РІЗНИЦЕВОЇ СХЕМИ З ПОЗИТИВНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ ДЛЯ БАГАТОМІРНОГО РІВНЯННЯ ПЕРЕНЕСЕННЯ

1. Дотримуючись [66], розглянемо спочатку багатовимірне рівняння переносу

і обмежимося виписаними в (1) членами, оскільки всі подальші побудови, результати і висновки не пов'язані з числом просторових змінних Х | , х 2 , ...,. Введемо разностную сітку

сітковий функцію і "^ mj = v (t n , Х mi , х 2 m a ) і Для довільного сіткового шаблону, що включає вузлові точкі'А; = 1,2, ... * К,

запишемо все допускаються цим сітковим шаблоном лінійні різницеві схеми у вигляді

з невизначеними коефіцієнтами ос до , сукупність яких

як і в одновимірному випадку, будемо розглядати в якості лінійного простору з евклідової метрикою. Першим диференціальним наближенням різницевих схем (3) буде

Умовами апроксимації першого порядку є лінійні щодо невизначених коефіцієнтів а * рівняння

умовами другого порядку апроксимації - аналогічні співвідношення

137

і т.д.

Поряд з простором а будемо використовувати також лінійний простір

з розмірністю на 3 менше, ніж (4), яке виходить після виключення з допомогою (6) трьох будь-яких коефіцієнтів, наприклад,

Будь-яка точка в просторі (8) є разностной схемою першого порядку точності і, як і в одновимірному випадку (розд. 1), будемо припускати, що близьким в цьому просторі точкам А , В> наприклад, в евклідової метриці

відповідають близькі за своїми властивостями (точності, стійкості, величиною монотонності або немонотонності і ТЩ.) різницеві схеми.

Три умови апроксимації другого порядку точності (7), кожне з яких визначає в просторі (8) гіперплоскость (а в сукупності вони визначають в цьому просторі все безліч різницевих схем з порядком апроксимації вище першого), з використанням (9) мо- Гуть бути записані у вигляді

Тут 6 * (J = 1, 2, fc s 1, ..., К) у Д * (Л: = 1,2,3) визначаються співвідношеннями (9).

Зауважимо, що на сітковому шаблоні з чотирьох вузлових точок (одна з яких розраховується), які не лежать в одній площині, будується єдина схема першого порядку точності, для якої

Відповідно різницева схема другого порядку точності може бути побудована на сітковому шаблоні, що включає сім і більше вузлових точок, причому таких, щоб лінійна система (6), (7) мала розв'язок.

2. Введення простору невизначених коефіцієнтів (4) дозволяє для довільних сіткових шаблонів (2) знайти всі безліч різницевих схем з позитивною аппроксимацией, для яких

Загальне рішення цього завдання, тобто вектор а = | а г , ..., а до , як і в одновимірному випадку (розд. 1), є лінійною комбінацією з невід'ємними коефіцієнтами у ь (в сумі рівними одиниці) приватних рішень, тобто векторів а ь = | а %, ..., сР до , відповідних вершин замкнутого багатогранного безлічі (6), (13)

Для векторів a b = | ! з трьома позитивними компонентами

aj > 0, k = * i, до до обумовленими співвідношеннями (12) (інші aJ = 0), і відповідних їм в просторі а різницевих схем може бути доведена наступна теорема 1:

Все різницеві схеми з позитивною аппроксимацией, що відповідають вершинам замкнутого багатогранника (6), (13), будуються на чотирьохточкові сіткових шаблонах, що включають, крім розраховується ще три сіткових вузла, причому таких, що точка перетину характеристики рівняння (1), що виходить із розраховується вузла , з площиною в просторі | 1, х х , х 2 I, що проходить через інші три вузла сіткового шаблону, лежить всередині або на кордонах побудованого на цих вузлах, як на вершинах, трикутника. Коефіцієнти a *, до = до до до 3 таких різницевих схем єдиним чином визначаються з співвідношень (12).

Для доказу цього твердження розглянемо тривимірне простий-ранство I V, Mi, / 1 а J, v = (t - / ") / т, щ = (* / - x : / т / ) / ї /, j = 1, 2. Нехай в цьому просторі радіуси-вектори зазначених трьох сіткових вузлів мають координати г * = * | у *, Д | *, д 2 * |> до = до до до радіус-вектор розраховується точки Я: т н = J 1, 0, 0 I, точка перетину характеристики рівняння (1) з площиною v = 0 відповідно р = J 0, - aj, - про 2 1.

Тоді рівняння площини, що проходить через сіткові вузли т до > буде а рівняння характеристики При цьому, якщо все

то г описує на площині (14) усі точки, що лежать всередині і на кордонах трикутника з вершинами т до , до = k lf до 2 , до 3 . Для точки перетину характеристики (15) з площиною (14) маємо

звідки для визначення f} lx% / 3 , 0З * отримаємо, виключаючи у ХУ лінійну систему рівнянь:

Зіставляючи (16), (17) з (6), (13), неважко бачити, що обидві ці системи еквівалентні, якщо покласти кх = а до , що і доводить теорему. Цей результат аналогічними побудовами легко може бути перенесений на випадок довільного числа незалежних змінних. Для одновимірного випадку аналогічне твердження доведено в роботі [57].

3. Після того як знайдено всі безліч різницевих схем з позитивною аппроксимацией, природно поставити питання про те, чи існують серед них схеми з більш високим, ніж перший, порядком точності на рішеннях (1). Для одновимірного випадку, як відомо (див .: [57,60]), відповідь негативна.

Розглянемо величини 6ц = 6ц (а) і б 22 = б 22 (а) з (7) для знайдених різницевих схем (3), (13), які пропорційні коефіцієнтам апроксимаційної в'язкості в (5), з іншого боку - є у введеному просторі (4) відстанню (з урахуванням знака) від будь-якої точки багатогранника (6), (13) до_гіперплоскостей = 0іб 22 = 0 відповідно (величина 8 i2 = 6j 2 (a) - аналогічну відстань до гіперплощини 6 j 2 = 0).

Безпосередньою підстановкою знаходимо, що

тобто гиперплоскости бц = 0 і б 22 = 0 не мають перетинів з многогранником позитивних схем (6), (13) »за винятком тривіального випадку, коли характеристика рівняння (1), яка виходить із розраховується точки, проходить через один з вузлів сіткового шаблону. В цьому випадку однією з

своїх вершин багатогранник (6), (13) стикається з перетином гіперплоскостей бц = 0, б 22 = 0- Таким чином, доведена аналогічна одномерному випадку [57] теорема 2.

Для довільних сіткових шаблонів (в тому числі неявних і багатошарових) серед лінійних різницевих схем (3), (13) не існує схем з порядком апроксимації на рішеннях (1) вище першого. Як і попередня, ця теорема легко узагальнюється на випадок довільного числа незалежних змінних.

4. Далі природно поставити наступні дві поєднані завдання оптимізації. По-перше, завдання відшукання найбільш точної різницевої схеми серед схем з позитивною аппроксимацией (3), (6), (13) (наприклад

мінімізуючи коефіцієнти апроксимаційної в'язкості бх б 22 вибором відповідного сіткового шаблону), по-друге, навпаки, завдання пошуку серед, як встановлено, завжди немонотонність лінійних різницевих схем з порядком апроксимації на рішеннях (1) вище першого такої схеми, яка в тій чи іншій сенсі (наприклад, в сенсі відстані (10)

в просторі коефіцієнтів а ) найбільш близька до безлічі схем з позитивною аппроксимацией - (3), (6), (13).

Перша з цих задач легко вирішується, якщо в якості минимизируемого функціоналу вибрати величину

(відстань від безлічі схем з позитивною аппроксимацией (6), (13) до гіперплощини б, = 0, якій належить все безліч схем з порядком апроксимації вище першого - (6), (7)). Підставляючи вирази для бц, б 12 , б 22 із співвідношення (7) в (18) і враховуючи, що вектор нормалі, що виходить із сіткового вузла г = t k = v ki р lk , p 2 k i до характеристики (15) є n k = г # - г * + у (* н - р), у = = (гя - г до> г я - г,) / (г я - г *) 2 , а квадрат відстані від сіткового вузла г = т до до цієї характеристики відповідно | п * | 2 =

= - [Оя - г *) 2 (гя - м) 2 - (г н - Т до , гя - м) 2 1 / (гя - Г.) 2 > О,

отримаємо, що для довільної точки а

Для різницевих схем з позитивною аппроксимацией, все коефіцієнти бинации з невід'ємними коефіцієнтами, в сумі рівними одиниці, квадратів відстаней від сіткових вузлів до характеристики (15). Мінімальне значення 6, = 6 Ф (а через цей параметр також 6j 1,622) досягається при використанні сіткового шаблону, що задовольняє умовам теореми 1 і складеного з розраховується точки Н і трьох найближчих

до характеристики (15) сіткових вузлів. У просторі а такою схемою буде відповідати одна з вершин замкнутого багатогранника (6), ч -> -> оп

(13) а = а ".

