ЗВ'ЯЗОК МІЖ ПОТЕНЦІЙНОЮ ЕНЕРГІЄЮ І СИЛОЮ

Градієнт потенційної енергії

У загальному випадку потенційна енергія є функцією багатьох координат системи матеріальних точок (часток), що взаємодіють між собою. Але ми представимо (отримуючи гот же висновок), що всі частинки, крім однієї, не змінюють свого положення і дію всіх ми замінюємо їх силовим полем. Тоді потенційна енергія частинки, що рухається серед інших, lV n (x, y, Z).

Нехай положення частинки задається радіусом-вектором в системі координат x, y, z. Введемо позначення і запишемо вираження для переміщення частинки і сили, яка на ніс діє:

  • • переміщення
  • • консервативна сила

Згідно (4.4.2) і (4.3.4), отримаємо:

Використовуючи отримане, послідовно визначаємо похідну від W a по одній з координат, враховуючи дві інших постійними (тобто висловлюємо приватну похідну).

Ці рівності узгоджуються з прикладами, які ми розглядали в розділі 4.5.

Згідно 4.5.1, можна отримати для взаємодії в поле пружних сил:

Використовуючи 4.5.3, запишемо для гравітаційної взаємодії

Підставивши (4.6.2) в вираз для сили (4.6.1), отримаємо

Написане в правій частині останнього рівності вираз відповідає застосуванню операції grad до потенційної енергії Ж п . значить

де V - оператор Набла.

Згідно (4.6.2) напрямок сили F вказує напрямок убування потенційної енергії. З рівності (4.6.4) випливає що вектор - градієнт спрямований проти сили поля, т. З. в напрямку максимального зростання потенційної енергії.

З'ясуємо фізичний зміст grad будь-якої функції. використовуючи

(4.6.4), запишемо -dfV n = (F, drj = ([-gradH /I1], dr), або Dж п = (grad (F n , dr)

Перетворюючи скалярний добуток векторів, отримаємо

де a - кут між вектором grad Ж і вектором dr.

Звідси dlV n -dJV n {nm) , при а = grad Ж л dr = 0, т. Е. Коли drT'lF.

Припускаючи, що переміщення відбувається в напрямку максимального зростання потенційної енергії, отримаємо:

(Зауваження: похідна від скаляра по вектору є вектор).

Отримане дозволяє визначити фізичний зміст введеної характеристики gradPF.

gradfF - вектор, який дорівнює просторової швидкості зростання потенційної енергії в напрямку її максимального зростання.

Дане формулювання справедлива для будь-якої величини, коли ця величина просторово змінюється від точки до точки.

Порівнявши (4.6.3) і (4.6.4), запишемо, наприклад, що

Те мережу проекції вектора gradfT на координатні осі дорівнюють похідним від Ж п за відповідними координатами.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >