КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ОБЕРТОВОГО ТВЕРДОГО ТІЛА

Кінетична енергія тіла, що рухається довільним чином, дорівнює сумі кінетичних енергій всіх п матеріальних точок (часток), на які це тіло можна подумки розбити (рис. 6.8)

Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі Oz з кутовою швидкістю з, то лінійна швидкість будь / тої частки, розташованої на відстані до від осі обертання, дорівнює:

Підставивши (6.6.2) в (6.6.1) і провівши перетворення, отримаємо:

де J z - момент інерції тіла відносно осі обертання Oz. Кінетична енергія тіла в разі обертання його навколо нерухомої точки визначається виразом:

де: J м - момент інерції тіла відносно миттєвої осі, що проходить через покояться точку, з - відповідна кутова швидкість. У цьому випадку момент інерції J м залежить від часу, так як положення миттєвої осі обертання по відношенню до системи координат, пов'язаної з тілом, в процесі обертання змінюється.

ФУНДАМЕНТАЛЬНІСТЬ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ І ЇХ ЗВ'ЯЗОК З СИМЕТРІЄЮ ПРОСТОРУ І ЧАСУ

У попередніх розділах розглянуті три фундаментальних закону природи : закон збереження імпульсу , моменту імпульсу і механічної енергії. Слід розуміти, що ці закони виконуються лише в інерціальних системах відліку.

Справді, при виведенні цих законів ми користувалися другим і третім законами Ньютона, а вони можуть бути застосовані тільки в інерційних системах. Нагадаємо також, що імпульс і момент імпульсу зберігаються в тому випадку, якщо система замкнута (сума всіх зовнішніх сил і всіх моментів сил дорівнює нулю). (Зауважимо, що момент імпульсу системи тіл зберігається, якщо система не замкнута, але М ^ ш = 0). Для збереження ж

енергії тіла умови замкнутості недостатньо - тіло повинне бути ще і адиабатически ізольованим (тобто не брати участь в теплообміні).

У всій історії розвитку фізики закони збереження виявилися, чи не єдиними законами, що зберегли своє значення при заміні одних теорій іншими. Ці закони тісно пов'язані з основними властивостями простору і часу.

  • В основі закону збереження механічної енергії лежить однорідність часу , тобто рівнозначність всіх моментів часу (симетрія по відношенню до зсуву початку відліку часу). Рівнозначність слід розуміти в тому сенсі, що заміна моменту часу t на момент часу t 2 , без зміни значень координат і швидкості частинок, не змінює механічні властивості системи. Це означає те, що після зазначеної заміни, координати і швидкості частинок мають в будь-який момент часу / 2 +1 такі ж значення, які мали до заміни, в момент часу t x + t.
  • В основі закону збереження імпульсу лежить однорідність простору , тобто однаковість властивостей простору в усіх точках (симетрія по відношенню до зсуву початку координат). Однаковість слід розуміти в тому сенсі, що паралельний перенос замкнутої системи з одного місця простору в інше, без зміни взаємного розташування і швидкостей частинок, не змінює механічні властивості системи.
  • В основі закону збереження моменту імпульсу лежить изотропия простору , тобто однаковість властивостей простору в усіх напрямках (симетрія по відношенню до повороту осей координат). Однаковість слід розуміти в тому сенсі, що поворот замкнутої системи, як цілого, не відбивається на її механічні властивості.

І нарешті, слід сказати про симетрії класичної механіки по відношенню до напрямку ходу часу t - його зростанням або спаданням. Формально це випливає з інваріантності рівнянь механіки по відношенню до заміни змінної / на - /.

Справді, вихідне рівняння ньютонівської механіки - рівняння другого закону Ньютона

повністю зберігає свій вигляд, якщо зробити заміну t на t ' = -t і р на р' = -р, тобто змінити напрямок ходу часу, а також змінити напрямок руху матеріальної точки на протилежне:

Ця симетрія рівнянь класичної механіки свідчить про оборотності механічних процесів : якщо механічна система робить будь-який рух, то вона може під дією тих же сил здійснювати і прямо протилежний рух, при якому буде проходити через ті ж самі проміжні конфігурації в зворотному порядку.

Між законами типу основного рівняння динаміки і законами збереження є принципова різниця. Закони динаміки дають нам уявлення про детальний ході процесу. Так, якщо задана сила, що діє на матеріальну точку, і початкові умови, то можна знайти закон руху, траєкторію, величину і напрямок швидкості в будь-який момент часу і т. П. Закони ж збереження не дають нам прямих вказівок на те, як повинен йти той чи інший процес. Вони говорять лише про те, які процеси заборонені і тому в природі не відбуваються.

Таким чином, закони збереження виявляються як принципи заборони: будь-яке явище, при якому не виконується хоча б один із законів збереження, заборонено, і в природі такі явища ніколи не спостерігаються. Будь-яке явище, при якому не порушується жоден із законів збереження, в принципі може відбуватися.

Розглянемо наступний приклад. Чи може покоїться тіло за рахунок внутрішньої енергії почати рухатися? Цей процес нс суперечить фундаментальному закону збереження енергії. Потрібно лише, щоб виникає кінетична енергія точно дорівнювала убутку внутрішньої енергії.

Насправді такий процес ніколи не відбувається, бо він суперечить закону збереження імпульсу. Раз тіло покоїлося, то його імпульс дорівнював нулю. А якщо воно стане рухатися, то його імпульс сам собою збільшиться, що неможливо. Тому внутрішня енергія тіла не може перетворитися в кінетичну, якщо тіло не розпадеться на частини.

Якщо ж допустити можливість розпаду цього тіла на частини, то заборона, що накладається законом збереження імпульсу, знімається. При цьому виникли осколки можуть рухатися так, щоб їх центр мас залишався в спокої, - а тільки цього і вимагає закон збереження імпульсу.

Отже, для того щоб внутрішня енергія покоїться тіла могла перетворитися в кінетичну, це тіло повинно розпастися на частини. Якщо ж є ще один якийсь закон, що забороняє розпад цього тіла на частини, то його внутрішня енергія і маса спокою будуть постійними величинами.

Фундаментальність законів збереження полягає в їх універсальності. Вони справедливі при вивченні будь-яких фізичних процесів (. Механічних, теплових, електромагнітних і ін.). Вони однаково застосовні в релятивістському і нерелятивістському русі, в мікросвіті, де справедливі квантові уявлення, і в макросвіті, з його класичними уявленнями.

Закони збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу грають надзвичайно велику роль в розумінні ходу фізичних процесів.

Раніше було відзначено, що якщо ми навіть не знаємо закону дії сил, закони збереження дозволяють нам зазвичай зробити багато важливих висновків щодо характеру руху. Постає питання, якою мірою це переконання справедливо? Адже при виведенні, наприклад, закону збереження імпульсу передбачалося, що сили взаємодії між матеріальними точками системи задовольняють третьому закону Ньютона (такі сили зазвичай називаються ньютоновскими). Тому, власне кажучи, вищевикладене не дає підстав робити висновок про універсальний характер законів збереження. Не можна виключити таку можливість, що їх існування пов'язане з конкретними властивостями сил і рівнянь руху. При інших силах ці закони, можливо, і нс діють. Однак таке твердження є неправильним.

Справа в тому, що існування законів збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу обумовлюється не якимись властивостями конкретних сил і рівнянь руху, а корінними властивостями простору і часу. Закон збереження імпульсу обумовлений однорідністю простору, закон збереження моменту імпульсу - ізотропності простору, а закон збереження енергії - однорідністю часу.

Тому, якби десь було відкрито явище, яке суперечить закону збереження імпульсу, то нам довелося б засумніватися в такому фундаментальну властивість простору, як його однорідність. Але для цього треба мати дуже і дуже переконливі експериментальні підстави. Більш розумним є припущення, що нами не враховані якісь не відомі в даний час фактори. Саме таким чином було передбачене існування нейтрино. У явищах р - розпаду спостерігалося недотримання закону збереження імпульсу. Замість того, щоб звідси зробити висновок про порушення неоднорідності простору, було запропоновано, що в процесі бере участь частка, яку з якихось причин не вдається виявити. Участь цієї частки забезпечує дотримання закону збереження імпульсу і робить непотрібним перегляд наших уявлень про властивості простору. Ця частка була названа нейтрино. Експериментально її існування було доведено багато років по тому.

Аналогічним чином йде справа і з законами збереження енергії та моменту імпульсу. Справа не в тому, що ці закони повинні завжди дотримуватися, а в тому, що їх недотримання пов'язане з корінними змінами властивостей простору і часу.

Однорідність і ізотропності простору і однорідність часу є їх найважливішими симетрії. Тому можна сказати, що закони збереження обумовлені симетрією простору і часу. Загальна доказ цього твердження дається, наприклад, в теоретичної механіки і тут не приводиться.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >