СІТКОВИХ-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ МЕТОДИ ДЛЯ БАГАТОВИМІРНОГО РІВНЯНЬ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ

1. Розглянемо багатовимірну систему квазілінійних рівнянь першого порядку в приватних похідних гіперболічного типу (1.2.2) досить загального вигляду

де матриці A if А 2 , ... і вектор-стовпець правих частин f можуть бути функціями г, х 1 $ х 2 , ... і вектор-функції і шуканих змінних з I компонентами. Далі обмежимося виписаними в (1) членами, так як поширення методу на більше число незалежних змінних проводиться формально.

Припустимо, що матриці А і А 2 мають тільки дійсні власні числа. Нехай X / і з / (/ '= 1,2, ..., /) - власні числа і відповідні їм незалежні власні вектори матриці A j, а X / і

(/ = / + 1, ..., 21) - власні числа і власні вектори матриці А 2 . Тоді рівняння (1) можуть бути приведені до однієї з наступних характеристичних (нормальних) форм, кожна з яких еквівалентна (1):

похідні уздовж двовимірних "характеристик" відповідно на поверхнях х 2 = const і * i = const, або, іншими словами, вздовж лінії перетину характеристичних і координатних поверхонь.

Розглянемо тепер систему 3 / рівнянь (1) - (2) спільно. Очевидно, що число незалежних рівнянь серед них одно /. Цим фактом можна скористатися для побудови різницевих схем, які не потребують в явній формі апроксимації приватних похідних по Xi і х 2 .

Нехай на шарі t = t n - const рішення відомо, знайдемо його тепер в точці Н на шарі / = f n + 1 = t n + р

Записавши рівняння (1) і (2) в разностной формі при t = t n + + (1 - у) т (0 <р <1), отримаємо

Тут індексами / і 0 позначені значення функцій в точках перетину "характеристик" і лінії х х = const, х 2 = const (проведених з точки І)

з поверхнею t = t n . Дотичні вектори цих характеристик мають вигляд

Система (3) містить 3 / невідомих i H , u Xi #, і ХГ н і стільки ж рівнянь. Можна показати, що винятком u Xj //, і ХГ ц з цієї системи виходять різницеві рівняння, аппроксимирующие (1):

Підкреслимо ще раз, що при виведенні цього співвідношення звичайно-різницевими виразами замінялися тільки звичайні похідні уздовж певних ліній. Збереження в різницевих рівняннях приватних похідних по х х і х 2 при t - t n залежить, як видно з (3), від вибору V.

Якщо v = 1/2, то рівняння (3), як і в одновимірному випадку, мають другий порядок апроксимації по t і, взагалі кажучи, містять u x , і х при / - t n . В цьому випадку необхідно також усереднювати значення з / в формулах (3). При v = 0 (перший порядок апроксимації по t) приватні похідні на площині / = t n випадають.

Перетворивши область, в якій шукається рішення, до прямокутного виду (см.разд.2 гл. 1), введемо фіксовану сітку t n = nr (л = 0,1,2, ...). x lm = mh i9 x 2 i * / Л2 (/ я, / = 1, 2, ...) і позначимо значення функцій

в вузлах сітки через u " ; . Якщо вказаний зв'язок параметрів з індексами Про

п

і I (/ = 1, 2, ..., 2 /) з відомими значеннями u ml на кожному шарі

t = t n = лт, то отримуємо звичайну кінцево-різницеву схему для фіксованої сітки:

де СЦ - матриці, елементи яких для схем першого порядку точності залежать тільки від параметрів при / = / л , а в схемах другого порядку для - - л + 1

квазілінійних рівнянні ще й від і т /.

На відміну від гл. II та інших відомих варіантів методу характеристик, огляд яких зроблений в роботі [42], викладений вище підхід не пов'язаний формально ні з розмірністю простору, ні з конкретним видом рівнянь і використовує зручну фіксовану разностную сітку.

2. Розглянемо разностную схему (5), коли зв'язок параметрів з індексами 0 і I (i = 1, 2, ..., 2 /) з сітковими функціями встановлюється лінійної або квадратичної інтерполяції. Тоді співвідношення (5) можуть бути записані в звичайному для теорії різницевих схем компактному вигляді (з шаблоном, що визначаються кількістю залучених для інтерполяції точок).

Введемо наступні позначення:

Матриці 12 !, 12 2 , рядками яких є лінійно незалежні вектори coj, очевидно, не виродилися і мають зворотні матриці 127 1 , 127 1 .

Інтерполяційні формули для визначення значень параметрів в точках зустрічі '' характеристик "відповідно сосью *! і х 2 при t -t n можуть бути записані у вигляді

де 7 = 1 для лінійної інтерполяції і у = 2 для квадратичної інтерполяції.

Використовуючи введені позначення, ці формули можна замінити векторними співвідношеннями

Помноживши останні два рівняння (3) відповідно на матриці 127 1

і П ^ 1 ці різницеві співвідношення можна привести до виду

Віднімаючи із суми останніх рівнянь перше рівняння і використовуючи інтерполяційні формули (6) для знаходження? 2jV / і № 2 2 v /, отримаємо звичайну форму записи різницевих рівнянь, аналогічну одномерному нагоди (2.3), (2.5):

При виведенні (7) враховується той факт, що коефіцієнт при т 2 v досить брати з точністю до членів порядку 0 (h 1 + Л 2 ). Крім того, цей член необхідно брати до уваги тільки для схеми другого порядку точності ( v = 1/2, 7 = 2), причому для обчислення змішаних похідних потрібно використовувати тут додаткові точки на шарі t -t n . Надалі цю схему будемо, як і в одновимірному випадку, називати схемою І.

Слід ще зазначити, що для схеми першого порядку точності - схеми I () v = 0, 7 = 1) - за аналогією з (7) можуть бути відразу виписані формули для будь-якої кількості просторових координат, як тільки матриці Aj будуть приведені до діагонального вигляду Aj = AjSlj (j = 1,2, ...) (див., наприклад, [50]).

3. Для систем рівнянь гіперболічного типу в дивергентной формі

схема першого порядку може бути записана за аналогією з (7) і (2.8) у вигляді

Наведемо на закінчення без виведення дівергентную схему другого порядку точності для рівнянь (8):

-0 2 Д, F 2 + o? Л 1 Д JmF , + al / l 2 A? F J +

Значення A i, А 2 , Ф, обчислюються в точці (t n , x lmy х 2 /) з точністю до членів порядку О (h 1 + Л 2 ) •

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >