КВАНТОВО-ХВИЛЬОВА КОНЦЕПЦІЯ АТОМА

Стоячі хвилі на струні

Мал. 23. Стоячі хвилі на струні

Розвиток цієї концепції почалося в роботах Луї Дебройля, який запропонував пояснення того факту, що радіуси орбіт електронів в атомі водню та інших атомах не можуть приймати довільні розміри. Він використовував аналогію зі стоячими хвилями на струнах, відомими в класичній механіці (рис. 23). Умовою виникнення стоячої хвилі на закріпленій по кінцях струні є рівність:

де L позначає довжину струни, п - ціле число, а X позначає довжину хвилі, що біжить.

У цьому явищі дві зустрічні хвилі в суперпозиції утворюють стоячу хвилю, положення максимумів і мінімумів якої не зрушуються з плином часу. Якщо струну зімкнути кінцями, утворюючи коло (обруч), то її довжина буде пов'язана з радіусом відомим співвідношенням L = 2пг. Умова стоячих хвиль на обручі

буде записано у вигляді

Аналогія полягала в можливості представити рух електрона в вигляді моделі стоячих електронних хвиль, для яких немає необхідності використовувати поняття траєкторії (див. Рис. 24).

Щоб знайти вираз для довжини електронної хвилі, вирішимо систему двох рівнянь - одне з них буде представляти умова стоячих хвиль на кільцевій струні, інше буде висловлювати третій постулат Бора.

Л

Схема стоячій електронної хвилі

Мал. 24. Схема стоячій електронної хвилі

Розділивши один вислів на інше, отримаємо формулу для довжини хвилі Дебройля:

де добуток маси на швидкість електрона являє собою механічний імпульс частинки, h - постійна Планка.

Як видно з отриманої формули, параметр хвильового процесу (довжина хвилі) виражається через імпульс частинки. Тому можна сказати, що формула Дебройля переводить опис процесу руху частинки з мови механіки на мову хвильового руху.

Згідно ДеБройля, причина квантування енергії і розмірів орбіт Бора укладена в хвильових властивості електрона.

К. Девісон і Л. Джермер

Мал. 25. К. Девісон і Л. Джермер

Відзначимо, що в даному випадку робота французького вченого була суто теоретичною, без будь-яких експериментальних передумов. Однак після її появи були проведені дослідження, в яких експериментально виявлені прояви хвильових властивостей електронів поза атомів.

Зокрема, це були дослідження дифракції електронів на кристалах, виконані К. Девісон і Л. Джермером в 1923 р (рис. 25). Доречно процитувати лист Е. Шредінгера, написане в той час:

Деякі дослідники - Девісон, Джермер і молодий Томсон приступили до виконання дослідів, за які ще кілька років тому їх би помістили в психіатричну лікарню для спостереження за їх душевним станом. Але вони домоглися успіху!

Ці досліди показали наявність хвильових властивостей у електронів. Кожен окремий вільний електрон в певних умовах проявляє властивості хвилі - дифракцию.

Розрахована за формулою дифракції електромагнітних хвиль (рентгенівських променів) на кристалах, довжина хвилі для першого максимуму дифракції в дослідах Девісона і Джермера дорівнювала 16,7 нм. Розрахована для умов експерименту, довжина хвилі Дебройля дорівнювала 16,5 нм. Порівняння очікуваних довжин хвиль з знайденим в експерименті значенням виявляється показовим, цілком підтверджує ідею існування у електронів хвильових властивостей.

В експериментах Д. П. Томсона (сина Дж. Дж. Томсона) електрони, прискорені до енергії 10 кеВ, пролітали через тонку (0,1 мкм) плівку золота. На фотопластинці фіксувалася картина дифракції, аналогічна дифракції рентгенівських променів. Подібність рентгенограм підтверджувало ідею Дебройля.

Картина інтерференції електронів в дослідах К. Йенсена

Мал. 26. Картина інтерференції електронів в дослідах К. Йенсена

У 1961 р К. Йснссн виконав експеримент зі спостереження інтерференції електронів по схемі класичних для оптики дослідів Юнга з двома щілинами. Картина смуг інтерференції електронів і світла (електромагнітних хвиль) має дивовижну схожість (рис. 26).

Цей експеримент К. Йенсена, на думку багатьох фізиків, є одним з найкрасивіших експериментів в природознавстві.

В принципі, формула для хвилі Дебройля не обмежена видом мікрочастинки і може бути застосована і для протонів, і для нейтронів, навіть для атомарних пучків. Проведені в різних лабораторіях світу експерименти по дифракції протонів і нейтронів на кристалах підтверджують це положення. Більш того, порівняно недавно, в 1991 р, О. Кернсл і Дж. Млінек домоглися успіху в дослідах по інтерференції на двох щілинах атомів гелію. Наведені приклади показують, що хвильові властивості притаманні всім микрочастицам. Формула Дебройля має фундаментальне значення в сучасному природознавстві.

Заміна моделі руху електрона як матеріальної точки на модель поширення електронних хвиль призводить до певних проблем. Справа в тому, що опис руху матеріальної точки, за законами Ньютона, засноване на припущенні про знання в кожен момент часу точного значення двох параметрів - координати матеріальної точки і її імпульсу (т. Е. Маси і швидкості частки, що приймається за матеріальну точку).

Наявність хвильових властивостей у частинок мікросвіту «заважає» одночасного визначення координати і імпульсу. Пояснимо ситуацію на рівні якісних міркувань. Для цього порівняємо два різних хвильових пакета (або цуга хвиль), зображені на рис. 27.

Порівняння двох хвильових пакетів

Мал. 27. Порівняння двох хвильових пакетів

Для першого пакету невизначеність (тут можна також сказати - похибка вимірювання) координати буде менше, т. К. Пакет відносно вузький. Для іншого, більш широкого пакета, з великим числом максимумів і мінімумів, невизначеність з координування буде більше.

З іншого боку, досить очевидно, що похибка вимірювання величини довжини хвилі по відстані між найближчими максимумами в першому пакеті буде більше (менше серія вимірювань). Для широкого пакета є можливість виконання більшого числа вимірів, тому середня арифметична величина похибки але багатьом вимірам довжини хвилі буде менше.

Зі шкільного курсу лабораторних робіт відома формула визначення відносної похибки результату ділення:

Так як довжина хвилі Дебройля і величина імпульсу пов'язані між собою поділом постійної Планка на імпульс, можна записати (нехтуючи відносною похибкою вимірювання постійної Планка):

Для якісної оцінки можна замінити АХ на пропорційну їй величину ДР. Таким шляхом ми приходимо до якісної висновку: чим менше похибка вимірювання координати, тим більше похибка визначення імпульсу.

Більш суворе кількісне розгляд питання про співвідношення похибок для координати і імпульсу було дано В. Гейзенбергом. Воно було дано з найзагальніших позицій квантової механіки і носить назву співвідношення невизначеностей.

Чому не похибок? Тому, що термін похибка відноситься до процедур вимірювань, виконуваних експериментатором. А невизначеність має принциповий характер властивостей мікрочастинок і не залежить від спостерігача.

Знаменита формула співвідношення невизначеностей має вигляд:

Аналогічна формула отримана для співвідношення невизначеностей енергетичного стану і часу його спостереження:

Які висновки з наведених теоретичних співвідношень слідують для експерименту? Якщо ми точно вимірюємо значення координати частинки так, що невизначеність її прагне до нуля, ДА> 0, то втрачається значення додаткового властивості - значення імпульсу, так як АР буде прагнути до нескінченності:

Те ж саме відноситься і до величини енергії квантового стану. Для At, що прагнуть до нуля, Д Е має нескінченно велику невизначеність. Будь-які значення, навіть найбільші, можливі всередині цього інтервалу невизначеності.

Таким чином, або ми отримуємо інформацію про становище мікрочастинки, або про її імпульсі. Це властивість квантових об'єктів академік В.А. Фок назвав « відносність до засобів спостереження в одній і тій же системі координат».

У зв'язку з обговорюваними тут питаннями, важливо відзначити ще дві обставини.

1. У макросвіті ми можемо спостерігати рух об'єкта, практично не впливаючи на процес його руху, - спостерігається не залежить від спостерігача. Інша справа в мікросвіті. Тут будь-який акт спостереження, знімання інформації про стан процесу, про становище частинки супроводжується зміною стану, інакше неможливо. Процитуємо академіка А.Б. Мигдала [10]. «Для того щоб визначити положення електрона, потрібно висвітлити його і подивитися в« мікроскоп ». Такий спосіб визначення координати дає невизначеність 6А порядку довжини хвилі X використаного світла: ДХ = Х. Для уточнення положення електрона треба брати можливо меншу довжину хвилі світла. Але це палиця з двома кінцями. При взаємодії з електроном світло передає йому імпульс. Щоб зменшити переданий імпульс, можна послабити інтенсивність світла так, щоб з електроном взаємодіяв один фотон. Мінімальний передається електрону імпульс буде порядку імпульсу одного кванта.

Цей імпульс пов'язаний з довжиною хвилі співвідношенням р = hfk, тому невизначеність імпульсу електрона буде дорівнює або більше величини самого імпульсу:

Помноживши на X, і підставляючи замість X, отримуємо Ьх 8 р> h , т. Е. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга ».

Але передача електрону імпульсу означає втручання спостерігача в процес руху вільного електрона, і отже залежність спостережуваного від самого спостерігача. Таким чином, в мікросвіті неможливі невозмущающіе вимірювання!

Висновок з проведеного нами уявного експерименту з визначенням положення вільного електрона: в мікросвіті спостерігач стає співучасником процесу вимірювання, від дій якого залежить і подальша історія мікрооб'єкту спостереження.

2. Інша важлива відмінність квантової механіки від класичної механіки в тому, що зі співвідношення Гейзенберга слід принципова неможливість передбачити вичерпно точну траєкторію руху мікрочастинки. Справді, визначивши точну координату для даного часу спостереження, ми втратимо інформацію про імпульс частинки, т. Е. Напрям швидкості її руху буде невизначеним в широкому діапазоні величин і напрямків.

Як же тоді розрахувати нове положення частинки для наступного моменту часу?

Оскільки одночасно і точно дізнатися пов'язані співвідношенням Гейзенберга параметри можна в принципі, це означає, що рівняння класичної механіки Ньютона для мікросвіту будуть неадекватними, вони втрачають силу для мікрочастинок з хвильовими властивостями.

Теоретичне рішення проблеми опису станів електрона в атомі водню і у вільному стані, що враховує хвильові властивості мікрооб'єктів, було знайдено Е. Шредінгсром.

Ервін Шредінгер дав опис станів пов'язаних мікрочастинок, в тому числі і електрона в атомі водню, на мові хвильових функцій. Кожному енергетичного стану відповідає своя хвильова функція. Якщо для даного значення енергії є кілька хвильових функцій, то такий стан називають виродженим по енергії.

Для знаходження конкретного виду функцій необхідно вирішити хвильове рівняння, яке може бути записано з включенням в нього довжини хвилі Дебройля. Фактично підхід Е. Шредінгера був розвитком ідеї Дебройля про можливість застосування хвильового опису для руху мікрочастинок.

У загальному вигляді математична запис рівняння Шредінгера представляє собою диференціальне рівняння в приватних похідних другого порядку (маються другі похідні за трьома координатами).

Для основного стану атома водню воно спрощується, особливо якщо записати його в сферичної системі координат:

Тут грецька буква Т (пси) позначає хвильову функцію,

Е - повну енергію даного стану,

U (r) - потенційну енергію взаємодії електрона з ядром атома,

h - постійну Планка, т - масу електрона.

У більш загальному вигляді в рівняння (8) необхідно додати похідні по кутових координатах.

Для основного стану атома водню при п = 1 рішення рівняння Шредінгера для радіальної хвильової функції має вигляд:

У цьому записі г, позначає радіус першої орбіти Бора, г - радіальну координату.

Ця функція має максимальне значення при г = г, і убуває за величиною на 99% від максимального значення на відстані г = 5 / * i від центру атома водню (див. Рис. 28). Іншими словами, хвильова функція помітно виходить за межі першої боровськой орбіти. Однак більш важливим є те, що величина енергії основного стану в підході Шредінгера точно збігається з величиною енергії, що розраховується з теорії Бора.

Графік хвильової функції основного стану атома водню

Мал. 28. Графік хвильової функції основного стану атома водню

Для інших станів, чим більше головне квантове число п, тим складнішою стає математична запис рішення, з'являються залежно від квантових чисел /, т і 5.

З точки зору теоретичного передбачення спектра енергетичних рівнів електрона в атомі водню, теорія Шредінгера і теорія Бора рівноцінні, призводять до однакових результатів. Принципово нове з'являється в підході до опису руху електрона в атомі водню.

Ми вже відзначали, що в теорії Бора використовується модель руху матеріальної точки по цілком певної замкнутої траєкторії з доцентрові прискоренням. Саме прискорення призводить до протиріччя планетарної моделі з електродинаміки Максвелла.

В теорії Шредінгера немає місця поняттю траєкторії і доцентровому прискоренню, а значить усувається і протиріччя класичної електродинаміки. Це суттєва перевага хвильового опису. Але як хвильові функції визначають просторове положення електрона в атомі?

Це був досить складний, проблемне питання у фізиці мікросвіту. Відповідь на нього була дана в працях Макса Борна і його послідовників. М. Борн показав теоретично, що фізичний зміст має не сама по собі хвильова функція а квадрат модуля її | У | 2 . Відзначимо, що модуль усуває можливі негативні значення хвильової функції, а операція піднесення до квадрату усуває з вирішення уявні величини. В результаті завжди виходять позитивні і реальні величини.

Згідно з висновками М. Борна, квадрат модуля хвильової функції визначає щільність ймовірності знаходження електрона (або інший мікрочастинки, для якої знайдено хвильова функція), т. Е. Ймовірності, віднесеної до нескінченно малому обсягу навколо даної точки простору. Помноживши значення щільності ймовірності на величину малого, але кінцевого обсягу (IV навколо обраного положення (х, у, z)

в певній системі координат, можна розрахувати значення самої ймовірності щх, у, z) знаходження в цьому обсязі електрона:

За визначенням, ймовірність отримання будь-якого результату висловлюють позитивним числом в інтервалі від нуля до одиниці.

Таким чином, квантово-хвильовий опис замість електронних траєкторій навколо ядра пропонує імовірнісні розподілу заряду і маси електрона в просторі навколо ядра атома. У стаціонарних станах ці розподілу не змінюються. Якщо ми будемо шукати можливість знаходження електрона в кульовому шарі диференційно малого обсягу dV = 4nr 2 dr, то отримаємо такий вираз для щільності ймовірності:

Взявши першу похідну для вираження в правій частині рівності і прирівнявши її нулю, можна знайти, що максимум розподілу щільності ймовірності знаходження електрона на заданій відстані від центру атома водню має максимум на відстані, що збігається з радіусом першої орбіти в теорії Бора. В цьому проявляється певний зв'язок двох теорій. Відзначимо, що в основному стані атома водню розподіл щільності ймовірності має сферичну симетрію.

Для більш високих енергетичних рівнів об'ємні картини розподілів електронної щільності (можна і так інтерпретувати вірогідну картину) мають переважні напрямки вздовж осей координат або по діагональним напрямкам, іноді утворюють кільцеві фігури. Але чим далі від ядра знаходиться енергетичний рівень, тим більше вирівнюється картина розподілу і стає в загальних рисах схожою на картину стоячих механічних хвиль на кільцевій струні.

Можна сказати, що модель стоячих електронних хвиль Дебройля описує в першому наближенні електронну оболонку з великими номерами енергетичних рівнів. У міру переходу до ядру атома модель стає неадекватною.

У висновку глави 2 торкнемося питання про співвідношення динамічних і статистичних законів природи. Як було відзначено в п. 2.1, пізнаючи світ, людина описує його в поняттях і моделях своєї свідомості (розуму). Узагальнення знань в певній галузі виражається у вигляді законів - в символьних коротких позначеннях зв'язків (взаімодейсгвій) між властивостями об'єктів або процесів. Це можуть бути математичні, хімічні, логічні та інші символи в природних і технічних науках, словесні формулювання - в гуманітарних.

Залежно від природи і механізму прояви зв'язків розрізняють закони динамічні і статистичні.

Динамічні закони описують поведінку окремого об'єкта в різних умовах, дозволяють встановити однозначний зв'язок його станів у часі. Ці закони причинно детерміновані, т. Е. В явному вигляді вказують причини зміни стану об'єкта або процесу (що від чого однозначно залежить). Випадкові або неоднозначні зв'язку виключаються з розгляду, ними нехтують.

Цінність таких законів - у встановленні постійного характеру прояви зв'язків в мінливих умовах взаємодії. Самі досліджувані об'єкти в пізнанні замінюються їх більш простими моделями, що веде до спрощення математичного запису основних законів.

Хорошими прикладами подібного роду законів є закони динаміки Ньютона в класичній механіці. Детермінований характер (знання однозначних причин зміни станів об'єктів) дозволяє дати довгостроковий прогноз розвитку подій в рамках механістичної картини світу, наприклад передбачити час настання чергового затемнення Сонця Місяцем. При цьому реальні планети підміняються їх моделями у вигляді матеріальних точок.

Статистичні закони описують поведінку великих сукупностей взаємодіючих об'єктів, для яких в будь-який з моментів часу неможливо передбачити точні значення станів для індивідуально вибраного об'єкту (наприклад молекули в газі). Для окремого об'єкта тут можна дати тільки оцінку вірогідності його стану в даний момент часу.

Схема зіткнення частинок

Мал. 29. Схема зіткнення частинок

Наведемо приклад з молекулярної фізики, рахуючи кожну з молекул невеликим твердим, абсолютно пружним кулькою. Результат зіткнення двох молекул буде неоднозначним, гак як відхилення налітаючої частки від початкового напрямку руху буде залежати від випадкового положення розсіює молекули на шляху першої (рис. 29). При зіткненні за спрощеним варіантом а частка відхилиться вниз, за варіантом з - вгору, а за варіантом b вона буде відображена назад. Тому після кількох зіткнень передбачити траєкторію руху молекули буде неможливо. Саме випадковий характер зіткнень «стирає» інформацію про стан окремої частки. У таких ситуаціях використовують загальні для всього ансамблю частинок характеристики, які залишаються стійкими, незмінними, незважаючи на хаотичне, випадкове рух окремих частинок в системі. Таке поняття температури газу в термодинаміці. Для окремо взятої частинки поняття температури не застосовується.

Незважаючи на відмінність наведених описів двох видів законів, між ними немає чіткої межі. Динамічні закони переходять в статистичні при збільшенні числа взаємодіючих об'єктів і при наявності флуктуацій станів утворюється системи. Можна сказати, що динамічні закони є окремі випадки статистичних законів.

При підході з іншого боку можна очікувати переходу статистичного закону в динамічний, якщо всю сукупність часток можна описати (хоча б наближено) поведінкою і властивостями одного з елементів системи.

Слід зазначити, що розглянутий перехід між двома видами законів природи дає нам приклад прояву принципу відповідності в науковій методології. Він вимагає, щоб більш загальна теорія, в апроксимації на область застосування мснсс загальної, переходила в неї «автоматично», зокрема, її формули в цій області повинні збігатися з формулами менш загальної теорії. У подальшому викладі нашого курсу ми наведемо й інші приклади виконання принципу відповідності.

Рух електронів в атомах, як випливає з квантово-хвильової теорії, описується імовірнісними (статистичними) законами. Апарат теорії ймовірності розроблений для випадків багаторазових (масових) випробувань. Тут ймовірність реалізації будь-якого результату є ставлення числа «випадання» даного результату до загальної кількості випробувань. Це відноситься, наприклад, до ймовірності виграшу в лотерею.

Але інтерпретувати картину розподілу електронної щільності навколо ядра в такому описі, що в окремий момент часу точкова частинка-електрон знаходиться в одному місці, а в наступний момент він «випадково» може виявитися зовсім в іншому, буде неправильним. Картину слід уявляти собі саме за типом стоячій хвилі, коли хвиля єдина, зберігає свою цілісність, незважаючи на зміну її форми в різних місцях простору (в одних місцях - пучности, в інших - вузли). Так і електрон зберігає свою цілісність, коли вони присутні одночасно у всій області навколо ядра. Всі точки на рис. 27 утворюють єдину загальну картину одномоментно. Це незвично, але адекватно сучасному розумінню процесів в мікросвіті.

Розподіл ймовірності знаходження електрона для основного стану атома водню

Мал. 27. Розподіл ймовірності знаходження електрона для основного стану атома водню

Облік цілісності стану електрона при його перебуванні в зв'язаному стані в атомі водню виробляється так званим умовою нормування хвильової функції. Оскільки максимальне значення ймовірності дорівнює одиниці, умова нормування виражається красивою математичної записом:

Тут інтегрування квадрата модуля хвильової функції проводиться в межах від мінус нескінченності до плюс нескінченності по всім трьом просторовим координатам.

Таким чином, електрон і інші частинки мікросвіту виявляються незвичайними об'єктами природознавства, у них виявляються властивості і частинок, і хвиль. Можна говорити про дуалізм властивостей матерії, оскільки, зі свого боку, електромагнітні хвилі, особливо рентгенівського і гамма-діапазону, проявляють властивості частинок , наприклад в ефекті Комптона. Цей ефект ми опишемо пізніше.

Чим коротше довжина хвилі електромагнітних хвиль, тим більше вони «ведуть себе» подібно часткам (корпускула). З іншого боку, чим більше маса частинок, тим менше проявлені їх хвильові властивості. Для частинок з величинами мас, які зустрічаються на рівні макросвіту (світу звичних людині масштабів), вже немає можливості зафіксувати прояви їх хвильових властивостей.

Для раціонального мислення дуалізм властивостей одного і того ж фізичного об'єкта буде неможливо. Спрацьовує бінарна логіка Аристотеля: або частка, або хвиля. Третього не дано! Подібного «нс може бути!»

Тому при вивченні мікросвіту необхідна зміна стереотипів мислення. Тут для вироблення нового понятійного апарату, адекватного квантової об'єктивної реальності, доводиться використовувати обидві половини людського мозку, підключаючи асоціативно-образне, інтуїтивне мислення до раціонально-логічного.

Використовуючи метод аналогії, можна пошукати в макросвіті об'єкти, що мають нерозривно пов'язані властивості (або якості). Наприклад, візьмемо в руку ювілейну монету. Вона має аверс (передню сторону) із зазначенням вартості та реверс з символічним зображенням. Одночасно побачити аверс і реверс (орел і решка) зазвичай не вдається. Та й падає монета на землю за принципом «або орел, або решка». Проте, цілком очевидно, що у монети є нерозривна єдність двох протилежних властивостей, двох інформаційно значущих і різних сторін.

Наголошуючи на необхідності врахування різних сторін дійсності мікросвіту, Нільс Бор сформулював принцип додатковості. В одній зі своїх публікацій він писав:

Якими б суперечливими не здавалися одержувані в різних умовах досвідчені дані, їх треба розглядати як додаткові в тому сенсі, що вони представляють однаково суттєві відомості про атомні системах, і, взяті разом, вони вичерпують ці відомості.

Пізніше принцип додатковості став використовуватися в широкому сенсі - як філософський - і в гуманітарній культурі. Тут він розуміється як необхідність часом несумісних, але взаємодоповнюючих точок зору для повного розуміння предмета обговорення.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

  • 1. Запишіть в робочому зошиті, до якого типу (переважно) віднесете Ви своє мислення. Наведіть аргументи, на підставі яких Ви прийшли до цього висновку.
  • 2. Наведіть приклад з гуманітарної культури, для якого необхідно (бажано) використовувати загальне розуміння принципу додатковості Бора (або він був використаний).
  • 3. Розрахуйте величину хвилі Дсбройля для маси, що дорівнює 10 кг і швидкості 10 м / с (близькою до рекорду на стометрівці). Чи є в макросвіті або в мікросвіті об'єкти з такими розмірами?
  • 4. Знайдіть приклад нерозривної єдності будь-яких властивостей в єдиному фізичному (або гуманітарному) об'єкті (або процесі).
  • 5. Використовуючи математичні вирази (3), отримаєте формулу для радіуса орбіт Бора. Вказівка: Виразіть швидкість V через радіус г в першому вираженні і підставте V в друге.
 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >