Навігація
Головна
 
Головна arrow Природознавство arrow ТЕОРІЯ СТАТИСТИКИ
Переглянути оригінал

СЕРЕДНЯ АРИФМЕТИЧНА

В економічних і статистичних дослідженнях найбільше застосування знайшли середнє арифметичне величини. Середня арифметична (при ступеня k = 1) застосовується в тих випадках, коли обсяг досліджуваного ознаки утворюється як сума значень окремих одиниць аналізованої сукупності. Якщо середньою арифметичною величиною замінити кожен варіант усредняемого ознаки, підсумковий показник не змінюється.

Наприклад, якщо замінити заробітну плату окремих працівників підприємства середньою заробітною платою по даному підприємству за цей же період, то обсяг фонду заробітної плати не буде змінюватися.

Середня арифметична величина може бути простою і зваженою.

Проста середня арифметична величина (X) розраховується з використанням такої формули:

де п - обсяг статистичної сукупності (число одиниць у статистичній сукупності).

Застосовують просту середню арифметичну величину, як правило, при визначенні середнього рівня абсолютних величин з тією умовою, що використовуються при розрахунку дані (абсолютні величини) не згруповані.

Розглянемо розрахунок і застосування середньої арифметичної величини на практичному прикладі.

приклад 4.1

Є дані про трудовий стаж робочих цеху. Необхідно розрахувати середній стаж робітників.

номер робочого

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Стаж, років

2

4

5

3

4

4

3

6

4

5

4

3

У таблиці визначено, що всього в цеху працює 12 робітників ( п ) з різним трудовим стажем (л *,). Використовуючи формулу (4.1), отримуємо, що середній стаж робітників цеху становить

У тому випадку, коли дані за абсолютними величинами згруповані і представлені у вигляді статистичного ряду розподілу, використовується розрахунок середньої арифметичної зваженої величини але формулою

де Xj - індивідуальне значення ознаки (варіанти).

Для розрахунку також може бути використана ще одна формула, яка є модифікацією формули (4.2):

де dj - частость, відповідна Х г

Середня арифметична має такі властивості:

1) якщо у формулі (4.2) всі частоти розділити або помножити на одне і те ж число, то величина середньої арифметичної не зміниться

2) загальний множник індивідуальних значень ознаки може бути винесений за дужки

КХ = КХ ;

3) середня суми (різниці) двох або декількох величин дорівнює сумі (різниці) їх середніх

4) якщо всі варіанти мають однакове значення х = Х 2 = ... = Xj = ... = = Х п = С), то їх середня арифметична дорівнює цьому значенню

5) сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної дорівнює нулю

Розрахунок середньої арифметичної зваженої специфічний для дискретного та інтервального рядів розподілу. Розглянемо це на практичному прикладі.

На підставі наявних даних складемо дискретний ряд і розрахуємо значення арифметичної зваженої по дискретному ряду розподілу на підставі формул (4.2) і (4.3).

Стаж роботи, років

Чисельність робітників, чол.

Частка робітників у загальній чисельності

/,

d,

2

1

0,083

3

3

0,25

4

5

0,417

5

2

0,167

е

1

0,083

Разом

12

1

Використовуючи формулу (4.2), розраховуємо середній стаж робітників:

Тепер розрахуємо аналогічний показник (середній стаж робітників) з використанням модифікованої формули середньої арифметичної зваженої (4.3):

Х = 2 • 0,083 + 3 • 0,25 + 4 • 0,417 + 5 • 0,167 + б • 0,083 = 3,9 (років).

Результати розрахунків однакові як для середньої арифметичної простої, так і для середньої арифметичної зваженої, розрахованої з використанням традиційної і модифікованої формул.

Далі розглянемо розрахунок середньої арифметичної зваженої величини на прикладі інтервального ряду.

приклад 4.3

Є інтервальний ряд розподілу підприємств за обсягами виробництва продукції. Необхідно розрахувати середню арифметичну зважену, яка буде характеризувати середній обсяг виробництва продукції.

Спочатку необхідно дізнатися серединне значення кожного інтервалу. Серединне значення кожного інтервалу розраховується як сума кордонів інтервалу, поділена на два (це графа 4 в таблиці). Для першого інтервалу серединне значення складе: (5 + 6,6): 2 = 5,8. Аналогічним чином виконується розрахунок і для всіх наступних інтервалів.

Групи підприємств за обсягом виробництва, млн руб.

кількість

підприємств

(Частота)

fi

Частка в загальній кількості підприємств

d,

серединне

значення

інтервалу

1

2

3

4

5-6,6

3

0,12

5,8

6,6-8,2

4

0,16

7,4

8,2-9,8

1

0,28

9

Групи підприємств

кількість

Частка в загальному

серединне

за обсягом проізвол-

підприємств

кількості

значення

ства, млн руб.

(Частота)

підприємств

інтервалу

х,

і

4

Xi

1

2

3

4

CD

00

4

0,16

10,6

11,4-13,0

4

0,16

12,2

13,0-14,6

3

0,12

13,8

Разом

25

1

X

Потім по (Ьопмуле (4.2) або С4.3 - ) опоелеляем спелнюю аожЬметіческую:

Отже, середній обсяг виробництва продукції за сукупністю підприємств становить 9,7 млн руб.

У разі якщо в ряду розподілу є відкриті інтервали, під час перебування їх серединного значення передбачається, що довжина їх дорівнює довжині попереднього або наступного закритого інтервалу.

Слід мати на увазі, що викладений прийом розрахунку середньої арифметичної по інтервального ряду розподілу дає лише приблизний результат і використовується у випадках, коли немає безпосередніх даних про величину кожної варіанти. Однак помилка буде тим менше, чим менше довжина інтервалів і чим більше одиниць сукупності в кожному з них.

При розрахунку середньої арифметичної зваженої за даними, представленим у вигляді ряду розподілу (дискретного або інтервального), в якості ваги використовується частота або частость. Але в економіко-статистичних розрахунках «вага» - поняття більш широке, ніж число одиниць сукупності в окремих групах ряду розподілу.

Розрахунок середньої арифметичної зваженої величини використовують, як правило, при розрахунку середнього рівня відносних величин (наприклад, середня продуктивність праці працівників, середня собівартість одиниці продукції, середня рентабельність виробництва асортименту продукції і т.п.).

Тут особливого значення набуває обґрунтування того показника, який використовується в якості ваги ознаки (тобто ваги того ознаки, для якого проводиться розрахунок середнього рівня). Для правильного вибору ваги необхідно чітко розуміти сутність досліджуваного показника і знати аналітичну форму його розрахунку.

На практичних прикладах розглянемо специфіку визначення ваги, необхідного для розрахунку середнього рівня ряду відносних економічних показників.

приклад 4.4

Є дані про суми інвестицій і частки в них власних інвестицій підприємств в складі акціонерного товариства. Необхідно визначити вагу і розрахувати середню арифметичну зважену питомої ваги власних коштів у загальному обсязі інвестицій по підприємствах акціонерного товариства (АТ).

Підприємства в складі АТ

Сума інвестицій, млн руб.

Питома вага власних коштів в сумі інвестицій,%

1

15,5

69,3

2

40

57,4

3

32

62,8

Перш за все необхідно визначити аналітичну формулу за показником, для якого буде розраховуватися середня зважена величина. В даному випадку - це показник питомої ваги власних коштів підприємств в загальній сумі інвестицій:

На підставі аналітичної формули визначаємо, що для розрахунку питомої ваги власних коштів підприємств в загальному обсязі інвестицій, що розраховується по всьому акціонерному товариству, в знаменнику необхідно вказати суму інвестицій по акціонерному товариству, яка складе 87,5 млн руб. (15,5 + 40 + 32). Відповідно, в чисельнику необхідно відобразити суму власних коштів підприємств, які були вкладені в загальний обсяг інвестицій.

Повертаючись до аналітичної формулою, ми бачимо, що якщо питома вага - це відношення власних коштів до інвестованих за все, то, отже, власні кошти в вартісному вираженні - це сума інвестицій, поділена на питому вагу власних коштів (якщо розрахунок ведеться в процентах) або помножена на питому вагу (якщо розрахунок ведеться в коефіцієнтах):

II! = 15,5 млн руб .: 69,3% (або 15,5 млн руб. • 0,693) = 10,7 млн руб .;

П 2 = 40 млн руб .: 57,4% (або 40 млн руб. • 0,574) = 23 млн руб .;

П 3 = 32 млн руб .: 62,8% (або 32 млн руб. • 0,628) = 20,1 млн руб.

В даному випадку вага (J t ) середньої арифметичної зваженої - це сума інвестицій, а частка власних коштів підприємств - це індивідуальне значення ознаки (*,):

Таким чином, отримуємо, що середнє зважене значення питомої ваги власних коштів підприємств акціонерного товариства в загальному обсязі інвестицій становить 61,5%, відповідно, питома вага залучених коштів складе 38,5%.

приклад 4.5

Є дані по рентабельності реалізованих видів продукції, випущених підприємством, і витрат, пов'язаних з виробництвом даних видів продукції.

необхідно він

ееделіть середню рентабельність реалізованої продукції.

Вид продукції

Витрати на виробництво, млн руб.

Рентабельність реалізованої продукції,%

3,

R,

А

5

8

Б

8

9,5

Перш за все визначимо аналітичну формулу для розрахунку рентабельності реалізованої продукції:

Для розрахунку рентабельності реалізованої продукції в цілому по підприємству необхідно в чисельнику дробу відобразити значення прибутку від реалізації продукції. Прибуток від реалізації продукції - це доходи за вирахуванням витрат або сума витрат по i -му виду продукції, помножена на рентабельність реалізації цього ж виду продукції (S3; - R t ).

Тоді знаменник відобразить суму всіх витрат, пов'язаних з виробництвом всіх видів продукції. І звідси, індивідуальне значення ознаки х, - - его рентабельність реалізації продукції, а вага ознаки / ; - це обсяг витрат на виробництво продукції. Тоді середня рентабельність реалізації продукції по підприємству розраховується наступним чином:

Отже, середня рентабельність реалізації продукції підприємства, розрахована як середня арифметична зважена, становить 8,9%.

Приклади 4.4 і 4.5 наочно демонструють, що в якості значень ваги індивідуального ознаки використовуються дані, які утворюють знаменник середньої арифметичної зваженої величини - це загальне правило для всіх середніх арифметичних зважених величин.

 
Переглянути оригінал
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук