ПРЯМА ПРИЗМАТИЧНИХ СХЕМА ПРОСТОРОВИХ МЕТОДУ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ РІВНЯНЬ ГАЗОДИНАМІКА

ції віднесені до параметрів набігаючого потоку віднесено до р «* V2>, J - до Vlo ), лінійні розміри - до характерного розміру тіла (наприклад, до радіусу сферичного затупления); z відраховується від передньої точки тіла; кут відраховується так, щоб вектор швидкості потоку, що набігає Voe лежав на площині = 0. Маємо Voo =! cosa, -sina cosv>, sina sin

Мал. 2.10

Нехай задана безперервна крива Г просторового типу з дотичним одиничним вектором b (рис. 2.10). Через криву Г проведемо характеристическую поверхню Введемо одиничний вектор а, дотичний до поверхні 9 ^ і лежить в площині у = const, тобто а ^ * = 0. Розкладемо а й b по дотичним векторах т (ф) і про (ф) поверхні #; де вектор т (ф) спрямований по біхарактерістікам, а (ф) - перпендикулярний т (ф) і характеристичної нормалі п (ф) (див .: [43]), ф Е [0, 2тг]. Очевидно, мають місце співвідношення

З останнього співвідношення знаходимо параметр ф. Відзначимо, що це рівняння має в інтервалі 0 < ф <2тг два кореня для хвильових поверхонь і один - для поверхні струму. З третього рівняння знаходимо вектор а = {cos X, sin X, 0}. Тоді кути д, у визначаються співвідношеннями cosfi = ат, sin д = аа, cosy = bo, sin v- br. Рівняння спільності на хвильових поверхнях можна написати у вигляді

77

Тут s - координата (довжина дуги) уздовж вектора а, / - уздовж вектора b, Л = p / pV 2 , Z = pJ / p, Р = In р, I = In J, tgt = 2 - 1) _ % , М - локальне число Маха. Ці рівняння і є вихідними для складання чисельної схеми.

Ставиться завдання чисельного рішення рівнянь газової динаміки в надзвуковий області, обмеженою невідомої заздалегідь ударною хвилею і тілом, за початковими даними, на деякій характеристичної поверхні ABCDLK (рис. 2.11).

Побудуємо чисельну схему, яка є безпосереднім узагальненням двовимірного методу характеристик [14]. Похідні уздовж вектора b замінюються кінцево-різницевими стосунками. Розрахункова сітка будується за характеристиками другого (або першого) сімейства CL, і крок за кроком знаходиться рішення в області, обмеженою шуканої ударною хвилею РЄ і поверхнею тіла LW. У кожній площині = const матимемо картину, показану на рис. 2.12. Поверхні, натягнуті на CL і LE, будуть характеристичними.

Розглянемо елементарну комірку разностной сітки (рис. 2.13). Рівняння (2), взяті для двох значень параметра ф, виконуються уздовж ліній 7-5 і 2-5, а рівняння (3) - уздовж 0-5. Ці криві є перетином відповідних характеристичних поверхонь з площинами

Ріс..2. і

Мал. 2.12

Запишемо рівняння (2) - (3) в разностной формі:

Індекс "5" відноситься до параметрів в розрахунковій точці 5, нижні індекси "і" + "означають, що функції беруться відповідно на попередньої і подальшої площинах по відношенню до даної площини = <р 0 . Причому в якості значень / ± приймаються середні значення відповідних параметрів в точках /, 5 на площинах <p 0 Коефіцієнти Су, E / j, що входять в рівняння (5), і tgX / в рівняннях (4) обчислюються за середнім значенням параметрів в точках 1,5 на площині = 0 .

Нехай початкові дані відомі на характеристичної поверхні другого сімейства CL. Тоді розрахунок кожного шару починаємо з точок ударної хвилі. Якщо початкові дані відомі на характеристиці 1-го сімейства, то розрахунок починається з точок тіла. Ударна хвиля розшукується у вигляді r = R c (z,

1. Розрахунок точки на ударну хвилю. Введемо орт нормалі до ударної хвилі n = (1 + q 2 + зі 2 ) " % J - <7,1, -з} і два дотичних одиничних вектора а = (1 + q 2 ) ~ Vi l, q, 0 у ред = Ь 2 , Ь г , Ьу }, де q = R CZi зі = R C JR C1 b - відомий вектор.

Відповідно до * [44], використовуючи (5) при / = 1 і умова nb = 0, отримуємо рівняння для визначення q s :

Випускаючи характеристику першого сімейства до перетину з ударною хвилею, знаходимо координати точки 5. Потім, вирішуючи рівняння (6), знайдемо

q s , а зі співвідношення nb = 0 визначимо co 5 ; далі по відомим формулам (див .: [51]) обчислимо в першому наближенні параметри т? 5 ,? s , / V / 5 точок ударної хвилі для всіх

2. Розрахунок точки всередині потоку. З точок / і 2 (рис. 2.13) випускаємо характеристики (в першому наближенні за параметрами в точках 1,2) до перетину в точці 5. Вирішуючи систему (5), визначимо параметри i? 5 ,

Мал. 2.13

  • ? 5 , Р 5 , / 5 . Причому початкові значення для лінії струму беруться за усередненими параметрами в точках 1, 2, і потім, випускаючи лінію струму назад з точки 5, знаходимо точку 0 і параметри в ній лінійною інтерполяцією між точками / і 2. Розрахувавши всі крапки 5 на лінії NN ' (рис. 2.13) для всіх у в першому наближенні, повторюємо процес обчислення, причому тепер коефіцієнти обчислюються за середнім значенням параметрів в точках / і 5 (/ = 0,1,2).
  • 3. Розрахунок точки на тілі. Нехай тіло задано рівнянням г = /? w (z, ф ). Тоді умова непротеканія на тілі можна записати у вигляді

Схема розрахунку аналогічна попередній, але замість співвідношення уздовж лінії 1-5 треба використовувати умова непротеканія на тілі.

За описаним вище алгоритмом проводилися розрахунки в надзвуковий області між ударною хвилею і тілом від деякої початкової характеристичної поверхні другого сімейства.

Для перевірки методу розраховувалося обтікання конуса з кутом напів розчину 0 = 10 ° і сферичним затупленням під кутом атаки а = 5 ° при А / оо = 6. Розрахунки проводилися при 25 точках на характеристиці і 11 точках по кутовій координаті. Початкові дані взяті з таблиць обтікання сфери [52], і потім зроблений поворот системи координат на кут а. На рис. 2.14 зображені профілі тиску поперек ударного шару в перетині z = 5,8264 для трьох площин у = 0, л / 2, я. Тут ясно видно розрив похідної уздовж характеристичної поверхні, що йде від лінії розриву кривизни контуру тіла. Проведено порівняння з методом біхарактерістік [43] і сеточно-характеристичним методом [50], причому кружками позначені дані [43], а темними кружками - дані [50].

Розглянемо результати розрахунку обтікання кругового циліндра, затупленого по еліпсоїда обертання з відношенням півосей 6 = Ь / а = 1,5 при 80

Рис. 2.15

Мал. 2.14 Рис. 2.15

Мал. 2.16

а = 5 ° і 10 ° і Л / *, = 10. Початкові дані для цього випадку взяті з розрахунку дозвуковій і трансзвуковой області, проведеного в роботі [13]. Лінійні розміри віднесені до більшої півосі Ь.

Для продовження розрахунків в надзвукову область бралося 17 точок на характеристиці і 11 точок по кутовій координаті. На рис. 2.15 показана картина обтікання в площині симетрії течії при а = 10 °. На рис. 2.16 дано розподіл тиску уздовж поверхні циліндра в трьох площинах у = 0, 7 г / 2 , я при а = 5 °.

Наведене тут порівняння та інші результати розрахунків надзвукового обтікання затуплених тіл під кутом атаки з використанням початкових даних на характеристичної поверхні показали, що запропонована пряма схема методу характеристик більш точно відображає наявні фізичні особливості. Даний метод доцільно застосовувати, якщо необхідно продовжити рахунок за початковими даними на характеристичної поверхні або отримати початкові дані для інших методів на характеристичних поверхнях, а також якщо бажано уточнити фізичну картину перебігу.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >