СІТКОВО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ МЕТОДИ ДЛЯ ДИНАМІЧНИХ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ ДЕФОРМІВНОГО ТВЕРДОГО ТІЛА

1. Використовуючи звичайні кінематичні співвідношення для компонент симетричного тензора швидкостей деформацій [268] у фіксованій в просторі криволінійній ортогональній системі координат Х,

що забезпечує нульову швидкість зміни напруженого стану частинки при її обертанні як жорсткого цілого [255]. Однак, як показали розрахунки, в розглянутих нижче завданнях це практично несуттєво.

У виразах (1), (2) u =} і 1% v 2t 0i i> про 12У про 22 , про 33 , Т - вектор шуканих змінних, що включає компоненти Uj, v 2 вектора швидкості V (по осях х ь х 2 відповідно), відмінні від нуля компоненти а /; - сім-метр ічного тензора напружень і температуру Т; f (t, x lt х 2 , і) = (Д, / 2, Д1 »Д 2 у / г 2 > / з з> fr I . - вектор правих частин з наступними компо-

Тут F 1% F 2 - компоненти вектора масових сил, сТ - внутрішня енергія для термопружних середовища, з - питома теплоємність матеріалу, Q - об'ємна щільність джерел тепла, ///, i '= 1,2,3 - коефіцієнти Ляме, що характеризують обирану ортогональную криволинейную систему координат, р - щільність, яка визначається рівнянням стану твердого тіла, наприклад, виду

Ро- щільність матеріалу в недеформіруемое стані, К - коефіцієнт об'ємного стиснення. Відповідно до передбачуваної тут дво мірність деформованого стану переміщення матеріальних точок в напрямку х ь відсутні і про { 3 = а 2 з = і 3 = 0, Е / Ех 3 = 0. Матриці Aj - = " ik , у = 1,2 , /, до = 1,7, при цьому мають вигляд

Визначальні співвідношення (1), (4), (6) при / = 0 є звичайним '' законом Гука "для пружних ізотропних матеріалів. При у = О, Q = 0 в перші 6 рівнянь (2) не входить температура і їх можна вирішувати незалежно від рівняння енергії. Слід зазначити, що термічні ефекти зазвичай істотні лише при зовнішньому підводі тепла [255].

Виписана вище система рівнянь (1) - (7) - формальне об'єднання відомих динамічних рівнянь для малих термопружних (при / = 0) і пружно (7 = 0, Q = 0, без рівняння енергії в (2)) деформацій ізотропних матеріалів. Саме ці дві відомі моделі використовувалися при чисельному рішенні наведених в цьому розділі задач.

2. Для малих деформацій відмінності між лагранжевого і ейлеровим описом руху несуттєві; і система (2), (3), (5) допускає подальші спрощення, зокрема, можна знехтувати конвективними членами (опустивши v , і на головних діагоналях матриць А |, Л 2 в (5), що передбачалося в задачах про малих пружних і упругопластических деформаціях), тобто в (2) матриці А х і А 2 в цьому випадку замінялися на А, = А, - ( ", / Н,) Е , А 2 = А 2 - (v 2 / H 2 ) E, Aj = а ( до , / = 1. 2, /, до = = 1, ..., 7, Е - одинична матриця.

Для обліку кінцевих деформацій і переміщень введемо рухливу систему координат т? =? 2 ,? =? 3 , пов'язану з фіксованою ейлеровой сістемойдг 2 , * 3 співвідношеннями (1.2.12)

Надалі використовуються і зіставляються такі три системи координат: традиційна лагранжева; рухома ейлерова, пов'язана з рухом кордонів області інтегрування, і їх комбінація, в якій за одним з напрямків використовуються ейлерови, а по іншому - лагран- жеви змінні.

Для лагранжевой системи координат

в яких (dXf / dt ) / $ * = const = Cf (t, ?, V), j = 1,2, - компоненти локальної швидкості руху точок рухомої системи координат? = Const, т? = Const щодо фіксованої в просторі системи координат x ] t x 2 , x 3 . Матриця Якобі перетворення (8) має вигляд

і тим самим встановлюється зв'язок між похідними Е { Л / Ех ; - = і 'х, 1д $ '= х 1 ( /.

При такому перетворенні система рівнянь (2) набуває вигляду

Тоді необхідні похідні Е ^ / ЕГ, Е ^ / Ех ^ Длібо Ехо / ЕГ, Ех ; / д {*) визначаються через AT | f = дX} (t, ?) / Е / і AT | X = ЕЛГ ^ (г, {) / Е g чисельним диференціюванням співвідношень (22).

Нарешті, вважаючи

отримуємо змішану ейлерову-л агранжеву систему координат, в якій можна обмежитися обчисленням (і запам'ятовуванням) тільки величин

X 2ml = Х 2т / + TV 2ml ^ 2ml І 0ТЛІЧНЬ1е від Н У ЛЯ і вДІНІЦИ ПрОІЗВОДШ> 1е

Ех 2 / Е ^, / = 1,2, визначати, як у виразах (17) або (18).

Всі три розглянуті системи координат залишають спочатку прямокутну область інтегрування

і вводиться в ній рівномірну разностную сітку (15) нерухомими в змінних Г,?, т ?, проте в змінних /, х ь х 2 розташування сіткових вузлів (? т , 77 /) для кожної з цих систем координат є нерівномірним і суттєво впливає на розрахунок завдань з великими деформаціями.

3. При використанні для апроксимації системи рівнянь (І) явної схеми I сеточно-характеристичного методу (3.3.7), розрахунковими формулами у внутрішніх вузлових точках (? Т , т? /), M = 1 , 2 ,. . . , М - 1 , / = 1,2, ..., L - 1, будуть співвідношення (3.3.7) при v = 0, у = 1, тобто

чеських рівнянь Det (Aj - ^ Е) = 0; ? 2 ; - = I gj ^ | - неспецифічний матрі- Ріци, рядками яких є лінійно незалежні ліві власні вектори з of матриць Aj, що визначаються з точністю до їх довжини з сукупності лінійних однорідних систем рівнянь (АТ - jE) ojj = = 0, / = ? Lf l - зворотні до матриці ; Aj - транспонований матриці Aj.

При використанні неявній по одному з просторових напрямів (для визначеності по т?) Різницевої схеми (4.4.7), (4.4.8) співвідношення (26), (27) служать для обчислення входять до неї матричних коефіцієнтів.

4. При побудові розрахункових формул на кордонах прямокутної (в координатах Г,?, 7?) Області інтегрування (24) обмежимося розглядом тільки верхній (т? = 1) і нижньої (г? = 0) меж, маючи на увазі, що інші кордону (? = 0,? •) часто є площиною (або віссю) симетрії або періодичності рішення або вибираються таким чином, щоб за розглянутий час t < t x обурення від неоднорідностей в початкових даних не досягали цих кордонів. Узагальнення на випадок більш складних умов на кордонах? = 0,?, Не представляє принципових труднощів і аналогічно розглянутому нижче.

Для визначеності будемо використовувати явно-неявної схеми (4.4.7), (4.4.8), яка при виконанні умов

і виборі

автоматично переходить в явну схему (25).

Помноживши (4.4.7) зліва на отримаємо наступні співвідношення:

які з першим порядком точності апроксимують умови спільності

уздовж ліній перетину характеристичних поверхонь системи (11) з координатної площиною? =? ш (визначаються напрямком dr = = } dt). Зі схеми (4.4.8) видно, що для X] <0 (si 12 ) / = ($ -12) / = 0 і в співвідношення (30) не вважаються значення uJJ, * / _ х , і? ,, / _ х . Аналогічно, для X * > 0 (^ J 2) / = (^ 12) / = 0 і в співвідношення (30) не вважаються значення шуканого вектора і в вузлових точках (f " + ? Т , + 1), (Г" ,? m , r L + 1),

розташованих поза області інтегрування. Для X? з (26) маємо: А? >> 1 > 0, Л / <0 (/ = 3, 4, 5, 6, 7) і при розрахунку точок на кордоні г? = 0 використовуються співвідношення (30) при / = 3, 4, 5, 6, 7, доповнені відповідно до п. 2 розд. 5 гл. I аппроксимацией двох граничних умов:

278

На кордоні 7? = 1, для якої X *> Про при / = 1, 2, 3, 4, 5, X? <Xj <О, (де), = (si 2 ) / = 0, використовуються співвідношення (30) при / = 1, 2, 3, 4, 5 і два граничних умови:

Тут також на (33) накладаються обмеження Det № 2 2 Ф 0, № 2 2 = f <*> / до (, <Ь] до = dtf / duk при / = 6, 7, з oj k = o) j k з (27) при / = 1,2, 3,4, 5.

Для чисельного вирішення конкретних завдань використовувалися тільки '' лінійні "граничні услови виду

на кордоні т? = 0 і

на кордоні г? = 1.

Тут не розглядається питання про розрахункових формулах в кутових точках області інтегрування. Найбільш просто це питання вирішується в разі, якщо частина кордонів (наприклад,? = 0,? =? ,, як в розглянутих нижче завданнях) є лініями (поверхнями) симетрії або періодичності рішення. В цьому випадку вузлові точки, що належать таким кордонів, розраховуються звичайним чином (як і для 0 <? <<?,) З використанням відповідної симетрії або періодичності рішення.

З урахуванням зроблених вище зауважень на кожному '' промені "? =? m = const отримуємо звичайну трьохточкову крайову разностную завдання

яка вирішується методом прогонки.

Тут Sq 2 =! ($ 02) / | > 5-12 = I (^ - 12) / 1 »^ 12 = {($} 2 ) / | > Ь / = = t B] l (s 02) / 1 - діагональні матриці і вектор в правій частині (4.4.7), (4.4.8); s i 2 = j (sf 2 ) f | > ^ -12 = K s - 12) / 1 -діагональние матриці з елементами (s} 2 ) / = 0 при / = 1, 2; (si_12) # = 0 П Р І * = 6, 7; (s | 2 ) / = = (^ 12) / при / = 3,4, 5,6, 7; (Jl 12 ) / = ($ -12) / при 1 = 1, 2, 3, 4, 5; b ° = | b? l, b L = _l'bjl, b ° = Ь ° (Г п + ( т ) при, - = 1,2; bf = bf (t n + I , t ") при i = 6, 7; bf '= Bf I (5ог) / при i = 3, 4, 5, 6, 7; bf = Bfl (so 2 ) t П Р І i = 1, 2, 3, 4, 5, причому 0 <(s} 2 ) // (so2) i <1,0 <(sl_ l2 ) // (so2) i <1.

I- (S-I2) i '/ (S02) <I + I-01г) // (5О2) (I <1, що забезпечує стій- с- і монотонність прогонки.

При дослідженні явної схеми (25) розрахунковими формулами замість

обрані відповідно до описаного вище і в розд. 5гл. I принципом.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >