МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК У РАЗІ ДВОХ НЕЗАЛЕЖНИХ ЗМІННИХ

Чисельні методи рішення гіперболічних диференціальних рівнянь з двома незалежними змінними розроблені досить детально і успішно використовуються для математичного моделювання на ЕОМ в різних областях науки і техніки.

Розглянемо тут коротко метод характеристик, заснований на переході від рівнянь приватних похідних до чисельного вирішення звичайних диференціальних рівнянь типу (1.8,1.10,1.11).

Найбільш характерним є випадок скалярного рівняння в приватних похідних першого порядку (1.2) при його записи в характеристичної формі:

Нехай крива АВ , що несе початкові дані, розбита на малі відрізки (рис. 1.1). Чисельне інтегрування (1) полягає в побудові характеристичних кривих АЛ Л, ВВ'В "., 012 ... кг.д. І значень і вздовж них. Наприклад, при використанні методу Ейлера на заданій кривій А * В> при t = / ° + т маємо v x = у 0 + г / о + про2 ), х = х 0 + Лот + 0 (т 2 ).

Методом Ейлера з перерахунком можна домогтися другого порядку апроксимації і більш високого, якщо використовувати метод Рунге-Кутта.

Відзначимо два важливих моменти чисельного рішення (1). По-перше, криві А'В А "В> } .... Або кроки г можна задавати довільно, виходячи

Мал. 1.1

Мал. 1.2

лише з вимог точності, по-друге, є можливість побудови узагальненого рішення для розривних початкових даних на АВ, принаймні для області з непересічними характеристиками.

Викладений метод характеристик застосуємо і для рівнянь загального вигляду (1.9) при I > 1, якщо власні числа матриці Л рівні, тобто нахили X / всіх характеристик однакові. Такі, наприклад, рівняння смуги для нелінійних рівнянь в приватних похідних першого порядку [6], але при цьому зростають вимоги до гладкості початкових даних.

Завдання Коші для квазилинейной системи (1.9) при I> 2 призводить до необхідності наближеного рішення наступної елементарної завдання: в близьких точках А і В відомі і (Л), і (Я) і відповідно Х / (Л), X / ( В ) , треба знайти і (Я) в точці Я (рис. 1.2). Нехай положення точки Я невідомо. Тоді алгоритм знаходження координат точки Я - г н = { х н } складається з наступних етапів:

- за усередненими в точці / 1 і 5 сг ^, т в параметрах обчислюємо нахили характеристик X / = tg <* / (/=1,2,...,/), проводимо прямі з точок А і В з нахилами Xj = А = min X / і X / = ХД = шах X / відповідно,

* 1 * л - г в О;

Мал. 1.3

точка їх зустрічі і є шукане значення г # з похибкою 0 (h 2 ) (h =

- замінюючи в умовах спільності (1.10) похідні через різницеві відносини dn / dtf = (і (Я) -і (/) У (Г / 7 - //) + 0 (h) (/ = 1, ..., / ), як

в методі Ейлера для звичайних диференціальних рівнянь, визначаючи і (/) для проміжних 1 </ </ лінійною інтерполяцією по точках А і В і вирішуючи отриману систему алгебраїчних рівнянь щодо і (Я), знаходимо все невідомі величини в точці Я з похибкою порядку 0 (Н 2 ).

Для / = 2 в (1.9) (цей момент важливий для подальшого викладу) можна домогтися другого порядку точності, якщо повторити перші два етапи (провести перерахунок ч (Я)) з використанням апроксимації похідних через центральні різниці в точках t iH = н + г *) / 2 (/ = 1, 2), тобто отримати r Hi і (Я) з похибкою 0 (Л 3 ) '. При цьому, очевидно, відпадає необхідність інтерполяції по точках А і В.

Нехай тепер на кривій АВ в близько розташованих L вузлах відомі початкові дані і (рис. 1.3). Вирішуючи елементарні завдання для кожної пари вузлів на АВ, отримаємо L -1 вузлів на А'В L - 2 вузлів на А "В" і т.д., поки не отримаємо точку Я, обмежує область впливу

АВ. Побудовані таким чином вузли утворюють характеристическую сітку всередині в загальному випадку криволінійного трикутника АВН.

Щодо викладеної вище класичної схеми методу характеристик слід зробити ряд зауважень.

  • 1. Випадок / = 2 в (1.9) виділяється не тільки можливістю побудови схеми розрахунку другого порядку, а й більш слабкими вимогами до гладкості початкових даних. Наприклад, для відповідних лінійних рівнянь легко побудувати узагальнені, розривні рішення.
  • 2. Випадок I> 2 включає етап інтерполяції, що передбачає безперервність самих функцій і їх похідних першого порядку.
  • 3. Характеристична сітка, що вибудовуються в процесі рахунку, поряд з незаперечними перевагами, пов'язаними з правильним визначенням області впливу і коректним формулюванням початкових і граничних умов, не завжди зручна в практиці. Крім того, для квазілінійних рівнянь можливі області сильного згущення і розрідження вузлів і відповідно сильна втрата точності обчислень.
 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >