РОЗРАХУНОК ГРАНИЧНИХ ТОЧОК В ПРОСТОРОВИХ МЕТОДАХ ХАРАКТЕРИСТИК

Нехай потрібно знайти чисельне рішення рівнянь (1.1) в області, обмеженою на одній з ділянок невідомої кордоном. У процессесчета треба вибудовувати цю поверхню, а також знайти уздовж неї газодинамічні функції 0, т, р, S, задовольняють деяким додатковим зв'язків (граничним умовам). 1. Розглянемо елементарну площадку ВОСН вибудовується поверхні, що є однією з граней розрахункової осередки в разностной схемою (рис. 2.4). Нехай в точках В, О, С відомі параметри поверхні -)).

Для досягнення другого порядку апроксимації можна залучити найближчі до Я точки нової площині згідно (24), але при цьому схема стає неявній і має мало спільного з методом характеристик.

радіус-вектор г, дотичні вектори г * і х в напрямку ОН і ВС відповідно. Припустимо також, що шукана поверхня має безперервну і кусочно-гладку нормаль п. Доведемо, що для знаходження радіус-вектора г # і орта нормалі п н в розрахунковій точці Н шуканої поверхні досить залучити одну комбінацію з газодинамічних рівнянь (1.1), наприклад характеристичне співвідношення вздовж певної хвильової біхарактерістікі (1.8). Доказ засноване на тому, що г # і п н визначаються з точністю до однієї скалярної величини.

Дійсно, з диференціальної геометрії відомо, що при виконанні відповідних умов безперервності і гладкості має місце п * = ax s + bx tl або в разностной формі

г Д е (f) 's і (f)' t - похідні в напрямках відповідно ОН і ВС, індексом 0 відзначені величини в точці О, а н b - шукані скаляри. Використовуючи співвідношення (i>, п) ', * = 0, отримаємо умову, що зв'язує а й Ь:

У цьому співвідношенні t ' s , х і п в точці Про відомі, а праву частину можна обчислити через разностное співвідношення за даними в точках В і С з урахуванням рівності x ts - x nst.

Радіус-вектор точки Н визначається формулою

Таким чином, завдання радіус-вектора і нормалей в точках В у С і Про визначає близьку точку Н шуканої поверхні (3) і орт нормалі в ній (1), крім однієї скалярної величини, наприклад, крім коефіцієнта а в рівнянні (2). Для знаходження цієї величини і має залучатися газодинамічне умова, тобто деяка комбінація рівнянь (1.1).

При доказі використана безперервність всередині області HBOC геометричних параметрів аж до перших похідних від нормалі.

Це обмеження не є обтяжливим при чисельному рахунку, так як безперервність може порушуватися лише вздовж кінцевого числа ліній на поверхні (наприклад, ліній впливу зламів і розривів кривизни тіла на ударну хвилю) і розрахункову схему можна вибрати таким чином, щоб лінії можливих розривів похідних проходили уздовж ВОС або через точку М.

Співвідношення (1) - (3) є очевидними геометричними властивостями поверхні і в будь-якій схемі просторового методу характеристик (точніше, в будь-якому чисельному методі) при розрахунку довільній граничної поверхні або повинні бути використані безпосередньо, або їх виконання повинно бути забезпечене.

Далі скрізь будемо розглядати рівняння шуканої поверхні г = R (z, ф) в циліндричній системі координат z, г, і її одиничну нормаль у вигляді

Розглянемо деякі приватні приклади. Якщо розглядається відома гранична поверхню, наприклад, обтічне тіло, то виконання умов (1) - (3) очевидно, так як (4) виходять диференціюванням функцій R ( z, ф ).

У разі неявних різницевих схем [28, 29], зокрема, полухарак- терістіческіх методів, складова з // нормалі в точці // (рис. 2.5) обчислюється за формулами типу

і в якості невідомої залишиться q H . При цьому рівність друге змішаних похідних з необхідною точністю виконується і в разностной формі:

Для осесиметричних (плоских) поверхонь (ліній) 0 і невідомої в точці Н залишається лише q H .

2. Доведемо, що при побудові різницевих схем для знаходження і розрахунку точок вільної поверхні і ударної хвилі можна залучати більше однієї лінійної комбінації вихідних рівнянь (1.2), що містить виводять з розраховується поверхні похідні. Звідси буде слідувати некоректність запропонованого в [24, 34, 33, 40] використання двох характеристичних співвідношень для розрахунку точок на заздалегідь невідомих граничних поверхнях.

Нехай ВОСН (рис. 2.4) є елементом шуканої вільної поверхні, на якій повинні виконуватися граничні умови р = р 0 = const, Vn = 0.

При розрахунку геометричних і газодинамічних функцій в точці Н треба знайти 6 невідомих: 0, у, р, S, q, з. На перший погляд здається, що для їх знаходження можна використовувати 4 рівняння (1.2) і два граничних умови. Однак виявляється, що різницева апроксимація рівнянь (1.2) і граничні умови не визначають однозначно все 6 невідомі в розрахунковій точці Я. Дійсно, нехай на площині 9 * (рис. 2.4), що містить вектори до 2 і до 3 , задані початкові дані. Згідно граничній умові уздовж вільної поверхні, kj 0 і в перше рівняння з (1.2) в разностной формі не увійдуть невідомі в точці Я. З інших рівнянь (1.2) можна визначити 0, у, S , з граничних умов р , а для знаходження двох геометричних величин q і to є лише одна умова Vn = 0. Можна показати, що одна з комбінацій (1.2) буде містити тільки внутрішні похідні на поверхні, наприклад, в напрямках ВС і OD. Відсутня умова і дає співвідношення типу (5) в неявних [29, 39] або (2) в явних схемах.

Розглянемо розрахункову точку Я ударної хвилі. Із законів збереження при переході через стрибок ущільнення складові нормалі q і зі, а також тиск і ентропію можна виразити через 0 і у:

Співвідношення (6) висловлює геометричні величини через газодинамічні параметри 0 і у. Формальними вкладками можна переконатися, що якобіан перетворення (6) відмінний від нуля (qpOJy - q y ^ p Ф 0), а також що Ф 0. Співвідношення (7) (перше з них - аналог двовимірної ударної поляри, друге - умова Гюгоньо) виступають як граничні умови для рівнянь (1.2) і можуть бути виражені в диференціальної формі:

Тут d / ds - похідні, взагалі кажучи, в будь-якому напрямку на поверхні ударної хвилі.

Виявляється, що в тривимірному випадку, крім (8), між параметрами на ударну хвилю повинна виконуватися еше одна диференціальна зв'язок. Диференціюючи в (6) перше співвідношення по у, а друге за z та враховуючи д (з oR) ДЗГ

тотожність q ^ = - = qco + R -, отримаємо

dz dz

Це рівняння в осесимметричном або плоскому випадку виконується тотожно (зі = у = Ь0 / дф = 0). Аналогом граничної умови (9) в неявних різницевих схемах є співвідношення (5). Нехай в області BOCD площині просторового типу [17] (рис. 2.4) відомі початкові дані. Побудуємо рішення у близькій шуканої точці Н ударної хвилі, що проходить через лінію ВОС. Доведемо, що при цьому не можна використовувати більше однієї лінійної комбінації рівнянь газової динаміки (1.1) або (1.2).

Запишемо рівняння (1.2) таким чином, щоб вони включали похідні в напрямках $ (0Я), l (OD ), t (BC) (рис. 2.4), і дозволимо їх щодо похідних по s (це завжди можна зробити, якщо площину не є характеристичною),

де I * 1, 2, 3, 4, і, = р, і 2 = у, і 3 = р, і 4 = S, а по повторюваному індексом / проводиться підсумовування від 1 до 4.

Аналогічно запишемо рівняння (9) у вигляді

Відзначимо, що тут Ф 0 Ф 0, з $ + Згідно зі Ф 0. Справді, нехай існує такий напрямок на розглянутій поверхні, що (9) містить похідні лише уздовж цього напрямку. Ставлячи цей напрямок рівнянням =

що суперечить умові невироджені перетворення (6).

Розглянемо рівняння (8), (10), (11) в околиці точки О. Обчислимо коефіцієнти при похідних і вільні члени цих рівнянь за параметрами в точці О, а похідні в правій частині - за даними на площині 9 ь • Параметри в точці Я можна знайти, знаючи dtij / ds:

Потім по (6) можна визначити q і и в точці Я.

Таким чином, для чотирьох невідомих dfi / ds, dy / ds, dp / ds, dS / ds маємо сім рівнянь (8) - (11). Вибір з них чотирьох рівнянь повинен відповідати таким вимогам: вибрані умови лінійно незалежні і будь-яка з рівнянь (8), (11), що випливають з граничних умов, або використовується безпосередньо, або є лінійною комбінацією інших рівнянь. Перша умова очевидно. При невиконанні другої умови рішення в точці Я не задовольняє всім граничним умовам.

Рівняння (8), (11) незалежні між собою, наприклад, відмінні від нуля мінори третього порядку в середині і праворуч відповідної матриці, рівні відповідно а> 7 (1 - S p ) ІФ 0 (1-5), так як зі у Ф 0 і Ф 0 Ф 0 згідно (7) і (11), a S p Ф 1 (при р ^ = 0 , S = р ~ 1 ).

Покажемо, що (11) можна отримати лінійною комбінацією рівнянь (10). Аналогічно можна довести той же і для (8). Припустимо гидке. Нехай (11) є наслідком рівнянь (10). Тоді, зокрема, справедливо рівність Ф 0 = а | Ф 1 (а? + А! + <* 1 + а & Ф 0). Так як в лівій частині цієї рівності немає похідних по /, а вони залежать не тільки від даних уздовж ВОС, коефіцієнти при duj / dl справа повинні дорівнювати нулю, тобто biflg = 0 (/ = 1, ... »4). Але це означає, що на ударну хвилю виконується деяка комбінація рівнянь газодинаміки (1.2), що містить похідні в двох напрямках - s (OH) і t (BC ), тобто ударна хвиля є характеристичною поверхнею, що невірно. Отже, рішення, отримане з використанням двох комбінацій (10), буде відрізнятися від рішення із застосуванням (11) на величини порядку [uj (D) - u, (0)] (As / A 0 »тобто при 0 ( Д $) = 0 (А1) на величину О (As ), тоді як згідно з (12) ця різниця має бути порядку О (As 2 ).

Звідси випливає, що при використанні двох характеристичних співвідношень (двох комбінацій рівнянь (1.2) або (10)) не виконується рівняння (11). Цей факт спочатку був виявлений при практичному рахунку (див .: [43]). У цій же роботі була доведена достатність прімен- нання однієї біхарактерістікі. Викладене вище доказ достатності і необхідності отримано пізніше в роботі [44].

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >