СІТКОВИХ-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ МЕТОДИ ДЛЯ КВАЗІЛІНІЙНУ СИСТЕМ З ДВОМА НЕЗАЛЕЖНИМИ ЗМІННИМИ

1. Узагальнення розглянутих у розд. 1 цього розділу різницевих схем типу (1.2) на випадок одновимірних систем рівнянь гіперболічного типу

в разі ац = const, f = 0 проводиться із збереженням всіх їх властивостей досить формально, якщо систему (1) множенням зліва на матрицю П привести до характеристичної формі v f + Av x = 0, v = Лі, або, в скалярною записи,

потім для кожного з рівнянь (2) вибрати ту чи іншу разностную схему виду (1.2) з числа розглянутих вище (цей вибір може бути різним для різних характеристичних напрямків dx = Л / Л) і зробити зворотний перехід від v ( до u = В рівняннях (1), (2) Л -

діагональна матриця з власних чисел матриці А, що визначаються характеристичним рівнянням Det (А - Е) = О, Г2 - неособлива матриця, рядками якої є лінійно незалежні ліві власні вектори Оз / матриці А, які визначаються з точністю до їх довжини з сукупності лінійних однорідних систем рівнянь сЗ / - Х /?) = О, Л " 1 - зворотна в П матриця, і / - інваріанти Рімана. у цьому сенсі розглядаються нижче різницеві схеми можна віднести до сеточно-характеристичним.

Такі різницеві схеми для системи (1) в разі ац = const, f = const мають вигляд

де Лд - діагональні матриці, складені з аналізувалися в розд. 1 коефіцієнтів a ?. Зокрема, аналогом різницевих схем (1.2), (1.5), (1.10) з невід'ємними коефіцієнтами a? будуть вперше запропоновані До .Про. Фрідріхса в роботі [55] схеми з неотрицательно-визначеними матрицями В д, для яких скалярні твори

при довільних ненульових вектори z. Як відомо, в разі симетричних матриць А умови (4) і (1.10), тобто про i vui> 0 для матриць В д з (3), еквівалентні. Однак і для систем рівнянь (1) з несиметричними матрицями А, допускають сімметрізацію, тобто приведення (1) до виду A x V1 t + A 2 W x = з симетричними матрицями A iy А 2 і положітельноопределенной матрицею А (t - гіперболічність по Фрідріхса, системи [55]), замість умов (4) також цілком допустимо використовувати ( 1.10). Прикладами таких систем є нестаціонарні рівняння газової динаміки і магнітогазодінамікі, нестаціонарні рівняння теорії пружності і ін. (Див., Наприклад, [20]). Зауважимо також, що в разі a { j = const все різницеві схеми (3) володіють властивістю консервативності, як і вихідна система (1), якщо покласти F -Аі.

2. Для узагальнення розглянутих різницевих схем на випадок квазилинейной системи (1) з А = A (t, х, u), f = f (/, х, і), в тому числі для дивергентной форми таких рівнянь

найбільш універсальними та ефективними способами побудови різницевих схем типу (3) (в тому числі забезпечують виконання різницевих аналогів законів збереження, тобто консервативних схем) є методи типу Рунге-Кутта і інтегроінтерполяціонний (див., наприклад, [68, 79]) . Якщо з використанням цих методів на тому чи іншому сітковому шаблоні побудувати відповідне безліч різницевих схем з тим же, що і в (3), числом вільних параметрів, а потім на прикладі системи з dfj = const перейти до запису (3) (вважаючи F = Лі ), то можна встановити зв'язок цих вільних параметрів з В ? і тим самим в загальному квазілінійну випадку отримати аналоги тих чи інших різницевих схем з числа розглянутих у розд. 1 цього розділу.

Як перший приклад такого узагальнення розглянемо широко поширений неявний шеститочкові шаблон (1.14) і скористаємося ін- тегроінтерполяціонним методом [68].

і використовуючи ті чи інші інтерполяційні формули для апроксимації в (6) подинтегральних функцій і (однакові на верхній і нижній межах осередку) і F (також однакові на лівій і правій межах осередку), можна забезпечити консервативність і відповідний порядок точності (в межах допустимої обраним сітковим шаблоном) одержуваної таким чином різницевої схеми. Зокрема, різницева схема

при виборі підходящої інтерполяційної формули першого або другого порядків для обчислення F "* t l ( 22 = F (/ n + I / 2 , х т ± ^ 2 , УД) ап 'проксімірует з першим або відповідно з другим порядком точності вихідну систему (5). Для ^ "т 1 ^ 2 також необхідна деяка зв'язок зі значеннями цього вектора в вузлах різницевої сітки, наприклад, найпростіша = <Рт в разі схем першого порядку точності.

вважаючи

за допомогою якого можна виключити один з матричних коефіцієнтів, наприклад D о, отримаємо трипараметричної сімейство консерватів- 122

має, як показано раніше, серед явних двошарових схем першого порядку точності з позитивною аппроксимацией мінімальну апроксимацію в'язкість при виконанні умови її стійкості

Якщо зажадати апроксимації з першим порядком точності різницевим виразом (7) наслідок з рівнянь (5)

отримаємо на невизначені матричні коефіцієнти D " додатково до (8) ще одна умова:

Використовуючи цю умову в співвідношенні (9), можна виключити ще якої-небудь матричний коефіцієнт, наприклад , Df = (Е-А) / 2 + ADj - ( E-A) D , і отримати двопараметричного сімейство консервативних різницевих схем другого порядку точності ( при належному виборі ip n + l l 2 ) з довільними матричними коефіцієнтами Щ , D}. Цей же результат можна отримати, якщо в співвідношеннях (10) коефіцієнти (а®) / висловити через (aLi) /, (<*}) / с використанням для розглянутого тут шаблону (1.14) умов другого порядку апроксимації (1.7) при /: = 2. Вибираючи ті або інші значення коефіцієнтів (а ^) *, (а!) / з числа розглянутих в п. 3,5 з розд. 1, можна отримати консервативні варіанти цих схем для квазілінійних дівергентних систем рівнянь (5). Наприклад, при виборі (а}) /, (а}) / відповідно до (1.39), (1.40) при o t > 0 і аналогічними виразами при a f <0 можна отримати аналог різницевої схеми, '' найбільш близькою "на сітковому шаблоні (1.14) до схеми з позитивною аппроксимацией. Така схема приведена в роботі [63]. Нарешті, якщо скористатися результатами п. 6 з розд. 1 і вибрати в співвідношеннях (9), (10) коефіцієнти (а *) /, (а?) /, (А |) / відповідно до (1.46), отримаємо гібридні варіанти цих консервативних різницевих схем, що мають перший порядок точності при 7 = 1 (і монотонні, якщо

а А вибирати відповідно до умов (1.11) - (1.13)) і другий порядок точності при 7 = 0. Зокрема, якщо в якості а А в (1.46) вибрати

схему Б. Карлсона (1.18), а в якості а в - схему (1.39), (1.40) при О /> 0 і аналогічну при а / <0, тобто в (10) покласти:

то співвідношення (9), (10), (13) при 7 = 1 переходять в консервативний варіант схеми Б. Карлсона для системи (5), що має мінімальну Апроксимаційні В'язкість середовища монотонних схем першого порядку точності на сітковому шаблоні (1.14), а при 7 = 0 - в консервативний аналог схеми (1.39), (1.40), який серед усіх різницевих схем другого порядку точності для шаблону (1.14) дає найменш осцилююче рішення. У лінійному скалярном випадку цій схемі при 0 <7 <1 в просторі коефіцієнтів відповідають відрізки А Х У Ь на рис. 4.2 і відрізки А 2 2 високоефективних? 6 на рис. 4.3. Відзначимо також, що при виборі в якості а А різницевої схеми (1.18), а в якості а в "лівого прямокутника" (1.28) при про { > 0 і аналогічної схеми - "правого прямокутника" при <7 / <0 отримаємо узагальнення на випадок системи (5) різницевої схеми з роботи [93] (в порівнянні з (13) вона менш вдала при 7 <^ 1 через погану поведінку на розривних рішеннях різницевих схем типу (1.28)). У лінійному скалярном разі схемою [93] при про ( > 0 відповідають відрізки А х В * на рис. 4.2 і відрізки А 2 В А на рис. 4.3.

Як приклад на рис. 4.12 наведені результати розрахунків по схемі (9), (10), (13) завдання про розпад розриву для одновимірних нестаціонарних рівнянь газової динаміки:

де р - щільність, р - тиск, v - швидкість, е - питома внутрішня енергія, до = 1.4 - показник адіабати.

Область інтегрування 0 t = 2,5, отримані в розрахунках з числом Куранта (12) а, = 1, 2 і 4. Кривим 1 і 2 відповідають розрахунки при 7 = 1 і 7 = 0, точками відзначені розрахунки для випадку, коли значення параметра у пов'язувалося з поведінкою чисельного рішення так, щоб поблизу розривів у »1, а в області гладкого рішення -7 ^ 0. Штриховими лініями позначено точне рішення. Початковий розрив розпадається на хвилю розрідження (зліва), контактний розрив (у центрі) і ударну хвилю (праворуч). Нелінійна разностная система рівнянь (9), (10), (13) вирішувалася ітераціями (з лінеаризацією по Ньютону), а на кожній ітерації використовувалася матрична прогін для вирішення відповідної лінійної системи. При числах Куранта а, <1 до збіжності з е * ~ 10 ' 6 потрібно 2-3 ітерації, при а,> 1 необхідне число ітерацій збільшувалася, однак збіжність наблюда-

Мал. 4.12

лась у всіх розраховувалися варіантах (проведено до о. = 8). Видно, що при о, <1 в такій гібридної схемою вдається повністю позбутися від осциляцій, як і в монотонної схемою Б. Карлсона (7 = 1, крива /). При цьому ширина зони розмазування (нахил кривих на розривах) залишається такою ж, як і в схемі другого порядку точності (7 = 0, крива 2). При о,> 1 спочатку за фронтом ударної хвилі, де число Куранта максимальне, а потім і поблизу хвилі розрідження в схемі другого порядку точності (і як наслідок - в гібридної схемою, хоча і в меншій мірі) амплітуда осциляцій і глибина їх проникнення збільшуються, як і в лінійному випадку (рис. 4.11). Це не означає, звичайно, що неявні схеми непридатні для розрахунків розривних рішень. Наприклад, досить часто число Куранта в області інтегрування може змінюватися дуже сильно (на порядки) і великі його значення (обмежують тимчасової крок в явних схемах) досягаються в області гладкого рішення, а у розривів мають істотно менші значення. Для таких та інших аналогічних завдань переваги неявних схем безперечні. Цікаво відзначити, що на контактному розриві властивості всіх трьох варіантів цієї схеми (7 = 0, 7 = 1 і гібридна) практично не залежать від значення числа Куранта.

3. Іншим, настільки ж ефективним підходом до узагальнення різницевих схем, розвинених для лінійних рівнянь і систем на нелінійний випадок (використовуваним, як правило, в явних схемах), є метод Рунге Кутта, на основі якого будуються різні багатокрокові схеми з перерахунком (предиктор -корректор). Для схем третього порядку точності такий підхід використовувався, наприклад, в роботах [79, 103] і багатьох наступних робіт ([83, 104-108] та ін.). Сюди ж відносяться схеми другого порядку точності Лакса-Вендроффа [58], Маккормака [59] та ін. Загальним для всіх таких схем є використання сіткового шаблону типу (1.19), для якого нижче проводяться узагальнення різних різницевих схем з п. 5, 6 розд . 1 на випадок системи (5).

Як перший приклад розглянемо однопараметричне сімейство явних консервативних схем для (5) (для простоти в подальшому

розглядається випадок $ = 0)

де В = Ь { | - деяка діагональна матриця, й обчислюється, наприклад, за відомою схемою другого порядку точності Лакса-Вендроффа [58] або аналогічною схемою Маккормака [59], в лінійному випадку відповідним точці В s на рис. 4.2, 4.4, й = і л або і в залежності від того, за даними якого тимчасового шару проводиться згладжування за допомогою оператора в квадратних дужках з правої частини (15). У обчислювальній практиці широко використовуються співвідношення типу (15), проте зазвичай зі скалярним коефіцієнтом згладжування (Ь, - = Ь ), підбираються з різних (часто чисто евристичних) міркувань. Використання для всіх характеристичних напрямків системи (5) dx = f dt коефіцієнта згладжування b різних його значень b t для кожного з умов сумісності, до яких може бути приведена система (5), дозволяє помітно розширити можливості для оптимального в тому чи іншому сенсі вибору значень цих коефіцієнтів. Ці оптимальні значення залежать від Of = / т / А і є різними для різних характеристичних напрямків.

При згладжуванні за даними на шарі / = / я , тобто при й = і п в (15), і виборі

в лінійному випадку для кожного з умов спільності типу (1.1), до яких наводиться (5), збільшення у в (16), тобто збільшення А, -, призводить до того, що точка на рис. 4.4, що відповідає цій схемі, рухається від В s (при 7 = 0) вниз по вертикальній осі (так як (а ° 2 ) / = = (сг5) / = 0) і при 7 = 1 збігається з точкою А х . Подальше збільшення у призводить лише до зайвого згладжування чисельного рішення. Зокрема, при bf = (1 - про}) / 2 отримаємо разностную схему, аналогічну схемою П. Лакса [53] (точка Про на рис. 4.4), а при еше великих значеннях у в просторі коефіцієнтів різницевої схемою (15) будуть відповідати точки, розташовані нижче багатогранника схем з позитивною аппроксимацией (нестійкі схеми). Звідси випливає обмеження зверху на величину b при використанні скалярного коефіцієнта згладжування в (15) (при ї = і п ):

При використанні в (15) згладжування за даними тимчасового шару t = t n * l9 тобто й = й, лінійному скалярному випадку (1.1),> 0 в просторі коефіцієнтів відповідає промінь з початком в точці В 5 (при

b t = b = 0), спрямований в бік точки G 2 (при b> 0), ні при яких значеннях не перетинаються багатогранника різницевих схем з позитивною аппроксимацией Про А х А 3 А 4 А $ А 6 , хоча і проходить досить близько від нього (рис. 4.4). Найближчою до цього багатограннику точкою променя B 5 G 2 є точка С |, для якої 6 = а / (2 +5 о). Тоді при виборі в (15)

такий разностной схемою будуть відповідати точки відрізка B S G j на рис. 4.4.

Іншими поширеними прикладами явних схем з перерахунком, що використовують згладжування на верхньому часовому шарі, є деякі варіанти методу корекції потоків ( FCT ), запропоновані для одного скалярного рівняння (1.1) зі змінними, в тому числі знакозмінними значеннями X [95]. Основна ідея цих схем полягає в попередньому обчисленні v m за схемою з позитивною аппроксимацией, наприклад,

і в подальшому відновленні в області гладкою рішення другого порядку точності за допомогою перерахунку

У просторі коефіцієнтів різницевих схем на шаблоні (1.19) (рис.4.4) першого етапу відповідає деяка точка на відрізку А (її положення залежить від вибору i>), а другого - перехід з неї в деяку точку на площині Bj, j = 1, 2 ... схем другого порядку точності. Напрямок цього переходу і положення точки переходу на площині Bj, / = 1, 2, ... однозначно визначається видом "анти згладжує" оператора при розрахунку і залежить від величини а = Xr / Л. Такий підхід, очевидно, краще (15), (17), оскільки в ньому свідомо здійснюється (там, де це необхідно) вихід на схему з позитивною аппроксимацией. Крім того, схема (15) з обчисленням і по двухшаговим схемами типу Лакса-Вендроффа, але суті, є трехшаговий схемою, а за допомогою двох перерахунків можна було б вже побудувати схему з третім порядком точності. Як монотонної схеми першого порядку точності в явних схемах корекції потоків краще вибирати разностную схему, відповідну найближчій до площини Bj, / = 1,2, ... точці А , тоді і заключного етапу на цій площині буде відповідати точка (різницева схема), не надто ухиляється від найближчої до багатограннику ОАА 3 А 4 А ь А ь точки В 6 . Для випадку системи (5) такий разностной схемою буде (15) при і = і, обчисленні і за схемою (11) і виборі

Тоді при у = 1 маємо монотонну схему (11), при 7 = 0 (11), (15), (18) буде мати другий порядок точності на рішеннях (5), а при проміжних значеннях у в лінійному випадку 0 < o t <1 цій схемі буде відповідати відрізок АС на рис. 4.4 (точка С! Потрапляє на пряму різницевих схем третього порядку точності тільки при o t - 0,5, як це зображено на рис. 4.4).

Розглянемо еше один приклад гібридної явною двокрокового схеми для (5), що відповідає в лінійному скалярном випадку однопараметричними сімейства різницевих схем, розташованих на відрізку А Х У Ь% кінці якого, як показано в п. 4,5 з розд. 1, відповідають найбільш точною монотонної схемою першого порядку і найменш осциллирующей схемою другого .порядка точності (точки А у і В 6 на рис. 4.4). Така різницева схема може бути реалізована по-різному, наприклад.

Як видно, в даній реалізації в якості предиктора використовується нестійка схема для обчислення і т , проте в цілому схема (19), (20) стійка при числах Куранта <2 і будь-яких значеннях у з діапазону [О, 1]. При у = 1 вона переходить в деяку монотонну схему (зокрема, в (11) при о. <1), а при 7 = 0 має другий порядок точності на рішеннях (5) і аналогічна явною, "найменш осциллирующей" схемою другого порядку точності з (63] (в лінійному випадку (1.37), (1.38)). Цей приклад еше раз підкреслює відомий з обчислювальної практики факт, що про властивості багатокрокових різницевих схем (а також схем зі штучною в'язкістю, згладжуванням і т.п.) необхідно судити в цілому. а не по окремим їх етапах, тобто хороший елемент в будь-якої схемою може призводити до зовсім неже лательно наслідків в іншій схемі (і навпаки, природно). Це пов'язано з тією обставиною, що кожна комбінація значень сіткової функції в вузлах сіткового шаблону з вільним параметром при ній, що додається до деякої опорної схемою (точці в просторі коефіцієнтів), визначає в цьому просторі деяку пряму, що проходить через цю точку, - опорну схему. Змінюючи опорну схему, тим самим переносимо в просторі коефіцієнтів цю пряму паралельно самій собі і тепер уже різних значень вільного параметра можу відповідати зовсім інші за своїми властивостями різницеві схеми, відмінні як від опорної схеми, так і від початкового сімейства (наприклад, ця пряма тепер може майже всюди лежати в області нестійких схем, не перетинати безлічі схем з позитивною аппроксимацией і т.п.).

Наведемо еше один приклад гібридної (трехшаговий) різницевої схеми для (5):

яка при 7 = 1 переходить в монотонну схему (11). При у = 0 зі скалярним #, а не матричних n _l GH, як в (24) коефіцієнтом в вираженні для 6, тобто при

ця схема є запропонованим в роботі [79] однопараметричним сімейством різницевих схем третього порядку точності на рішеннях

(5), стійким (як показано в цій же роботі, див. Також (1.23)) при про * = т шах | Х / | / Л <1 і - 1/8 (Aj - 4) / 24.

i, т

На рис. 4.13 показана область допускаються цією умовою стійкості значень параметра g (область між штриховими лініями D і С 3 ). Так само штриховими лініями D і С показані рекомендовані в роботі [83] на основі аналізу дисипативних і дисперсійних властивостей різницевої схеми типу (21) - (23), (25) (в якій (21), (22) замінені більш зручною для узагальнення на багатовимірний випадок схемою Маккормака [59]) значення скалярного параметра g в (25): схема з мінімальною диссипацией, для якої g = а ^ вх (oj ^ - 4) / 24, точка D на рис. 4.4 і схема з мінімальною дисперсією , для якої g = (4 про max + 1) Х X (ff? Mx - 4) / 120, точка С на рис. 4.4, o max = г max | (Xf)? 1 / Л. Зіставляючи на сітковому шаблоні (1.19) співвідношення (21) - (23), (25) в лінійному скалярном випадку з (1.2), (1.5), (1.22), можна встановити зв'язок між вільними параметрами g і а ° _ 2 : g = а® (а + 2) (2а - 1) / 24, звідки для варіанта схеми (21) - (23), (24), у = 0, '' найбільш близького "до схем з позитивною аппроксимацией, з (1.45) при а> 0 і аналогічного виразу при про < 0 отримані оптимальні значення цього параметра:

Залежність від | а / 1 параметра g t з виразу (26) показана на рис. 4.13 суцільною лінією (крива С 2 ). При проміжних значеннях 0 < у <1 схемою (21) - (24) в лінійному скалярном випадку і про> 0 відповідає відрізок A i С 2 на рис. 4.4.

На рис. 4.14 в перерізі х = 2,77 (через 120 кроків) в залежності від т = y / h представлені профілі щільності р з розрахунків за різними схемами автомодельної стаціонарної задачі про взаємодію прямолінійною ударної хвилі АС з контактним розривом ВС (рис. 4.15), в якої після взаємодії в точці С утворюються заломлені ударна хвиля l контактний розрив 2 і віяло хвиль розрідження 3-4. Для даного завдання в (5) маємо

Роль гіперболічної змінної t грає просторова координата Ху а за х в (5) прийнята інша просторова координата у. Початкові значення компонент і, і вектора швидкості по осях х иу> внутрішньої енергії е і тиску р вибиралися наступними:

Дані на рис. 4.14, а-д відповідають розрахункам при о, = 1, а на рис. 4.14, е - при о * = 2. Штриховими лініями показано точне рішення.

Криві 1 на рис. 4.14, a-в, д відповідають розрахункам по монотонної схемою першого порядку точності з мінімальною апроксимаційної в'язкістю (11), крива 0 на рис. 4.14, а - схема П. Лакса (неоптимальна в сенсі величини апроксимаційної в'язкості різницева схема - точка 0 на рис. 4.2-4.5). Як і в лінійному скалярном випадку (рис. 4.7), переваги схем з позитивною аппроксимацией '' найбільш близьких "в просторі коефіцієнтів до схем вищого порядку точності в порівнянні з неоптимальними в цьому відношенні схемами тут також явно помітні.

Якщо схема (11) дає цілком задовільний рішення і на розривах типу ударної хвилі цілком конкурентоспроможна зі схемами більш високого порядку точності, то схема П. Лакса та інші неоптимальні схеми з позитивною аппроксимацией практично непридатні для такого роду завдань.

Про вплив близькості в просторі коефіцієнтів схем другого і більш високого порядку точності до безлічі схем з позитивною аппроксимацией можна судити з порівняння результатів розрахунків за оптимальними в цьому відношенні схемами другого порядку точності (19), (20), 7 = 0 (крива 2 на рис . 4.14, а) і третього порядку точності (21) - (24), 7 = 0 (крива 3 на рис. 4.14, в) і по неоптимальним схемами другого порядку точності Лакса-Вен дрохв фа [58] і аналогічною схемою Маккормака [ 59] (криві 2 на рис. 4.14, г, б). Видно, що використання таких оптимальних схем дозволяє помітно зменшити амплітуду осциляцій і глибину їх поширення, хоча повністю від них позбутися не вдається, як це випливає з результатів роботи [63] і п. 3 розд. 1.

Результати розрахунків завдання (27) за гібридним сеточно-характеристичним схемами 0 <7 <1 ((15), (16) - рис. 4.14,6; (15), (17) - рис. 4.14, г; (І), (15), (18) - рис. 4.14, д; (19), (20) -ріс.4.14А (21), (22), — (23), (24) - рис. 4.14, в) показані точками. Крива 1 на рис. 4.14, е - дані розрахунків при а. = 2 по монотонної схемою першого порядку точності (19) , (20), 7 = 1. Видно, що для всіх гібридних сеточно-характеристичних схем вдається практично повністю позбутися від осциляцій, при цьому ширина зони розмазування розривів в цих схемах залишається такою ж, як і в опорних схемах другого і третього порядку точності. дещо кращі результати дає схема (19 ), (20) (рис. 4.14, а ), що цілком природно, оскільки і без регуляризації (крива 2 на рис. 4.14, а) вона дає малоосціллірующее рішення. Відзначимо, яго її позитивні властивості зберігаються аж до а, = 2 ( рис. 4.14, е). Крива 1 на рис. 4.14, г - дані розрахунків за схемою (15), (17) при виборі скалярного коефіцієнта згладжування b { = b * = 0, 3. Видно, що підібрати хороший єдиний для всіх умов спільності коефіцієнт згладжування досить складно. Це ж зауваження стосується і схемами (21) - (23), (25).

У розглянутих вище гібридних схемах був залишений відкритим питання про вибір конкретних значень скалярного параметра 0 <7 <1, оскільки його вибір, зазвичай пов'язується з поведінкою рішення, є незалежною завданням. Загальні вимоги до його вибору досить очевидні - він повинен приймати значення 0 в області гладкого рішення і значення 1 поблизу розривів, для чого насамперед потрібні ефективні алгоритми локалізації положення розривів. Конкретна реалізація вибору 7 може бути різною і від вдалого підбору алгоритму для його визначення до певної міри залежить остаточний результат. Деякі способи вибору у (або його аналогів) наводяться, наприклад, в роботах [92-100, 109]. Слід підкреслити, що при побудові всіх розглянутих тут гібридних схем істотно використовувалися характеристичні властивості систем рівнянь гіперболічного типу і єдиний для всіх рівнянь параметр забезпечує при у = 1 вихід на ту чи іншу опорну монотонну різницеву схему з мінімальною апроксимаційної в'язкістю, що відрізняє розглянутий тут підхід від інших відомих способів регуляризації розривних чисельних рішень. У представлених на рис. 4.12, 4.14 розрахунках алгоритм вибору у був аналогічний [94], наприклад,

і деякі інші його різновиди. Типова поведінка у в численних розрахунках показано на рис. 4.14 штрих-пунктирною лінією.

4. Розглянуті в п. 2, 3 різницеві схеми будувалися, виходячи з дівергентних рівнянь (5). Вони мають властивість консервативності, як відомо [110] що грає важливу роль при наскрізному розрахунку розривних рішень. Отримання не дівергентних варіантів всіх цих схем не становить труднощів, наприклад, заміною різниць типу F m4 .j - F m на

^ Mf | / 2 ( "m + l" Um) І Т.Д.

На рис. 4.16 для завдання (14) з точним рішення (штрихові лінії) порівнюються результати розрахунків (профілі щільності р) по дівергентним (рис. 4.16, j) і недівергентним (рис. 4.16,6) варіантів схеми (19), (20). Криві / відповідають розрахункам за схемою першого порядку точності (у = 1), криві 2 - варіанту схеми другого порядку точності (у = * 0), точки - гібридної схемою (у з (28)). Видно, що при малій інтенсивності ударної хвилі (по відношенню тисків до півтора) недівергентние схеми цілком задовільно відтворюють таке розривне рішення, зокрема, за параметрами за ударною хвилею, хоча швидкість руху ударної хвилі в них відтворено дещо гірше, ніж в дівергентних варіантах цих схем (тобто в недівергентних схемах співвідношення на розривах виконуються з помітною помилкою). Однак при збільшенні інтенсивності розривів нсдівергентние схеми стають практично непридатними до наскрізного розрахунку розривних рішень і вимагають при їх використанні явного виділення розривів великої інтенсивності. Як видно з представлених на рис. 4.17 профілів швидкості і, отриманих за дивергентному (крива 1 ) і недівергентому (крива 2) варіантів гібридної схеми (19), (20), (28) для тієї ж задачі (14), але з більш інтенсивними розривами (р (0, х) = р (0, х) = 10 при х <0), в цьому випадку недівергентная схема вже досить незадовільно відтворює розриви, в тому числі і контактний, де швидкість і повинна бути безперервною. Точне рішення на рис. 4.17 показано штриховою лінією.

З іншого боку, йспользованіе консервативних різницевих схем для строго дівергентних рівнянь (5) (з нульовою правою частиною у = 0) в деяких випадках також може призводити до непрятностей наслідків. Наприклад, якщо хоча б в одній з систем координат рівняння можуть бути записані в дивергентной формі (5) з = 0, то при довільному взаємно-однозначним перетворенні незалежних змінних f = f (r, т?), Х - х (т, г ?), як відомо (див. розд. 2 гл. 1), заміною w = u / т? *, Ф =

Мал. 4.16

Мал. 4.17

= (R?, U + rj x F ) / rj x система (5) приводиться до еквівалентної (5) дивергентной в нових змінних г, rj формі (див. Розд. 2 гл. 1):

w T + = 0. (29)

Розглянемо найпростішу задачу Коші для (5), у = 0, а саме та (0, х) = = u ° = 1 і®, ..., Uj | , І * = const, 1 = 1, ..., /. Тоді і для всіх t > О і (Г, х ) = u °. Однак якщо зробити деяку нелінійну заміну незалежних змінних, наприклад, t = т, х = х (т, т?), Vx ^ 0, °°, то w (0, т?) І Ф (0, т?) Стають функціями rj і будь-яка консервативна схема для (29) через помилки апроксимації буде забезпечувати виконання умови u (f, х) = і 0 , в той час як недівергентние схеми вільні від цього недоліку. Цей ефект особливо помітний поблизу осі циліндричної, центру сферичної і т.д. систем координат, де відбувається найбільш різка зміна перетвореної фукнции Ф і мають місце найбільші значення помилок апроксимації, пропорційних тим чи іншим просторовим похідним від Ф. Зазвичай в таких ситуаціях використовують різні проміжні між (1) і (5) форми рівнянь (наприклад, [18 , 20] та ін.). Однак можливі й інші підходи. Для дівергентних рівнянь (5), крім завдання відшукання узагальненого рішення (аналогом якої є використання консервативних схем наскрізного рахунку), поширений підхід, пов'язаний з розбиттям області інтегрування на підобласті гладкого рішення, розділені виділяються явно поверхнями розриву. Дивергентна форма рівнянь (5) в такому підході використовується тільки на поверхнях розривів. Цей підхід широко і успішно використовується на основі не дівергентних чисельних методів (особливо для схем першого порядку точності) і дозволяє на порівняно грубих сітках отримати досить точні результати, коли число розривів великої інтенсивності порівняно невелика, оскільки слабкі розриви задовільно відтворюються недівергентнимі схемами. Коли такий підхід стає занадто громіздким (через велику кількість інтенсивних розривів, складної їх форми і т.п.), можна скористатися також схемами наскрізного рахунку, проте консервативні варіанти схем в цьому випадку застосовувати тільки там, де вони дійсно необхідні, т. е. поблизу розривів і інших поверхонь негладкого рішення. В області гладкого рішення - використовувати недівергентние варіанти цих схем, тобто чинити так, як це робиться в гібридних схемах з порядком апроксимації. Такі локально-дівергентние схеми вигідні ще й тим, що розрахунок за консервативними варіантами (зазвичай вимагає помітно більшого, ніж недівергентние варіанти цих же схем, числа арифметичних операцій) проводиться лише у відносно невеликому числі вузлів від їх загальної кількості в області інтегрування. Приклад розрахунку завдання про розпад розриву з р (0, х) = р (0, х) = 10 при х <0 не основа гібридної схеми з роботи [64] показаний на рис. 4.17 точками. Поблизу розриву застосовувалася безпосередньо оптимальна явна схема з [64], а в області гладкого рішення використовувався недівергентний варіант цієї ж схеми (таких точок на шарі t = const було в середньому 87-90%). Як видно, така локально-дивергентная схема за своїми властивостями практично не поступається чисто консервативним схемами (19), (20).

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >