РУХ ТІЛ ЗІ ЗМІННОЮ МАСОЮ
Розглянемо тепер системи, маси яких змінюються за рахунок придбання або втрати речовини. (Поведінка таких систем можна розглядати як свого роду неупругое зіткнення.) У цьому випадку імпульс системи частинок (тіл), згідно (3.4.8)
Тобто повний імпульс системи частинок дорівнює добутку повної маси системи М на швидкість її центру мас про з .
Якщо продифференцировать обидві частини рівності за часом, то за умови, що М постійна, отримуємо, подібно (3.4.9),
F - * зовн. т у
- зовнішня результуюча сила, прикладена до системи. Не- обхідно дуже ретельно визначати систему і враховувати всі зміни її імпульсу.
Важливим прикладом систем зі змінною масою може служити навантаження сипучих або інших матеріалів на транспортерну стрічку конвеєра; при цьому маса М навантаженого конвеєра зростає, т. е. <Ш / d /> 0.
Іншим прикладом систем зі змінною масою є ракети, які рухаються вперед за рахунок викидання в протилежному напрямку згорілих газів; при цьому ракета прискорюється силою, що діє на ніс з боку згорають газів, які з великою швидкістю закінчуються з сопла ракети (рис. 4.14)
Мал. 4.14
Якщо немає зовнішніх сил, то ракета з викинутими газами (з паливом) представляють замкнуту систему, імпульс якої не змінюється з часом, тому ракета повинна почати рухатися в бік, протилежний напрямку витікання газів. (В загальному випадку реактивне рух ракети можна розглянути і в поле зовнішніх сил, наприклад Землі, Сонця і планет).
Отримаємо рівняння руху ракети. Припустимо, в певний момент часу маса ракети М, швидкість її та й імпульс М • б. За нескінченно малий інтервал часу d t маса ракети зменшиться на величину d М, швидкість при цьому збільшиться на du і імпульс ракети стане рівним (М - dM ) (і + du). При цьому імпульс газів, що утворилися за час d /, дорівнює o r dw r , де і г - швидкість витікання газів, а d / л - маса газів, що утворилися за час d /.
Беручи в загальному випадку умова F Ф 0, запишемо, що зміна імпульсу системи має дорівнювати Fd /.
Ввівши швидкість витікання газів щодо ракети про 0ТН = і г - і та використовуючи рівність d т г = d М , можна записати
о, - СШВ "В"
Тут вираз (-і отн -) - реактивна сила, з якою деіст-
d t
вуют на ракету вилітають з неї гази.
Полога систему замкнутою (F = 0), перейдемо до скалярної формі записи, крім | = Const, і, розділяючи змінні, запишемо
Провівши інтегрування і приймаючи, що при t = 0 швидкість ракети о = 0, а маса М = М і , отримаємо для швидкості ракети
де М 0 і М - стартова і кінцева маси ракети. Це співвідношення у фізиці називають формулою Ціолковського. З нього випливає, що для досягнення швидкості о, в 4 рази перевищує по модулю відносну швидкість викидаються газів, стартова маса одноступінчастої ракети повинна приблизно в 50 разів перевищувати її кінцеву масу.