Таким чином, рішення першої з сформульованих завдань побудови оптимальних різницевих схем дається теоремою 3.

Найбільш точною позитивної разностной схемою першого порядку апроксимації (3), (6), (13) є схема, побудована на сітковому шаблоні, що задовольняє умовам теореми 1, що включає розраховується точку і ще три вузла, найближчих в просторі, х х , х ^ до характеристиці рівняння (1), що виходить із розраховується точки. Як і дві попередні, теорема 3 справедлива при довільному числі незалежних змінних х х , х 2 , .... Її одновимірний аналог запропонований в роботі [57] і описаний в розд. 1.

Для вирішення другого з сформульованих завдань оптимізації достаточ-

- - н * н> оп

але з знайденої вище точки а = а ь опустити нормаль на перетин гіперплоскостей (7), тобто така схема з другим порядком апроксимації на рішеннях (1) знаходиться з співвідношень

в яких, як і всюди вище, (а, Ь) означає скалярний добуток векторів, вектори СЦ, С | 2, с * 2 і скаляри b ix , Ь Х2 , видання 22 визначаються з (11).

Аналогічним чином можна побудувати оптимальні в даному сенсі (з мінімізацією відстаней в просторі коефіцієнтів

різницевих схем а) схеми з порядком апроксимації вище другого, а також гібридні різницеві схеми (1.46).

5. Розглянемо деякі приклади різницевих схем з числа обговорювалися в п. 2-4 стосовно сіткового шаблоном з вузловими точками 1-6 на площині t - t n (рис. 4.18) для випадку про х > 0, 02> 0. Вибір зазначених умов і шаблону не є принциповим і обумовлений лише 142

Мал. 4.18

можливістю графічного представлення результатів аналізу різницевих схем в даному випадку в тривимірному просторі коефіцієнтів

= {А 4 , а 5 , а 6 і наявністю непорожньої при про х <1, Oj <1 безлічі схем з позитивною аппроксимацией.

На рис. 4.19 для випадку про х = о * = 0,5 зображений замкнутий багатогранник різницевих схем з позитивною аппроксимацией, вершини якого Ак (А: = 1, 2, ...) відповідають наступним різницевим схемам (відсутні коефіцієнти а 2 , а 3 в ( 3) визначаються співвідношеннями (9)):

Решта вершини цих багатогранників при Oi > 0, 02> 0 практичного інтересу не представляють, оскільки свідомо поступаються різницевим схемам (19) - (22) за точністю.

Точкою В 2 на рис. 4.19 з коефіцієнтами

відзначена єдина на даному шаблоні різницева схема другого порядку точності (один з варіантів схеми II з розд. 3 гл. III в лінійному скалярном випадку). Точці В х відповідає різницева схема, для якої В (5) - $ 7'i = 0, а коефіцієнт при і vv ^ Про ( тобто 6 j 2 - - 0 Од ^ 0) і

для котрої

Відповідно до теореми 3 найбільш точними різницевими схемами

з позитивною аппроксимацией (найбільш близькими в просторі а до точки В 2 ) будуть наступні схеми: (19) при 0 < про х <0,5, 0 < про 2 <0,5; (20) при 0,5 <aj <1, 0 <02 <0,5; (21) при 0 < про х <0,5, 0,5 <Oj <1; (22) при 0,5 < 0<1, 0,5 <Ог <1. В цьому можна переконатися і безпосередньо, аналізуючи для кожної з них величину г в (10) і коефіцієнти §i ь б 12 5 2 2 в (7) в залежності від Oj, 02 .

Для широко поширеного в обчислювальній практиці сіткового шаблону з вузлами 1-9 на шарі t = t n (рис. 4.18) пространст-

у а = j а 4 , а 9 (є шестімерной. Для зручності узагальнення розглянутих нижче різницевих схем на випадок квазілінійних систем рівнянь гіперболічного типу і побудови консервативних схем за допомогою лінійного перетворення

144

= <

перейдемо до також шестімерной достатньо міс 0 = | (3 t , ..., 0 6 J і виконаємо в ньому всі попередні побудови.

Тоді на даному шаблоні шестіпараметріческое сімейство різницевих схем першого порядку апроксимації (з вільними параметрами 01, ..., 06) (3), (6) можна записати у вигляді

При виконанні умов (7) або

(23) визначає трипараметричної сімейство різницевих схем другого порядку точності на рішеннях (1).

при | a t I <0,5, | a 2 I <0,5 найбільш точною схемою з позитивною аппроксимацией на цьому шаблоні є стійка і монотонна при | а, | + | про 2 I <1 схема I з розд. 3 гл. III:

Для інших значень o l9 про 2 в області | про х | <1, I а 2 I <1 найбільш точну схему з позитивною аппроксимацией можна записати у вигляді

Максимальне значення r L = r Lmhx «0,33, відношення ^ max / ^ mu % ^ 2,7 досягається при | про х | = | а 2 I = 0,5.

Для широко поширеною в обчислювальній практиці схеми Маккормака [59] маємо

якщо за обома просторовим напрямках використовуються однакові (обидві '' вперед "або обидві '' назад") односторонні різниці

коли по одному просторовому напрямку використовуються односторонні різниці '' вперед ", а по іншому -" назад "(або навпаки).

Для варіанту (29) цієї схеми при | a t I <0,5, | про 2 | <0,5

і максимальне значення г м = г м тах, що досягається при I | = | про 2 I = 0,5, залежить від знаків про ,, а г . Есліо, про 2 > 0 то г м тах = 0,125 м тах / т? 5, ах «« 1,04), а якщо йдеться про, <0, то г Мтах «0,28 (r M тах / г ^ ах «2,8). Варіант (30) краще використовувати навпаки, коли Oja 2 <0 Мтлх = = 0,125) і невигідно, коли Oia 2 > 0 (г МТА х % 0,28). Видно, що схема Маккормака є більш гнучкою в порівнянні зі схемою Лакса-вен- дроффа, якщо тільки вибирати в ній нецентральних (односторонні) різниці за напрямками х х і х 2 залежно від знаків про х і про 2 , тобто думати

Цей варіант схеми Маккормака за своїми властивостями не набагато програє оптимальної схемою (27).

На рис. 4.20, 4.21 представлені результати чисельного рішення рівняння (1) з Xj = 1, Х 2 = o 2 / aj в квадраті 0 <1, 0 <х 2 <1 з початковими і (0, х х , х 2 ) = 0 і граничними умовами, що забезпечують рух зліва направо під кутом в 45 ° до осі х х одиничного по амплітуді розриву в і. Положення ліній розриву в v через 140 (рис. 4.20) і 70 (рис. 4.21) кроків за часом показано в центральній частині малюнків. Розрахунки проведені при а х = 0,25, а 2 = -0,25 (рис. 4.20) і а х = 0,9, про 2 = -0,1 (рис. 4.21) на сітці з 71 X 71 вузлами ( h x = h 2 = 1/70). Наведено залежності v від т = x x / h x + 1 уздовж ліній х 2 = 60л 2 (або / = 61). Штриховий ламаної показано точне рішення. Суцільними кривими нанесені результати розрахунків по '' оптимальним "схемами (26) (криві 1 на рис. 4.20, а, 4.21, а) і (27) з у = 0 (криві 2 на рис. 4.20, а , 4.21, а ) , а також за схемами Лакса- Вендроффа (28) (рис. 4.20, г, 4.21, г), '' оптимальної схемою Маккормака "(31), тобто в даному випадку, для якого про х про 2 < 0, по (30) (рис. 4.20, б , 4.21, б) і за варіантом схеми Маккормака (29), який для даного випадку з про х про 2 <0 не є оптимальним (рис. 4.20, в, 4.21, в). Точками на рис. 4.20, д, 4.21, а показані результати розрахунків по гібридної схемою (27), в якій параметр у зв'язувався з поведінкою іскомо-

Мал. 4.20

Мал. 4.21

го рішення так, щоб в області гладкого рішення у «0, а поблизу розриву 7» 1. Видно, що результати розрахунків по порівнюваним схемами знаходяться в повній відповідності з аналізом їх властивостей в просторі коефіцієнтів. На рис. 4.22 наведені результати розрахунків за схемами (26) (криві 1 ), (27) з у = 0 (криві 2) і (27) з вибором у залежно

Мал. 4.22

від проведення рішення для випадку про х = 0,75, про 2 = -0,75 (при про г = 1, про 2 = - 1 всі ці схеми відтворюють точний розв'язок). Аналогічні рис. 4.20, 4.21 залежності тут показані для різних значень х 2 = = (/ - 1) Л 2 , а саме для / = 11,21,41 і 61.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >