгів, заснованого на теорії ймовірностей і математичної статистики.

Даний метод розрахунку враховує закони розподілу відхилень розмірів при їх виготовленні і випадковий характер поєднання складових розмірів деталей при їх складанні.

При вероятностном методі розрахунку розмірних ланцюгів розміри складових ланок розглядаються як випадкові величини. Тоді і змикається ланка можна розглядати як випадкову величину.

На підставі теореми про математичне сподівання суми випадкових величин з формули (5.123) отримаємо

а на підставі теореми про дисперсії суми незалежних випадкових величин (дисперсія суми випадкових величин дорівнює сумі дисперсій відхилень складових ланок) матимемо

Враховуючи, що дисперсія є квадрат середнього квадратичного відхилення, вираз (5.137) перепишемо у вигляді

При проектних розрахунках конструктору, як правило, відомі величини допусків розмірів, а не їх дисперсії. Для переходу від о1 до допуску 1ТА1 (полю розсіювання зі) використовується коефіцієнт відносного розсіювання Л1 = / 7- ^ 2 ^ ПРИ а> = ^ А) - Висловимо середнє квадратичне значення через допуск і коефіцієнт відносного розсіювання, отримаємо

З урахуванням (5.139) вираз (5.138) перепишемо у наступному вигляді:

Вираз (5.140) є рівнянням допусків при розрахунку імовірнісним методом.

При виготовленні деталей математичне очікування (середнє значення розміру в партії деталей) може не збігатися з серединою поля допуску (рис. 5.151). Величина такого неспівпадання, виражена в частках половини поля допуску / 7Д, називається коефіцієнтом відносної асиметрії ак. Коефіцієнт відносної асиметрії визначається за формулою

де М (А) - математичне очікування (середній розмір) / '- го ланки; Д.р, - розмір, відповідний середині поля допуску; 1ТА1 - поле допуску 1-го ланки.

Висловимо математичне очікування / '- го ланки через коефіцієнт відносної асиметрії і поле допуску /' - го ланки

Схема для визначення коефіцієнта відносної асиметрії

Рис. 5.151. Схема для визначення коефіцієнта відносної асиметрії

Аналогічні залежності мають місце і для змикає ланки, т. Е.

З урахуванням виразів (5.142) і (5.143) вираз (5.136) можна представити у вигляді

Рівняння (5.144) є рівнянням координат при розрахунку імовірнісним методом.

Значення коефіцієнтів а, і Л, залежать від умов та масштабу виробництва і різні для різних категорій розмірів, технологічних операцій і методів обробки. При виборі значень а, і Л, можна керуватися даними, наведеними в табл. 5.69.

5.69. Вибір коефіцієнтів ά1 і λ1

Вибір коефіцієнтів ά1 і λ1

Значення коефіцієнта відносної асиметрії замикаючої ланки приймається рівним нулю (ал = 0) при виконанні наступних умов: при симетричних законах розподілу всіх складових ланок (ц = 0); при кількості складових ланок більше п'яти, з однорідними за величиною допусками і будь-якими законами розподілу.

Значення коефіцієнта відносного розсіювання замикаючої ланки приймається рівним ^ (ЛА = ^) при виконанні наступних умов: при розподілі всіх складових ланок за законом Гауса з діапазоном розсіювання, що збігається з межами поля допуску (Л, = при кількості складових ланок більше п'яти, з однорідними по величиною допусками і з будь-якими симетричними законами розподілу; при кількості складових ланок не менше восьми, з неоднорідними за величиною допусками і будь-якими одновершинная законами розподілу.

Якщо ці умови не виконуються, то характеристики замикаючої ланки ал і Лд розраховуються по наближеним формулами

Розсіювання розмірів замикаючого ланки часто можна вважати підпорядковується нормальному закону розподілу, для якого

Яд = у. У цьому випадку рівняння допусків можна переписати в наступному вигляді:

При нормальному законі розсіювання розмірів замикаючого ланки 99,73% розмірів цієї ланки укладено в межах поля допуску / 7ІД, обчисленого за формулою (5.147), т. Е. Відсоток ризику / ° становить 0,27%. Якщо можна допустити інший відсоток виходу розміру за межі поля допуску (відсоток браку), формула (5.147) прийме вигляд

де / - коефіцієнт ризику, що залежить від допустимого відсотка браку / *:

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >